Briaunainis

Kai kurie briaunainiai

Taisyklingasis tetraedras	Žvaigždinis dodekaedras
Ikosidodekaedras	Didysis kubinis kuboktaedras
Rombinis triakontaedras	Aštuonkampė prizmė

Elementarioje geometrijoje briaunainis (taip pat daugiasienis arba poliedras) – tai trimatis kūnas, turintis plokščių daugiakampių sienas, tiesias briaunas ir smailias viršūnes. Tarptautiniu mastu paplitęs pavadinimas poliedras  kilęs iš graikų kalbos žodžio πολύεδρον, kur poly- (πολύς) „daug“ + -hedra (ἕδρα) „pagrindas“ arba „atrama“, „siena“).

Lietuviškas briaunainio pavadinimas rodo, kad jutiminiam poliedro suvokimui visiškai pakanka jo briaunų aibės (tai yra, matydami vien briaunų karkasą mes visiškai suvokiame visą poliedrą).

Sakoma, kad briaunainis yra iškilasis, jei jo paviršių sudarančios sienos ir briaunos nekerta vienos kitų, o tiesi linija, jungianti bet kuriuos du briaunainio taškus eina tik jo vidumi ar paviršiumi (niekada neina jo išore). Briaunainio įstrižaine vadinama atkarpa, jungianti ne vienoje sienoje esančias briaunainio viršūnes.

Briaunainis (poliedras) yra trimatė figūra, atitinkanti daugiamatės (n-matės) erdvės apibendrintąją figūrą politopą.

Apibrėžimai

Elementariojoje geometrijoje, briaunainių sienos yra daugiakampiai (plokštumos dalis), poromis susiliečiantys tik viena briauna, kuri yra tiesės atkarpa; o briaunainių briaunos susikerta viršūnių taškuose. Bet briaunainį laikyti kūnu, kurį riboja plokščios sienos ir tiesios briaunos nėra tikslu, kadangi tuomet sunku apibrėžti kai kurias briaunainių rūšis (žvaigždinius).

Vienas iš modernių požiūrių geometrinius briaunainius laiko matematiniu realios erdvės segmento atvaizdžiu (angl. injection), kitaip realizacija. Šiuo atveju kiekvieną briaunainį gali sudaryti skirtingi elementai ar dariniai, kurių kiekvienam būdinga tam tikra erdvė (skirtingų matavimų):

• 3 matavimai: Briaunainio vidus yra jo sienų ribojamas tūris. Jis gali būti užpildytas arba tuščias, apčiuopiamas arba abstraktus.
• 2 matavimai: Briaunainio siena yra kraštinių aibės apribotas daugiakampis, įprastai, plokščias (nors galimi variantai ir su iškreivintais paviršiais). Visos kartu šios daugiakampės sienos yra briaunainio paviršius.
• 1 matavimas: Kiekviena briaunainio briauna jungia vieną jo viršūnę su kita; vieną sieną su kita; ir įprastai, yra tiesės atkarpa. Visų briaunainio briaunų aibė sudaro jo karkasą.
• 0 matavimų: Kiekviena briaunainio viršūnė yra kampinis paviršiaus taškas.

Skirtingi matematiniai požiūriai, o kartu ir skirtingi apibrėžimai, gali pareikalauti skirtingų tikrovės traktavimų, skirtingų realizacijų: pavyzdžiui, kartais vidinis briaunainio tūris laikomas jo dalimi, kartais briaunainiu laikomas tik jo paviršius, o kartais tik karkasas ar net vien viršūnių aibė.

Elementariojoje geometrijoje ir aibių teorija grįstuose apibrėžimuose briaunainį įprasta laikyti abstraktaus daugiamačio politopo trimačiu atveju. Pavyzdžiui, daugiakampis yra dvimatis kūnas, neturintis jokių sienų, o keturmatis politopas yra keturmatis kūnas, turintis trimačius elementus.

Kitose matematikos šakose briaunainiu (poliedru) gali būti vadinami įvairūs specialieji tos teorinės šakos dariniai: geometriniai, grynai algebriniai arba visiškai abstraktūs.

Savybės

Briaunainio paviršius

Apibrėžiančioji kone visų briaunainių savybė yra ta, kad tik dvi sienos turi vieną bendrą briauną (vieną briauną liečia tik dvi sienos). Lygiai taip pat, kiekviena briauna jungia tik dvi viršūnes, po vieną kiekvienos briaunos galuose. Šios dvi savybės yra dualios viena kitai ir užtikrina, kad briaunainio paviršius yra vientisas ir nesibaigia trūkiu ar plyšiu bei neskyla jokia kryptimi.

Dėl tos pačios priežasties paviršius negali būti padalintas į dvi dalis taip, kad kiekviena dalis būtų naujas briaunainis. Ši taisyklė neleidžia vienu briaunainiu laikyti susikertančių briaunainių ar tokių, kurie liečiasi tik viena briauna ar tik viena viršūne – tai atskiri briaunainiai.

Briaunainio paviršiau plotu vadinama visų jų sienų plotų suma.

Sienų skaičius

Klasikinėje geometrijoje briaunainiai dar yra vadinami daugiasieniais arba pagal konkretų sienų skaičių: ketursieniai – tetraedrai; penkiasieniai – pentaedrai, šešiasieniai – heksaedrai, trisdešimtsieniai – triakontaedrai ir panašiai. Kiekvienas paprastas (savęs nekertantis) briaunainis turi bent dvi sienas, turinčias vienodą briaunų skaičių.

Topologinės savybės

Briaunainio topologinė klasė apibrėžiama Oilerio charakteristika ir orientavimo būdu.

Šiuo požiūriu, kiekvieno briaunainio paviršius gali būti klasifikuojamas kaip tam tikros klasės topologinė daugdara. Pavyzdžiui, iškilojo arba tiksliau, bet kurio silpnai susieto briaunainio paviršius yra topologinė sfera.

