Platono kūnas TetraedrasTolygusis žvaigždinis briaunainis Nusklembtas dodekadodekaedras Tolygusis briaunainis toks briau

Platono kunas TetraedrasTolygusis zvaigzdinis briaunainis Nusklembtas dodekadodekaedras Tolygusis briaunainis toks briaunainis kurio sienos yra taisyklingieji daugiakampiai ir kurio virsunes yra tranzityvios t y virsuniu kampai yra lygus ir sis briaunainis yra Tolygaus briaunainio visos virsunes yra tolygios tapacios o pats briaunainis pasizymi didelio laipsnio atspindejimo ir sukimo simetrija Tolygieji briaunainiai gali buti taisyklingi jei be virsuniu dar yra tranzityvios sienos ir briaunos kvazitaisyklingi jei be virsuniu dar yra tranzityvios briaunos bet sienos netranzityvios ir pustaisyklingiai jei tranzityvios vien virsunes o sienos ir briaunos netranzityvios Siu briaunainiu sienos ir virsunes gali buti ir neiskilos tad daug tolygiuju briaunainiu yra Atmetus begalines prizminiu briaunainiu klases suskaiciuosime 75 tolygiuosius briaunainius arba 76 jei įskaiciuosime Skilingo figura Iskilieji 5 Platono kunai taisyklingieji iskili briaunainiai 13 Archimedo kunu 2 kvazitaisyklingieji ir 11 pustaisyklingiu iskiliu briaunainiu Zvaigzdiniai 4 Keplerio Puanso kunai taisyklingi neiskili briaunainiai 53 tolygus zvaigzdiniai braiunainiai 5 kvazitaisyklingieji ir 48 pustaisyklingiai 1 zvaigzdinis briaunainis turintis sutampanciu briaunu poras geometriskai vadinamas didziuoju dinusklembtu dirombiniu dodekaedru kurį atrado Dzonas Skilingas John Skilling todel neretai jis svadinamas tiesiog Skilingo figura Greta sios suskaiciuojamos aibes dar yra dvi begalines briaunainiu klases apimancios prizmines iskilas ir zvaigzdines formas Tolygiuju briaunainiu dualai turi tranzityvias sienas yra izoedrai ir ju virsunes planas yra taisyklingas daugiakampis Įprastai klasifikuojant dualus briaunainiai gretinami su ju pirminiais tolygiaisiais briaunainiais Taisyklinguju briaunainiu dualai taip pat yra taisyklingieji o Archimedo kunu Katalano kunai Tolygieji briaunainiai yra atskiras trimatis tolygiuju politopu atvejis Tolygiuju politopu teorija apibendrina tolygiasias figuras ne vien trimatei bet ir kitu matavimu erdvems tiek aukstesnio matavimo keturmatei ir aukstesnei tiek zemesnems dvimatei vienmatei ir pan Trimaciu tolygiuju briaunainiu nagrinejimas leidzia akivaizdziai pazvelgti į tolygiuju politopu savybes zmogui lengvai suvokiamoje trimateje erdveje Istorija Platono kunai buvo studijuojami dar Senoves Graikijoje kur jais domejosi filosofas Platonas matematikai Teatetas Theaetetus ir Euklidas Johanas Kepleris 1571 1630 pirmas paskelbe issamu Archimedo kunu sarasa nors pradinis Archimedo veikalas buvo jau prarastas Taisyklingieji zvaigzdiniai briaunainiai Kepleris 1619 metais atrado du Keplerio Puanso briaunainius o prancuzu matematikas Lui Puanso Louis Poinsot 1809 metais kitus du Kiti 53 netaisyklingieji zvaigzdiniai briaunainiai Is likusiu 