Oilerio charakteristika

Oilerio charakteristika χ (graikų abėcėlės mažoji chi) susieja briaunainio viršūnių V, briaunų E ir sienų F skaičių (kiekį):

${\displaystyle \chi =V-E+F.\ }$

Visiems iškiliesiems briaunainiams χ=2, tai yra

${\displaystyle V+F=E+2\ }$

Sudėtingesnės konfigūracijos kūnų Oilerio charakteristiką nustato paviršiaus toroidinių kiaurymių bei kilpų būsena ir χ būna mažesnė už 2.

Laikoma, jog tada, kai Oileris atrado šią briaunainių savybę, prasidėjo modernioji topologija.

Orientuojamumas

Iškilieji briaunainiai, kaip ir kai kurie kiti, turi dvi skirtingas paviršiaus puses: pavyzdžiui, vieną pusę galima ištisai nudažyti juoda, o kitą – balta spalva. Tada sakoma, kad tai yra orientuojamasis kūnas.

Bet kai kurie briaunainiai, kaip tetrahemiheksaedras, šios savybės neturi, nes jie tiesiog yra vienpusiai, turi tik vieną paviršiaus pusę. Tada sakoma, kad tai nėra orientuojamasis briaunainis.

Joks briaunainis, turintis nelyginę Oilerio charakteristikos reikšmę, negali būti orientuojamasis. Tam tikri kūnai, turintys lyginį χ < 2 gali būti arba orientuojamieji, arba neorientuojamieji. Pavyzdžiui, vienos kiaurymės toras ir Kleino butelis: abiejų χ = 0, bet tik pirmasis yra orientuojamasis, o antrasis – ne.

Dualumas

Kiekvienas briaunainis turi sau dualų, kuris turi:

• sienas vietoj pirminio briaunainio viršūnių ir atvirkščiai;
• tiek pat briaunų, kaip pirminis;
• tokią pat Oilerio charakteristiką ir orientuojamumą, kaip pirminis.

Kiekvienam iškilajam briaunainiui (ir daugeliui kitokių briaunainių) dualų briaunainį galime sudaryti naudodami polines transformacijas.

Dualūs briaunainiai sudaro poras. Tai yra: sakykime, pirminiam briaunainiui A yra dualus briaunainis B; dualaus briaunainio B dualus briaunainis yra tas pats pirminis briaunainis A. O kai kurie briaunainiai yra dualūs patys sau; tai reiškia, kad dualus briaunainis sutampa (kongruentiškas) su pirminiu briaunainiu.

Viršūnės planas

Visada galima nustatyti, koks yra bet kurios viršūnės planas (angl. vertex figure) rodantis vietinę briaunainio viršūnės sandarą. Viršūnės plano apibrėžimai skiriasi vieni nuo kitų, bet paprastai galima sakyti, kad viršūnės planas yra daugiakampis, kurį gautume nupjovus briaunainio viršūnę. Jeigu viršūnės plano daugiakampis yra taisyklingasis, tai ir pati viršūnė laikoma taisyklinga.

Tūris

Taisyklingasis briaunainis

Kiekvieną taisyklingąjį briaunainį galima sudalinti į vienodas piramides, kur kiekvienos piramidės pagrindas bus briaunainio siena, o jos viršūnė bus briaunainio centras. Tokios piramidės aukštis bus lygus įbrėžtiniam rutuliui (sferai), t. y. atstumui nuo briaunainio centro iki sienos vidurio. Jei sienos plotas yra ${\displaystyle A}$ o įbrėžtinis spindulys yra ${\displaystyle r}$, tai piramidės tūris bus ${\displaystyle Ar/3}$. Tuomet taisyklingojo briaunainio, turinčio ${\displaystyle n}$ sienų, tūris bus:

${\displaystyle {\text{tūris}}=nAr/3}$.

Pavyzdžiui, kubas, kurio briaunos ilgis yra ${\displaystyle L}$, turi šešias sienas, kurių kiekviena yra kvadratas, o jo plotas yra ${\displaystyle A=L^{2}}$. Įbrėžtinis spindulys nuo kubo centro iki sienos vidurio yra ${\displaystyle r=L/2}$. Tada kubo tūris bus skaičiuojamas visiems įprasta formule:

${\displaystyle {\text{tūris}}={\frac {6\cdot L^{2}\cdot {\frac {L}{2}}}{3}}=L^{3},}$

Orientuojamieji briaunainiai

Bet kurio orientuojamojo briaunainio tūrį galima apskaičiuoti remiantis Gauso – Ostrogradskio formule. Nagrinėjamas vektorinis laukas ${\displaystyle {\vec {F}}({\vec {x}})={\frac {1}{3}}{\vec {x}}=\left({\frac {x_{1}}{3}},{\frac {x_{2}}{3}},{\frac {x_{3}}{3}}\right)}$, kurio divergencija yra idientiškas vienetas. Gauso – Ostrogradskio formulė nurodo, kad tūris yra lygus paviršiaus integralui nuo ${\displaystyle F(x)}$:

${\displaystyle {\text{tūris}}(\Omega )=\int _{\Omega }\nabla \cdot {\vec {F}}d\Omega =\oint _{S}{\vec {F}}\cdot {\hat {n}}dS.}$

Kai Ω yra briaunainio apribota sritis, o briaunainio sienos yra plokščios ir turi pastovius normalės vektorius, formulė supaprastėja iki:

${\displaystyle {\text{tūris}}={\frac {1}{3}}\sum _{{\text{face }}i}{\vec {x}}_{i}\cdot {\hat {n}}_{i}A_{i}}$

kur ${\displaystyle {\vec {x}}_{i}}$ yra itosios sienos baricentras, ${\displaystyle {\hat {n}}_{i}}$ yra jos normalinis vektorius, o ${\displaystyle A_{i}}$ yra jos plotas. Kai siena dekomponuojama į aibę nepersiklojančių trikampių, kurių paviršiaus normalės nukreiptos nuo kūno, tai tūris yra viena šeštoji sumos, gaunamos sumuojant kiekvieno trikampio devynių ortogonalių viršūnės koordinačių mišriąsias sandaugas.