53 1878 metais Edmundas Hesas Edmund Hess atrado du briaunainius 1881 metais Alberas Banduro Albert Badoureau atrado 36 o Picas Pitsch tais paciais 1881 metais nepriklausomai atrado dar 18 is kuriu 15 buvo dar visiskai nezinomi JAV geometras Haroldas Kokseteris Harold Scott MacDonald Coxeter bendradarbiaudamas su Dzefriu Mileriu Jeffrey Charles Percy Miller 1930 1932 metais atrado likusius dvylika briaunainiu bet neskubejo apie tai publikuoti tad panasiai tuo paciu metu broliai Maiklas ir Kristoferis Longet Higinsai Michael Selwyn Longuet Higgins Hugh Christopher Longuet Higgins nepriklausomai atrado 11 siu briaunainiu 1954 metais Kokseteris broliai Longet Higinsai ir Mileris bendrai publikavo tolygiuju briaunainiu sarasa 1970 metais Sopovas įrode kad ju sarasas yra issamus 1974 metais Magnusas Veningeris Magnus Wenninger publikavo veikala Polyhedron models Briaunainiu modeliai kuriame pavaizduoti visi 75 neprizminiai tolygieji briaunainiai ir pateikti matematiko Normano Dzonsono Norman Johnson suteikti pavadinimai kurie daugelio ju nebuvo anksciau skelbti 1975 metais Dz Skilingas John Skilling nepriklausomai dar karta įrode kad Kokseterio ir kitu sarasas yra issamus o jei butu leista tolygiesiems briaunainiams priskirti figura kurios kelios briaunos sutampa tuomet reiketu įtraukti dar viena ir tiktai viena briaunainį veliau pavadinta Skilingo figura 1987 metais Edmondas Bonanas Edmond Bonan nubraize visu tolygiuju briaunainiu trimates projekcijas kompiuterio programa turbo paskalio kalba parasyta programa Polyca sie vaizdai buvo pristatyti Tarptautiniame steroskopijos kongrese International Stereoscopic Union Congress Eastbourne UK 1993 metais Zvi Har Elis Zvi Har El sukure kompiuterine programa Kaleido skirta kaleidoskopiniam tolygiuju briaunainiu konstravimui ir aprase ja straipsnyje Uniform Solution for Uniform Polyhedra Vieningas sprendimas tolygiems briaunainiams Jis figuras numeravo nuo 1 iki 80 Tais paciais 1993 metais R Mederis R Mader Kaleido programos sprendimui pritaike kitokį figuru indeksavima ir viska perkele į Mathematica programine aplinka 2002 metais Peteris Meseris Peter W Messer atrado minimalia aibe apimancia uzdaro pavidalo israiskas kuriomis galima isreiksti kombinatoriniu ir metriniu bet kurio tolygiojo briaunainio ir jo dualo savybiu kiekybinius parametrus kai zinomas tik Tolygieji zvaigzdiniai briaunainiai Visi 57 neprizminiai neiskili briaunainiai gali buti sudaryti taikant Iskilos nezvaigzdines formos Vithofo konstravimas Pavyzdys sukurtas is kubo ir oktaedro tarpusavio virsmo Iskili tolygieji briaunainiai yra vadinami pagal pavadinima ir arba pagal sasaja su taisyklingaja forma Zemiau pateikiami iskili tolygieji briaunainiai isdestyti pagal Vithofo konstravimo veiksma ir simetrijos grupe Vithofo konstravimo metu sukuriami pakartojimai kuriuos atitinka zemesnes simetrijos atvejai Kubas vienu metu yra ir taisyklingasis