Iškilieji briaunainiai

Sakoma, kad briaunainis yra iškilasis, jei jo paviršius (kurį sudaro sienos, briaunos ir viršūnės) nekerta pats savęs, o atkarpa jungianti bet kuriuos du briaunainio taškus eina išimtinai tik briaunainio vidumi arba paviršiumi.

Tarp svarbių iškilųjų briaunainių yra tokios jų klasės:

• ypatingai simetriški Platono kūnai;
• Archimedo kūnai bei Archimedo kūnų dualūs briaunainiai, dar vadinami Katalano kūnais;
• deltaedrai ir Džonsono kūnai.

Iškilieji briaunainiai, ypač trikampės piramidės, arba tetraedrai (kitaip, 3-simpleksai), įvairiose matematikos srityse yra svarbūs matematinio nagrinėjimo elementai (topologijoje ir kt).

Simetrija

Dauguma dažniausiai nagrinėjamų briaunainių pasižymi didele simetrija.

Simetrišką briaunainį galima taip pasukti arba taip pakeisti jo poziciją pirminės pozicijos atžvilgiu, kad jo sienos ir kiti elementai atkartotų pirminę poziciją. Sakoma, kad visi elementai, kurie pakeitus poziciją atkartoja ankstesnę tokio pat elemento poziciją, yra vienoje „simetrijos orbitoje“. Pavyzdžiui, visos kubo sienos yra vienoje orbitoje, o briaunos – kitoje. Jeigu konkrečioje n matavimų erdvėje visi tos matavimų eilės elementai (sakykime, dvimatės sienos) yra toje pačioje orbitoje, tada figūra laikoma tranzityvia šioje orbitoje. Vėl paimkime kubą: visos jo sienos yra vienodos, todėl kubas yra tranzityvus sienų atžvilgiu, o nupjautinis kubas jau turi dvejopas sienas, tad jis sienų atžvilgiu nėra tranzityvus.

Kiekvienas briaunainis gali būti taip iškreiptas (gamtoje, technikoje, matematikoje ir pan.), kad jis pasidaro nebesimetriškas. Bet kasdieniam naudojimui galima vadovautis, jog briaunainis, turintis geometrinį pavadinimą, sakykime, ikosaedras, paprastai yra simetriškas, nebent būtų atskirai pabrėžiamas jo nesimetriškumas.

Yra keletas rūšių labai simetriškų briaunainių, skirstomų pagal tai, kokie jo elementai (sienos, briaunos ar viršūnės) yra vienoje simetrijos orbitoje:

• Taisyklingieji, kurie yra tranzityvūs viršūnių, briaunų ir sienų atžvilgiu (tuo pačiu, visos sienos yra tarpusavyje lygūs taisyklingieji daugiakampiai ir kiekviena viršūnė yra taisyklinga).
• Kvazitaisyklingieji, kurie yra tranzityvūs viršūnių ir briaunų atžvilgiu (todėl turi taisyklingas sienas), bet netranzityvūs sienų atžvilgiu. Kvazitaisyklingieji dualai yra tranzityvūs sienų ir briaunų atžvilgiu (todėl turi taisyklingas viršūnes), bet netranzityvūs viršūnių atžvilgiu.
• Pustaisyklingiai, kurie yra tranzityvūs viršūnių, bet netranzityvūs briaunų atžvilgiu, o kiekviena siena yra taisyklingasis daugiakampis. (Yra skirtingų šios figūrų klasės apibrėžimų, kuriuos teikia skirtingi autoriai. Kai kurie apibrėžimai apima ir kvazitaisyklingus briaunainius.) Ši klasė taip pat apima pusiau taisyklingas ir . Pustaisyklingiai dualai yra tranzityvūs sienų, bet netranzityvūs viršūnių atžvilgiu, o kiekviena viršūnė yra taisyklinga.
• Tolygieji (angl. uniform polyhedron), kurie yra tranzityvūs viršūnių atžvilgiu ir kiekviena siena yra taisyklingasis daugiakampis, tai yra taisyklingieji, kvazitaisyklingieji ir pustaisyklingiai briaunainiai. Tolygieji dualai yra tranzityvūs sienų atžvilgiu ir kiekviena viršūnė yra taisyklinga, bet pati figūra nebūtinai yra tranzityvi viršūnės atžvilgiu.
• , arba briaunainiai tranzityvūs viršūnių atžvilgiu, kurių visos viršūnės yra vienodos ta prasme, kad bet kurios dvi viršūnės priklauso tokiai simetrijos grupei, kur pirmosios atvaizdis yra antrajai.
• , arba briaunainiai tranzityvūs briaunų atžvilgiu, kurių visos briaunos yra vienodos ta prasme, kad bet kurios dvi briaunos turi tokią simetriją, kai pirmosios atvaizdis yra izometriškas antrajai.
• , arba briaunainiai tranzityvūs sienų atžvilgiu, kurių visos sienos yra vienodos ta prasme, kad bet kurios dvi sienos turi tokią simetriją, kai pirmosios atvaizdis yra izometriškas antrajai..
• , kurie yra tranzityvūs sienų ir viršūnių atžvilgiu (bet nebūtinai tranzityvūs briaunų atžvilgiu). Taisyklingieji briaunainiai taip pat yra taurieji; jie vieninteliai yra kartu taurieji ir tolygieji.

Briaunainis gali priklausyti aukštesnei simetrijos grupei, bet bus laikomas tam tikros žemesnės simetrijos briaunainiu, jei turi kelias elementų grupes, priklausančias skirtingoms simetrijos orbitoms. Pavyzdžiui, nupjautinio kubo trikampės ir aštuoniakampės sienos priklauso skirtingoms orbitoms.

Kai kurioms briaunainių klasėms būdinga tik viena simetrijos ašis. Vienos tokių yra piramidės, taip pat pustaisyklingės prizmės ir antiprizmės.