briaunainis ir kvadratine prizme Oktaedras vienu metu yra ir taisyklingasis briaunainis ir trikampe antiprizme be to jis dar yra rektifikuotas tetraedras Daug briaunainiu gali buti sukurti pakartotinai is skirtingu Vithofo konstravimo tasku tik tada jie yra kitaip nuspalvinami Kadangi Vithofo konstravimas vienodai tinkamas tiek tolygiems briaunainiams tiek tolygiems klojiniams tai lenteleje pateikiami abeji vaizdai Sferiniai klojiniai apima ir vadinamuosius hosoedrus bei diedrus kurie yra netikrieji issigime briaunainiai Vithofo konstravimo metu simetrijos grupes sukuriamos is trimacio atspindzio tasku grupiu kuriu kiekviena atitinka fundamentinis trikampis p q r kur p gt 1 q gt 1 r gt 1 ir 1 p 1 q 1 r lt 1 3 3 2 eile 24 4 3 2 eile 48 5 3 2 eile 120 n 2 2 visiems n 3 4 5 eile 4n Likusios neatspindejimo formos yra konstruojamos nupjaunant pakaitomis angl alternation sienu daugiakampius turincius lyginį krastiniu skaiciu kai nupjaunamas kas antras briaunanio sienos daugiakampio kampas Kartu su prizmemis ir ju sferinio Vithofo konstravimo veiksmas prideda dvi taisyklingas klases kurios yra issigime briaunainiai diedrai ir hosoedrai is kuriu pirmieji turi tik dvi sienas o antrieji tik dvi virsunes Nupjaunant taisyklingajį hosoedra gauname prizmes Zemiau iskili tolygieji briaunainiai kurie nera prizmes pateikiami simetriniu formu tvarka ir indeksuojami nuo 1 iki 18 Pasikartojancios formos numeris apskliaustas lauztiniais skliaustais Begalines prizmines formos indeksuojamos paskirscius jas į keturias seimas Hosoedrai H2 Tik kaip sferiniai klojiniai Diedrai D2 Tik kaip sferiniai klojiniai Prizmes P3 Nupjautiniai hosoedrai Antiprizmes A3 Nusklembtos angl snub prizmes Apibendrinancios duomenu lenteles p sienos krastiniu arba kampu skaicius q į viena virsune sueinanciu sienu arba briaunu skaicius Dzonsono pavadinimai Pirminis Nupjautinis Rektifikuotas Binupjautinis nupjautinis dualas Birektifikuotas dualas Kanteliuotas Omninupjautinis Kantenupjautinis Nusklembtas angl snub Isplestinis p q displaystyle begin Bmatrix p q end Bmatrix t p q displaystyle t begin Bmatrix p q end Bmatrix pq displaystyle begin Bmatrix p q end Bmatrix t q p displaystyle t begin Bmatrix q p end Bmatrix q p displaystyle begin Bmatrix q p end Bmatrix r pq displaystyle r begin Bmatrix p q end Bmatrix t pq displaystyle t begin Bmatrix p q end Bmatrix s pq displaystyle s begin Bmatrix p q end Bmatrix p q t p q r p q 2t p q 2r p q rr p q tr p q sr p q t0 p q t0 1 p q t1 p q t1 2 p q t2 p q t0 2 p q t0 1 2 p q ht0 1 2 p q p q 2 q p 2 2 q p 2 p q 2 p q p q 2 p q 2 p q 2 p q 2Virsunes planas pq q 2p 2p p q 2 p 2q 2q qp p 4 q 4 4 2p 2q 3 3 p 3 q 3 3 2 3 3 3 6 6 3 3 3 3 3 6 6 3 3 4 6 6 3 3 3 3 3 4 3 2 4 3 3 8 8 4 6 6 3 4 3 3 3 3 4 5 3 2 5 3 3 10 10 3 5 3 4 5 4 3 3 3 3 5 Diedrines simetrijos vaizdai p 2 2 Pirminis Nupjautinis Rektifikuotas Binupjautinis nupj dualas Birektifikuotas