Taisyklingieji briaunainiai

Pagrindinis straipsnis – Taisyklingasis briaunainis.

Taisyklingieji briaunainiai yra simetriškiausi iš visų briaunainių. Jų yra tik penki.

Šie penki iškilieji briaunainiai yra žinomi jau nuo antikos laikų ir vadinami Platono kūnais. Tai yra trikampė piramidė, arba tetraedras, kubas (taisyklingas šešiasienis), oktaedras, dodekaedras ir ikosaedras:

Taip pat yra 4 taisyklingi žvaigždiniai briaunainiai, dar vadinami Keplerio-Puanso kūnai pagal juos atradusių mokslininkų pavardes.

Taisyklingųjų briaunainių dualai (dualūs briaunainiai) taip pat yra taisyklingieji briaunainiai.

Tolygieji briaunainiai ir jų dualai

Pagrindinis straipsnis – Tolygusis briaunainis.

Tolygieji briaunainiai yra tokie, kurie yra tranzityvūs briaunų atžvilgiu ir kiekviena siena yra taisyklingasis daugiakampis. Jie skirstomi į taisyklinguosius, kvazitaisyklinguosius ir (arba) pustaisyklingius, taip pat jie gali būti iškilieji arba žvaigždiniai.

Tolygiųjų dualų sienos yra netaisyklingi daugiakampiai bet jie yra tranzityvūs sienų atžvilgiu ir kiekvienos yra taisyklingasis daugiakampis. Tolygieji briaunainiai turi tokias pat simetrijos orbitas kaip ir jų dualai, tik sienos susikeičia su viršūnėmis. Iškilųjų Archimedo kūnų dualai dar vadinami .

Tolygieji briaunainiai ir jų dualai įprastai klasifikuojami pagal jų simetriškumą ir pagal tai, ar jie yra iškilieji, ar ne.

	Iškilieji tolygieji briaunainiai	iškilieji tolygieji dualai	žvaigždiniai tolygieji briaunainiai	žvaigždiniai tolygieji dualai
taisyklingieji	Platono kūnai		Keplerio–Puanso kūnai
kvazitaisyklingieji	Archimedo kūnai	Katalano kūnai	(nėra atskiro pavadinimo)	(nėra atskiro pavadinimo)
pustaisyklingiai			(nėra atskiro pavadinimo)	(nėra atskiro pavadinimo)
			žvaigždinės	žvaigždinės
			žvaigždinės	žvaigždiniai

Piramidės

Pagrindinis straipsnis – Piramidė (geometrija).

Simetriškos piramidės yra vieni seniausiai imtų vertinti ir pasauliniu mastu pagarsėjusių briaunainių, pavyzdžiui, Egipto piramidės.

Pagrindinis straipsnis – .

Taurieji briaunainiai yra vienu metu (jų sienos yra vienodos) ir (jų kampai yra vienodi), bet briaunos nebūtinai vienodos. Į šią klasę įeina visi taisyklingieji briaunainiai, bet yra ir kitų.

Tauriųjų briaunainių dualai taip pat yra taurieji briaunainiai.

Izoedrai

Pagrindinis straipsnis – .

Izoedras yra toks briaunainis, kurio simetrijai būdingas sienų tranzityvumas. Jų topologiją atspindi sienų konfigūracija. Visi 5 Platono kūnai ir 13 yra izoedrai, taip pat šiai klasei priklauso begalė įvairių ir . Kai kuriems izoedrams galima sukurti įvairias geometrines variacijas, tiek iškiląsias, tiek save kertančias.

Simetrijos grupės

Briaunainių simetrijos grupės (žymint jas ) yra visos septynios trimatės taškinės grupės:

• T – chirali tetraedrinė simetrija; taisyklingo tetraedro sukimo grupė; jos eilė 12.
• T_d – pilna tetraedrinė simetrija; taisyklingo tetraedro simetrijos grupė; jos eilė 24.
• T_h – piritoedrinė simetrija; simetrija; jos eilė 24.
• O – chirali oktaedrinė simetrija; kubo ir oktaedro sukimo grupė; jos eilė 24.
• O_h – pilna oktaedrinė simetrija; kubo ir oktaedro simetrijos grupė; jos eilė 48.
• I – chirali ikosaedrinė simetrija; ikosaedro ir dodekaedro sukimo grupė; jos eilė 60.
• I_h – pilna ikosaedrinė simetrija; ikosaedro ir dodekaedro simetrijos grupė; jos eilė 120.
• C_nv –
• D_nh –
• D_nv – .

Briaunainiami su chiralia simetrija neturi atspindėjimo simetrijos savybės, todėl jie turi dvi enantiomorfines formas, kurios yra viena kitos atspindys. Tai būdinga nusklembtiems (angl. snub) Archimedo kūnams.

Briaunainiai su taisyklingomis sienomis

Greta taisyklingųjų ir tolygiųjų briaunainių, dar yra kitų briaunainių klasių, kur briaunainiai taip pat turi taisyklingų daugiakampių sienas, bet jų simetrija yra mažesnė.

Tapačios taisyklingosios sienos

Iškilieji briaunainiai, kurių kiekviena siena yra vienodai panašūs taisyklingi daugiakampiai, sudaro tris šeimas:

• Trikampiai: Šie briaunainiai vadinami . Iš viso egzistuoja aštuoni iškilieji deltaedrai, tai yra: trys Platono kūnai su trikampėmis sienomis ir penki netolygieji briaunainiai.
• Kvadratiniai: Kubas yra vienintelis iškilasis šios šeimos narys. Kitokius briaunainius gauname jungdami kubus, bet reikia dėmesingai sekti, jei siekiama, kad jų sienos nebūtų vienoje plokštumoje.
• Penkiakampiai: Taisyklingasis dodekaedras yra vienintelis iškilasis šios šeimos narys.