dualas Kanteliuotas Omninupjautinis Kantenupjautinis Nusklembtas angl snub Isplestinis p 2 displaystyle begin Bmatrix p 2 end Bmatrix t p 2 displaystyle t begin Bmatrix p 2 end Bmatrix p2 displaystyle begin Bmatrix p 2 end Bmatrix t 2 p displaystyle t begin Bmatrix 2 p end Bmatrix 2 p displaystyle begin Bmatrix 2 p end Bmatrix r p2 displaystyle r begin Bmatrix p 2 end Bmatrix t p2 displaystyle t begin Bmatrix p 2 end Bmatrix s p2 displaystyle s begin Bmatrix p 2 end Bmatrix p 2 t p 2 r p 2 2t p 2 2r p 2 rr p 2 tr p 2 sr p 2 t0 p 2 t0 1 p 2 t1 p 2 t1 2 p 2 t2 p 2 t0 2 p 2 t0 1 2 p 2 ht0 1 2 p 2 2 p 2 2 2 p 2 p 2 2 p 2 p 2 2 p 2 2 p 2 2 p 2 2Virsunes planas p2 2 2p 2p p 2 p 2 p 4 4 2p p 4 2 4 4 2p 4 3 3 p 3 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 4 4 2 2 4 2 4 4 4 4 3 3 3 2 3 2 2 2 6 6 2 3 2 3 4 4 3 2 4 3 4 4 4 6 3 3 3 3 4 2 2 2 8 8 2 4 2 4 4 4 4 2 4 4 4 4 4 8 3 3 3 4 5 2 2 2 10 10 2 5 2 5 4 4 5 2 4 5 4 4 4 10 3 3 3 5 6 2 2 2 12 12 2 6 2 6 4 4 6 2 4 6 4 4 4 12 3 3 3 6Vithofo konstravimo veiksmai Veiksmas Simbolis AprasymasPirminis p q t0 p q Bet koks taisyklingas briaunainis arba klojinys r r p q t1 p q Visiskai nupjautos briaunos virsta taskais Briaunainio sienos dabar yra kombinuotos is priminio kuno ir jo dualo sienu Birektifikuotas 2r tas pats kas dualas 2r p q t2 p q Birektifikuotas kunas dualas gaunamas toliau nupjaunant taip kad pirmines sienos virsta taskais Naujos sienos susidaro po kiekviena pirmine virsune Briaunu skaicius nepakinta bet jos pasisuka 90 laipsniu Taisyklingojo briaunainio p q dualas yra taip pat taisyklingas briaunainis q p t t p q t0 1 p q Kiekviena pirmine virsune nupjaunama ir jos vietoje susidaro nauja siena Nupjovimui budingas tam tikras laisves laipsnis kurio vienas sprendimas sukuria tolygujį nupjautinį briaunainį Pirminiu briaunainio sienos pastumiamos į sonus o nupjautu virsuniu vietoje susidaro dualo sienos Binupjovimas 2t 2t p q t1 2 p q Tas pats kas nupjautinis dualas rr Taip pat rr p q Kartu su virsunes nupjovimu kiekviena pirmine briauna nuozulniai papildoma nauja staciakampe siena susidarancia vietoje briaunos Tolygi kanteliacija yra pusiaukele tarp pirminio kuno ir jo dualo Kantenupjautas tr Taip pat tr p q t0 1 2 p q Nupjovimas ir kanteliacija vyksta kartu ir sukuria omninupjauta forma kurioje pirminio kuno sienos yra pastumtos į sonus dualo sienos yra pastumtos į sonus o vietoje pirminiu briaunu yra susidare kvadrataiNupjovimas pakaitomis angl alternation Veiksmas Simbolis AprasymasNusklembtas rektifikuotas sr sr p q Kantenupjovimas pakaitomis Visos pirmines sienos netenka puses savo krastiniu o kvadratai susitraukia į briaunas Kadangi omninupjautines formos turi trisieniu virsuniu susidaro nauji trikampiai Įprastai sios pakaitinio sienu keitimo budu gautos formos veliau siek tiek deformuojamos kad vel taptu tolygiais briaunainiais Velesnes kaitos galimybes priklauso nuo laisves laipsnio