Visi briaunainiai su tapačiomis taisyklingomis šešiakampėmis, ar dar daugiau kampų turinčiomis sienomis, yra neiškilieji; jie negali būti iškilieji, kadangi trijų taisyklingųjų šešiakampių bendra viršūnė yra toje pačioje plokštumoje, kaip šie šešiakampiai. Todėl iš viso yra dešimt iškilųjų briaunainių turinčių tapačias taisyklingas sienas: visi penki Platono kūnai ir penki netolygieji deltaedrai. Kita vertus, yra begalė neiškilųjų briaunainių, turinčių tapačias taisyklingas sienas. Tarp jų – pintis primenantys ir vadinami begaliniais įžambiais briaunainiais.

Džonsono kūnai

Pagrindinis straipsnis – .

Matematikas tyrė, kurie iškilieji netolygieji briaunainiai turi taisyklingas sienas, bet nebūtinai tapačias viena kitai. 1966 m. jis paskelbė sąrašą iš 92 tokių briaunainių, kuriame suteikė šiems briaunainiams pavadinimus ir skaitinius simbolius, o be to pareiškė spėjimą, kad daugiau tokių briaunainių nėra. Viktoras Calgaleris (Victor Zalgaller) 1969 įrodė, kad sąrašas yra išsamus ir jų yra tik 92.

Kitos svarbios briaunainių šeimos

Stelacija ir išduobimas

Pagrindinis straipsnis – .

Briaunainio stelacija (lot. stella 'žvaigždė') vadinamas toks veiksmas, kai briaunainio sienos iškeliamos (neperžengiant pradinio daugiakampio ribų) tiek, kad pasiekusios viena kitą sudaro naujos formos briaunainį, vadinamą žvaigždiniu briaunainiu.

Visiškai priešingas veiksmas yra išduobimas, kai šalinama dalis briaunainio, bet nesukuriamos naujos viršūnės.

Zonoedrai

Pagrindinis straipsnis – .

Zonoedras yra iškilas briaunainis, kurio kiekviena siena yra daugiakampis ir jam būdinga inversinė simetrija arba, kas yra vienas ir tas pats, 180° sukimo simetrija.

Toroidiniai briaunainiai

Pagrindinis straipsnis – .

Toroidinis briaunainis yra toks briaunainis, kurio Oilerio charakteristikos reikšmė yra 0 arba dar mažesnė, kas atitinka figūrą su paviršiaus gimine (angl. genus) lygia 1 ar daugiau ir pasireiškiančia kaip toroidinis paviršius, turintis viduryje vieną ar daugiau kiaurymių.

Erdvę užpildantys briaunainiai

Pagrindinis straipsnis – .

Erdvę pripildantys briaunainiai yra tokie vienodi briaunainiai, kurie glaudžiami greta vienas kito visiškai užpildo erdvę. Toks užpildymas dažnai vadinamas erdvės užklojimu (angl. tessellation) arba koriu. Kai kurie koriai sudaromi iš kelių pavidalų briaunainių (daugiau nei vienos formos).

Junginiai

Pagrindinis straipsnis – .

Briaunainių junginiu vadiname darinį, kai du ar daugiau briaunainių susijungia į vieną figūrą aplinkui bendrą centrą.

Neretai simetriškų briaunainių junginių viršūnės gali išsidėstyti lygiai taip pat, kaip kitų žinomų briaunainių viršūnės. Junginiai dažnai susidaro stelacijos metu. Kai kuriuos junginius galima rasti tarp Veningerio (Wenninger) briaunainių modelių.

Stačiakampiai briaunainiai

Stačiakampiais briaunainiais laikome tuos briaunainius, kurių visos susisiekiančios sienos sudaro statų kampą, o kartu visos briaunos yra lygiagrečios atitinkamoms stačiakampių koordinačių sistemos ašims. Tik stačiakampis gretasienis yra iškilas briaunainis, visi kiti stačiakampiai briaunainiai yra neiškili. Jie yra plokščių stačiakampių daugiakampių trimačiai analogai. Stačiakampiai briaunainiai naudojami skaičiuojamojoje geometrijoje, kur jų pagrindu konstruojamos struktūros leidžia spręsti problemas, kurių nepavyksta išspręsti naudojant nestačiakampius briaunainius, pavyzdžiui, briaunainių paviršiaus išlankstymas ant daugiakampių tinklo.

Apibendrintieji briaunainiai

Briaunainiu tapo įprasta vadinti įvairius matematinius objektus, kurių struktūrinės savybės atitinka klasikiniams briaunainiams.

Apeiroedrai

Klasikinių briaunainių paviršius yra sudarytas iš baigtinių susijusių plokščių plotų, poromis susiliečiančių per briaunas. O jei toks paviršius yra begalinis, jis vadinamas . Kai kurie pavyzdžiai:

• plokštumos ;
• pintis primenančios struktūros, vadinamos begaliniais įžambiais briaunainiais.

Sudėtiniai briaunainiai

Pagrindinis straipsnis – .

yra tokie, kurie konstruojami sudėtingoje Hilberto 3-erdvėje. Tai šešių matavimų erdvė, kurioje tris matavimus atitinka įprastos stačiakampės ir kiekvieną jų papildo menama koordinačių ašis. Sudėtiniai briaunainiai metematiniu požiūriu yra daug giminingesni taip vadinamoms geometrinėms konfigūracijoms nei įprastiems briaunainiams.

Kreivieji briaunainiai

Kai kuriose tyrimų srityse daroma prielaida, kad briaunainiai gali turėti kreivo pavišiaus sienas ir kreivas briaunas.

Sferiniai briaunainiai

Pagrindinis straipsnis – .

Rutulio (sferos) paviršių galima tiesės atkarpomis padalinti į susijusias sritis ir taip sukurti sferinį briaunainį. Tapo jau įprasta, kad didžioji dalis teorinių žinių apie briaunainų simetriją gaunama pasitelkus sferinius briaunainius.

Sferinių briaunainių naudojimo istorija yra ilga ir svarbi:

• pirmas žinomas dirbtinis briaunainis buvo iš akmens išskaptuotas sferinis briaunainis;
• Puanso (Poinsot), pasinaudodamas sferiniais briaunainiais, atrado keturis taisyklingus žvaigždinius briaunainius.
• Kokseteris (Coxeter) juos panaudojo, kad išvardintų visus (išskyrus vieną) tolygiuosius (angl. uniform) briaunainius.

Kai kurie briaunainiai, kaip hosoedras ir diedras, egzistuoja išimtinai tik kaip sferinai briaunainiai ir neturi plokščiasienių analogų.

Kreivieji erdvę užpildantys briaunainiai

Skiriamos dvi svarbios šių briaunainių rūšys:

• putų burbulai;
• erdvę užpildančios konstrukcijos, naudojamos architektūroje.

Tuščiasieniai arba karkasiniai briaunainiai

Bet kurį briaunainį puikiai suvokiame net jei jo sienos nėra užpildytos, o turime tik briaunas. Pavyzdžiui Leonardas da Vinčis pateikė taisyklingų kūnų karkasinius modelius Pačiolio knygai Divina proportione. Dabartinais laikais (1994) B. Griunbaumas (Branko Grünbaum) tirdamas karkasinius briaunainius išplėtojo ankstesnę idėją apie abstrakčius briaunainius. Jis apibrėžė, kad briaunainio siena yra cikliškai išdėstytų viršūnių aibė, todėl sienos gali būti tiek kreivos, tiek plokščios.

Gretutinis naudojimas

Antroje XX a. pusėje buvo atrasta įvairių matematinių konstruktų, kurie turėjo savybes, būdingas briaunainiams. Todėl nebuvo apsiribota, kad briaunainiais dera vadinti vien trimačius politopus, ir šiuo pavadinimu imti vadinti įvairios susijusios, bet kartu skirtingos struktūros.

Teoriniai briaunainiai

Briaunainis gali būti apibrėžiamas, kaip taškų aibė realioje (arba euklidinėje) n matavimų erdvėje, turinti plokščias sienas. Alternatyviai jį galima apibrėžti, kaip junginį iš baigtinio skaičiaus iškilųjų briaunainių, kur iškilusis briaunainis yra bet kuri taškų aibė, kuri susidaro, kai susikerta baigtinis skaičius puserdvių. Skirtingai nei elementarus briaunainis, jis gali būti apribotas ar beribis. Šiuo atveju, politopas būtų apribotas briaunainis.

Analitiniu požiūriu, tokie iškilieji briaunainiai reiškia linijinių nelygybių sistemos sprendinių aibę. Tokio pobūdžio apibrėžimas leidžia problemas išreikšti geometriškai.

Daugelis tradicinių briaunainių kartu yra ir teorinai briaunainiai. Štai dar keli pavyzdžiai:

• plokštumos ketvirtis. Pavyzdžiui, stačiakampių koordinačių plokštumos dalis, sudaryta iš visų taškų, esančių virš horizontalios ašies ir į dešinę nuo vertikalios ašies: { (x, y): x ≥ 0, y ≥ 0 }. Briaunainio sienos yra dvi teigiamosios ašys, o į kitą pusę jis yra beribis.
• trimatės euklidinės erdvės aštuntadalis: { (x, y, z): x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 }.
• be galo besitęsianti prizmė. Pavyzdžiui, abipus begalinė kvadratinė prizmė trimatėje erdvėje, kurią sudaro kvadratas xy plokštumoje, nusitęsiantis išilgai z ašies: { (x, y, z) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 }.
• kiekvienas Voronoi’o klojinio elementas yra iškilas briaunainis.

Topologiniai briaunainiai

Topologinis politopas yra topologinė erdvė kartu su specifine jos dekompozicija į pavidalus, topologiškai ekvivalenčius iškiliam politopui, glaudžiai ir taisyklingai liečiančius vienas kitą.

Tokia figūra vadinama simpleksine, jei kiekviena jos sritis yra , t. y. n matėje erdvėje kiekviena sritis turi n+1 viršūnę. Simpleksinio politopo dualas vadinamas paprastu. Panašiai, plačiai ištyrinėta politopų (briaunainių) klasė yra kubiniai briaunainiai, kurių bazinis sudarantysis blokas yra nmatis kubas.

Abstraktūs briaunainiai

Pagrindinis straipsnis – .

Abstraktus briaunainis yra iš dalies tvarkinga aibė iš elementų, kurių dalinis tvarkingumas yar priklausomas nuo elementų kartojimosi dažnio ir rango. Aibės elementai atitinka viršūnes, briaunas, sienas ir kitas politopo dalis: viršūnių rangas yra 0, briaunų – 1 ir t. t., kur dalinis rangų tvarkingumas priklauso nuo geometrinių elementų matavimų skaičiaus. Tuščia aibė, į kurią privaloma atsižvelgti aibių teorijoje, turi rangą -1 ir kartais sakoma, kad ji atitinka nulinį politopą. Abstraktus briaunainis yra toks abstraktus politopas, kuriam teisingi tokie rangai:

• rangas 3: didžiausias elementas, kartais tapatinamas su visu briaunainio kūnu;
• rangas 2: daugiakampės sienos;
• rangas 1: briaunos;
• rangas 0: viršūnės;
• rangas −1: tuščioji aibė, kartais tapatinama su nuliniu politopu.

Kiekvieną geometrinį briaunainį galima laikyti abstraktaus briaunainio „realizacija“ realioje erdvėje.

Briaunainiai kaip grafai

Kiekvieną briaunainį galima laikyti grafu, nes abiejų matematinių objektų briaunos ir viršūnės yra ekvivalentiškos, tik grafuose briaunos dažniau vadinamos lankais. Todėl briaunainiams galima tiesiogiai taikyti grafų savybes, pavyzdžiui:

• pagal Štainico teoremą (angl. Steinitz theorem) iškilas briaunainis visiškai atitinka plokščią 3-susijusį grafą.
• tetraedras yra pilnasis grafas (K₄). Tik šio briaunainio karkasas sukuria pilnąjį grafą.
• oktaedras yra stiprus taisyklingas grafas (angl. strongly regular graph), nes gretimos viršūnės visada turi dvi bendras kaimynes, o negretimos – keturias.
• Archimedo kūnai yra taisyklingi grafai: septynių Archimedo kūnų viršūnės yra 3 laipsnio, keturių – ketvirto, o likusių dviejų – penkto.