Nusklembtas s s p 2q Nupjovimas pakaitomisKantavimas nusklembimas s2 s2 p 2q Kanteliacija pakaitomis hrr hrr 2p 2q Įmanomi tik tolygieji klojiniai begaliniai briaunainiai kai pakaitomis nupjaunama Pavyzdziui Puse h h 2p q Pakaitomis nupjaunama tas pats kaipKantavimas h2 h2 2p q Tas pats kaipPusiau rektifikavimas hr hr 2p 2q Įmanomas tik tolygiems klojiniams begaliniams briaunainiams pakaitomis nupjaunama tas pats kaip arba Pavyzdziui arbaKetvirtis q q 2p 2q Įmanomas tik tolygiems klojiniams begaliniams briaunainiams tas pats kaip pavyzdziui arba 3 3 2 Td Tetraedrine simetrija Sferos sukuria 5 tolygiuosius briaunainius o sestas suformuojamas nusklembimo veiksmu Tetraedrines simetrijos pagrindas yra fundamentinis trikampis turintis viena virsune su dviem veidrodziais ir dvi virsunes su trimis veidrodziais kas uzrasoma simboliu 3 3 2 Taip pat sia simetrija galima uzrasyti Kokseterio grupe A2 arba 3 3 taip pat Tetrakis heksaedras turi 24 regimus trikampius o ant sferos matome pakaitomis nudazytus trikampius ant analogisko sferinio briaunainio Nr Pavadinimas Grafas A3 Grafas A2 Vaizdas Klojinys Virsunes planas ir simboliai Sienu kiekis pagal pozicija Elementu kiekisPoz 2 3 4 Poz 1 2 6 Poz 0 3 4 Sienos Briaunos Virsunes1 Tetraedras 3 3 3 4 6 4 1 Birektifikuotas tetraedras tas pats kaip tetraedras t2 3 3 3 3 3 4 6 42 Rektifikuotas tetraedras tas pats kaip oktaedras t1 3 3 r 3 3 3 3 8 12 63 Nupjautinis tetraedras t0 1 3 3 t 3 3 6 3 8 18 12 3 Binupjautinis tetraedras tas pats kaip nupjautinis tetraedras t1 2 3 3 t 3 3 3 6 8 18 124 Rombinis tetratetraedras tas pats kaip t0 2 3 3 rr 3 3 3 4 3 14 24 125 Nupjautinis tetratetraedras tas pats kaip nupjautinis oktaedras t0 1 2 3 3 tr 3 3 6 4 6 14 36 246 Nusklembtas tetratetraedras tas pats kaip ikosaedras sr 3 3 3 2 3 3 20 30 12 4 3 2 Oh Oktaedrine simetrija Sferos sukuria 7 tolygiuosius briaunainius ir dar 7 pasitelkiant nupjovima pakaitomis Sesi pavidalai kartojasi is aprasytos tetraedrines simetrijos lenteles auksciau Oktaedrines simetrijos generavimo pagrindas yra fundamentinis trikampis 4 3 2 jei skaiciuosime veidrodzius kiekvienoje virsuneje Taip pat sia simetrija galima uzrasyti Kokseterio grupe B2 arba 4 3 taip pat Disdyakis dodekaedras turi 48 regimus sienu trikampius o ant sferos matome pakaitomis nudazytus trikampius vaizduojancius analogiska sferinį briaunainį Nr Pavadinimas Grafas B3 Grafas B2 Vaizdas Klojinys Virsunes planas ir simboliai Sienu kiekis pagal pozicija Elementu kiekisPoz 2 4 8 Poz 1 2 12 Poz 0 3 6 Sienos Briaunos Virsunes7 Kubas 4 3 4 6 12 8 2 Oktaedras 3 4 3 8 12 6 4 Rektifikuotas kubas Rektifikuotas oktaedras 4 3 4 3 14 24 128 Nupjautinis kubas t0 1 4 3 t 4 3 8 3 14 36 24 5 Nupjautinis oktaedras t0 1 3 4 t 3 4 4 6 14 36 249 Kanteliuotas kubas Kanteliuotas oktaedras t0 2 4 3 rr 4 3 8 4 6 26 48 2410 Omninupjautinis kubas Omninupjautinis oktaedras t0 1 2 4 3 tr 4 3 8 4 6 26 72 48 6 