Istorija

Ikiistorinis periodas

Briaunainiai sutinkami jau ankstyviausiuose statiniuose, dažniausiai, stačiakampiai gretasieniai ir kubai, taip pat keturkampės Egipto piramidės ir kitokie statiniai, išlikę net iš akmens amžiaus.

Kai kuriuos taisyklinguosius briaunainius žinojo jau etruskai, kurių civilizacija senesnė nei graikų, ką rodo XIX a. pabaigos kasinėjimai prie Padujos (šiaurės Italijoje ), kur buvo rastas iš talko mineralo uolienos steatito, dar vadinamo muilo akmeniu, maždaug prieš 2500 metų padarytas dodekaedras. (Lindemann, 1987)

Graikų civilizacija

Seniausi žinomi raštiški briaunainių paminėjimai sutinkami klasikinės Graikijos autorių darbuose, kur kartu buvo pateikti ir pirmieji šių figūrų matematiniai apibūdinimai. Senovės graikai pirmiausia domėjosi taisyklingais iškilais briaunainiais, kuriuos vėliau imta vadinti Platono kūnais. Pitagorui buvo žinomi ne mažiau kaip trys šie kūnai, o Teatetas (Theaetetus) apie 417 p.m.e. aprašė jau visus penkis. Galiausiai Euklidas „Elementuose“ aprašė jų sandarą. Vėliau Archimedas išplėtojo briaunainių studiją ir aprašė tolygius iškiliuosius briaunainius, kurie gavo jo vardą ir dabar vadinami Archimedo kūnias. Pirminė Archimedo studija iki mūsų laikų neišliko, bet apie ją žinoma iš Paposo Aleksandriškio darbų.

Kinija

Kubinis lošimo kauliukas Kinijos šaltiniuose minimas maždaug nuo 600 m.p.m.e.

236 m. Liu Hui aprašė, kaip nupjauti kubą, kad gautume tetraedrą ir kitus susijusius briaunainius; jis briaunanių junginius naudojo skaičiuodamas statyboms iškasamo grunto tūrį.

Arabų civilizacija

Pasibaigus klasikiniam istorijos periodui, arabų mokslininkai perėmė graikų žinias ir jas plėtojo.

IX a. mokslininkas Tabitas ibn Kura (Thabit ibn Qurra) išvedė įvairių braunainių tūrio skaičiavimo formules, tarp jų, nupjautinės piramidės.

X a. Abu’l Vafa (Abūl Wafā' Būzjānī) aprašė kai kuriuos sferinius briaunainius.

Renesansas

Kaip ir daugelis mokslo idėjų, kurios buvo suformuluotos Senovės Graikijoje ir išplėtotos arabų mokslininkų, renesanso laikotarpiu atgijo domėjimasis briaunainiais. Menininkai konstravo karkasinius briaunainius, piešė juos iš natūros, tirdami grafinės perspektyvos ir atspindžio dėsnius. Kai kurie vaizdai buvo įamžinti tuometinėse medžio inkrustacijose. Pjeras dela Frančeska pirmą kartą aprašė briaunanių grafinės perspektyvos braižymo būdus. Leonardas da Vinčis padarė keleto briaunainių karkasinius modelius ir panaudojo jų piešinius iliustruodamas Pačiolio knygą. O nežinomo tapytojo nutapytame Pačiolio portrete matosi stiklinis rombokuboktaedro pavidalo indas pusiau pripiltas vandens.

Renesansui plintant iš Italijos į Europą, vėlesni menininkai (Jamniceris, Diureris) savo graviūrose raižė įvairius briaunainius, dažnai anksčiau nevaizduotus.

Žvaiždiniai briaunainiai

Kone 2000 metų briaunaniai, kaip iškilosios figūros, buvo suvokiami, remiantis graikų matematiniais pasiekimais. Bet renesanso periodu buvo atrasti žvaigždiniai briaunainiai. Venecijos šv. Marko bazilikos grindyse buvo padaryta marmuro inkrustacija, kurioje vaizduojamas žvaigždinis dodekaedras. O kai kurie dailininkai, pavyzdžiui, Jamniceris (Wenzel Jamnitzer) piešė vis sudėtingesnes žvaigždines figūras.

Johanas Kepleris (1571–1630) naudodamas žvaigždinius daugiakampius, daugiausia pentagramas, kūrė žvaigždinius briaunainius. Kai kurios figūros turbūt buvo jau atrastos iki Keplerio, bet jis buvo pirmasis, kuris nustatė, kad šias figūras dera laikyti taisyklingomis, jei nesilaikysime reikalavimo, kad taisyklingos figūros turi būti iškilos. Vėliau nagrinėjo žvaigždinius viršūnės planus ir atrado dar du taisyklingus žvaigždinius briaunainius. Augustinas Lui Koši įrodė, kad Puanso sąrašas yra išsamus, o Arturas Keilis (Arthur Cayley) suformulavo jų pavadinimus: du Keplerio kūnai buvo pavadinti mažuoju žvaigždiniu dodekaedru ir didžiuoju žvaigždiniu dodekaedru; kiti du (Puanso kūnai) – didžiuoju ikosaedru ir didžiuoju dodekaedru. Dabar priimtas kuopinis šių kūnų pavadinimas yra Keplerio-Puanso briaunainiai.

Keplerio-Puanso briaunainius galima sukonstruoti iš Platono kūnų būdu. Daugelis figūrų, gaunamų stelacijos metu, yra netaisyklingos. 1938 metais Platono kūnų stelacijos tyrimus smarkiai pastūmėjo ir kiti geometrai, išleisdami veikalą „Penkiasdešimt devyni ikosaedrai“ (The Fifty-Nine Icosahedra).