Nusklembtas oktaedras Tas pats kaip ikosaedras s 3 4 sr 3 3 3 3 20 30 12 1 Puskubis Tas pats kaip tetraedras h 4 3 3 3 1 2 3 4 6 4 2 Kantuotas kubas Tas pats kaip nupjautinis tetraedras h2 4 3 t 3 3 1 2 6 1 2 3 8 18 12 4 Tas pats kaip rr 3 3 14 24 12 5 Tas pats kaip nupjautinis oktaedras tr 3 3 14 36 24 9 Kantuotas nusklembtas oktaedras Tas pats kaip s2 3 4 rr 3 4 26 48 2411 Nusklembtas kuboktaedras sr 4 3 2 3 3 38 60 24 5 3 2 Ih Ikosaedrine simetrija Sferos sukuria 7 tolygiuosius briaunainius ir dar 1 pasitelkiant nupjovima pakaitomis Tik 1 pavidalas kartojasi is aprasytu tetraedrines ir oktaedrines simetrijos lenteliu auksciau Ikosaedrines simetrijos generavimo pagrindas yra fundamentinis trikampis 5 3 2 jei skaiciuosime veidrodzius kiekvienoje virsuneje Taip pat sia simetrija galima uzrasyti Kokseterio grupe G2 arba 5 3 taip pat Disdyakis triakontaedras turi 120 regimu sienu trikampiu o ant sferos matome pakaitomis nudazytus trikampius vaizduojancius analogiska sferinį briaunainį Nr Pavadinimas Grafas A2 6 Grafas H3 10 Vaizdas Klojinys Virsunes planas ir simboliai Sienu kiekis pagal pozicija Elementu kiekisPoz 2 5 12 Poz 1 2 30 Poz 0 3 20 Sienos Briaunos Virsunes12 Dodekaedras 5 3 5 12 30 20 6 Ikosaedras 3 5 3 20 30 1213 Rektifikuotas dodekaedras Rektifikuotas ikosaedras t1 5 3 r 5 3 5 3 32 60 3014 Nupjautinis dodekaedras t0 1 5 3 t 5 3 10 3 32 90 6015 Nupjautinis ikosaedras t0 1 3 5 t 3 5 5 6 32 90 6016 Kanteliuotas dodekaedras Kanteliuotas ikosaedras Rombinis ikosidodekaedras t0 2 5 3 rr 5 3 5 4 3 62 120 6017 Omninupjautinis dodekaedras Omninupjautinis ikosaedras Nupjautinis ikosidodekaedras t0 1 2 5 3 tr 5 3 10 4 6 62 180 12018 sr 5 3 5 2 3 3 92 150 60 p 2 2 Prizmines p 2 I2 p seimos Dph diedrine simetrija Sferos sukuria dvi begalines tolygiuju briaunaniu aibes prizmes ir antiprizmes ir dar dvi begalines issigimusiu briaunaniu aibes hosoedrus ir diedrus kurie egzistuoja tik kaip sferos klojiniai Diedrines simetrijos generavimo pagrindas yra fundamentinis trikampis p 2 2 jei skaiciuosime veidrodzius kiekvienoje virsuneje Taip pat sia simetrija galima uzrasyti Kokseterio grupe I2 p arba n 2 taip pat prizmine Zemiau pavaizduoti pirmi penki diedrines simetrijos atvejai D2 D6 Diedrines simetrijos Dp eile yra 4n atspindi bipiramides sienas o ant sferos tai pusiaujo linija ir n tolygiai viena nuo kitos nutolusiu dienovidiniu 2 2 2 diedrine simetrija Yra 8 fundamentalus trikampiai matomi ant kvadratines bipiramides sienu oktaedras ir pakaitomis nuspalvintus trikampius ant sferos Nr Pavadinimas Vaizdas Klojinys Virsunes planas ir simboliai Sienu kiekis pagal pozicija Elementu kiekisPoz 2 2 2 Poz 1 2 2 Poz 0 2 2 Sienos Briaunos VirsunesD2 H2 Digoninis diedras Digoninis hosoedras 2 2 2 2 2 2D4 Nupjautinis digoninis diedras Tas pats kaip kvadratinis diedras t 2 2 4 2 4 2 4 4P4 7 omninupjautinis digoninis diedras Tas pats kaip kubas t0 1 2 2 2 tr 2 