Stelacijai atvirkštinis procesas yra vadinamas . Jei paimsime bet kokį politopą ir jo dualą, tai taikydami pirminiam politopui stelaciją, o dualui – išduobimą, gauname žvaigždinus briaunainius, kurie taip pat yra dualūs. Taisyklingus žvaigždinius briaunainius dar galima gauti išduobiant Platono kūnus. Nuo knygos „Penkiasdešimt devyni ikosaedrai“ pasirodymo yra atrasta daugiau šių figūrų ir paieškos dar tęsiasi.

Oilerio charakteristika ir topologija

Briaunanių teorijai didelę įtaką turėjo šiuolaikiniai matematiniai tyrimai.

1750 metais vokiečių matematikas Leonardas Oileris pirmą kartą istorijoje ištyrė briaunainių savybes ir atrado žymiąją charakteristiką, kuri susieja briaunainio viršūnių, briaunų ir sienų skaičių į bendrą formulę. Šis faktas laikomas topologijos mokslo pradžia (kartais topologija dar vadinama tąsaus lakšto geometrija), o XIX a. pabaigoje prancūzų matematikas Anri Puankarė suformulavo pagrindines šio mokslo nuostatas. Tai leido išspręsti nemažai problemų, susijusių su briaunainiais.

1900 metais Vokietijoje buvo išleista Briuknerio (Brückner) knyga „Daugiakampiai ir briaunainiai: teorija ir istorija“ (Vielecke und Vielflache: Theorie und Geschichte). Ši išsami knyga vis dar mažai žinoma.

Panašiai tuo metu, giliau nagrinėjant daugiamates geometrijas, briaunainius pradėta laikyti daugiamačių politopų trimačiais atvejais.

XX amžiaus tyrimai

XX amžiaus pradžioje matematikos tyrimai persikėlė į kitas sritis ir geometrijai buvo skiriama nedaug dėmesio. Kartu su analize, pateikta jo (su bendraautoriais) knygoje „Penkiasdešimt devyni ikosaedrai“ (1938), prasidėjo šiuolaikinių grafų teorijos ir kombinatorikos idėjų taikymas briaunainių studijoms, tuo pačiu buvo atgaivintas domėjimasis geometrija.

Kokseteris ėmėsi pirmą kartą suskaičiuoti tolygius žvaigždinius briaunainius. Plokštumos klojinius jis taip pat laikė braunainiais ir taip atrado taisyklingus įžambius briaunainius, o kartu sukūrė teoriją, aprašančią sudėtinius briaunainius, kuriuos 1952 metais aprašė Šeperdas (Shephard), taip pat iš esmės prisidėjo prie kitų geometrijos sričių.

Antroje XX a. pusėje Griunbaumas (Grünbaum) paskelbė svarbių veikalų, svarbių dviem požiūriais. Pirmas, iškilieji politopai, kur jis atkreipė dėmesį, kad šiuolaikinai matematikai traktuoja braunainius skirtingai ir, kartais, nesuderinamai, siekdami siauro, jiems svarbaus tikslo. Kitas, eilėje savo kūrinių jis išplėtojo briaunainių apibrėžimus, o kartu aprašė nemažai naujų taisyklingųjų briaunainių. XX ir XXI amžių sandūroje vėlyvosios idėjos buvo papildytos naujovėmis apie incidentumo kompleksus (angl. incidence complex) ir buvo sukurta nauja abstrakčiojo briaunainio idėja (kitaip, abstraktus trimatis politopas), prie kurios sukūrimo ypač prisidėjo Makmulenas (McMullen) ir Šatlas (Schulte).

Briaunainiai gamtoje

Kokie taisyklingieji briaunainai randami gamtoje, skaitykite atskirame straipsnio Platono kūnai skirsnyje.

Netaisyklingieji briaunainiai gamtoje dažniausiai sutinakami kaip kristalai.

Išnašos

1. Vaidotas Mockus. Geometrijos žinynas moksleiviams. – Šiauliai: Šiaulių pedagoginis institutas, 1996. – 128 p. ISBN 9986-38-010-3
2. Grünbaum 2003
3. Lakatos, I.; Proofs and refutations: The logic of mathematical discovery (2nd Ed.), CUP, 1977.
4. Birutė Gražulevičienė. Mokyklinės matematikos žinynas. – Vilnius: Leidybos centras, 1997. – 95 p. ISBN 9986-03-264-4
5. Inequalities proposed in “Crux Mathematicorum”, [1].
6. Richeson, D.; „Euler’s Gem:The Polyhedron Formula and the Birth of Topology“, Princeton (2008).
7. Arvo, James (1991). Graphic Gems Package: Graphics Gems II. Academic Press.
8. Richeson, D.; „Euler’s Gem:The Polyhedron Formula and the Birth of Topology“, Princeton (2008).
9. Cundy, H.M. and Rollett, A.P.; Mathematical Models, 2nd Edition, OUP 1961.
10. (2008), "Unfolding orthogonal polyhedra", Surveys on discrete and computational geometry, Contemp. Math., 453, Amer. Math. Soc., Providence, RI, p. 307–317, doi:10.1090/conm/453/08805 .
11. ; Regular complex Polytopes, CUP (1974).
12. Pearce, P.; Structure in nature is a strategy for design, MIT (1978)
13. Grünbaum (1994)
14. Grünbaum, B.; "Convex polytopes, " 2nd Edition, Springer (2003).
15. The Fifty-Nine Icosahedra (Harold Coxeter with P. Du Val, H. T. Flather, J. F. Petrie); University of Toronto, 1938.
16. Bridge, 1974
17. The Fifty-Nine Icosahedra (Harold Coxeter with P. Du Val, H. T. Flather, J. F. Petrie); University of Toronto, 1938.

Šis straipsnis yra tapęs savaitės straipsniu.