2 4 4 4 6 12 8A2 1 Nusklembtas digoninis diedras Tas pats kaip tetraedras sr 2 2 2 3 4 6 4 3 2 2 D3h diedrine simetrija Yra 12 fundamentaliu trikampiu kurie matomi ant sesiakampes bipiramides sienu ir pakaitomis nuspalvintus trikampius ant sferos Nr Pavadinimas Vaizdas Klojinys Virsunes planas ir simboliai Sienu kiekis pagal pozicija Elementu kiekisPoz 2 3 2 Poz 1 2 3 Poz 0 2 3 Sienos Briaunos VirsunesD3 Trigoninis diedras 3 2 3 2 3 3H3 Trigoninis hosoedras 2 3 2 3 3 2D6 Nupjautinis trigoninis diedras Tas pats kaip sesiakampis diedras t 3 2 6 2 6 6P3 Nupjautinis trigoninis hosoedras Trikampe prizme t 2 3 3 4 5 9 6P6 Omninupjautinis trigoninis diedras Sesiakampe prizme t0 1 2 2 3 tr 2 3 6 4 4 8 18 12A3 2 Nusklembtas trigoninis diedras Tas pats kaip trikampe antiprizme Tas pats kaip oktaedras sr 2 3 3 2 3 8 12 6P3 Kantuotas nusklembtas trigoninis diedras Trikampe prizme s2 2 3 t 2 3 5 9 6 4 2 2 D4h diedrine simetrija Yra 16 fundamentaliu trikampiu kurie matomi ant astuoniakampes bipiramides sienu ir kaip pakaitomis nuspalvinti trikampiai ant sferos Nr Pavadinimas Vaizdas Klojinys Virsunes planas ir simboliai Sienu kiekis pagal pozicija Elementu kiekisPoz 2 4 2 Poz 1 2 4 Poz 0 2 4 Sienos Briaunos VirsunesD4 Kvadratinis diedras 4 2 4 2 4 4H4 Kvadratinis hosoedras 2 4 2 4 4 2D8 Nupjautinis kvadratinis diedras Tas pats kaip astuoniakampis diedras t 4 2 8 2 8 8P4 7 Nupjautinis kvadratinis hosoedras Kubas t 2 4 4 4 6 12 8D8 Omninupjautinis kvadratinis diedras Astuoniakampe prizme t0 1 2 2 4 tr 2 4 8 4 4 10 24 16A4 Nusklembtas kvadratinis diedras Kvadratine antiprizme sr 2 4 4 2 3 10 16 8P4 7 Kantuotas nusklembtas kvadratinis diedras Kubas s2 4 2 t 2 4 6 12 8A2 1 Nusklembtas kvadratinis hosoedras Digonine antiprizme Tetraedras s 2 4 sr 2 2 4 6 4 5 2 2 D5h diedrine simetrija Yra 20 fundamentaliu trikampiu kurie matomi ant desimtkampes bipiramides sienu ir kaip pakaitomis nuspalvinti trikampiai ant sferos Nr Pavadinimas Vaizdas Klojinys Virsunes planas ir simboliai Sienu kiekis pagal pozicija Elementu kiekisPos 2 5 2 Pos 1 2 5 Pos 0 2 5 Sienos Briaunos VirsunesD5 Penkiakampis diedras 5 2 5 2 5 5H5 Penkiakampis hosoedras 2 5 2 5 5 2D10 Nupjautinis penkiakampis diedras Tas pats kaip desimtkampis diedras t 5 2 10 2 10 10P5 Nupjautinis penkiakampis hosoedras Tas pats kaip penkiakampe prizme t 2 5 5 4 7 15 10P10 Omninupjautinis penkiakampis diedras desimtkampe prizme t0 1 2 2 5 tr 2 5 10 4 4 12 30 20A5 Nusklembtas penkiakampis diedras Penkiakampe antiprizme sr 2 5 5 2 3 12 20 10P5 Kantuotas nusklembtas penkiakampis diedras Penkiakampe prizme s2 5 2 t 2 5 7 15 10 6 2 2 D6h diedrine simetrija Yra 24 fundamentalus trikampiai kurie matomi ant dvylikakampes bipiramides sienu ir kaip pakaitomis nuspalvinti trikampiai ant sferos rowspan 2 Nr Pavadinimas Vaizdas Klojinys Virsunes planas ir simboliai Sienu kiekis pagal pozicija Elementu kiekisPos 2 6 2 Pos 1 2 6 Pos 0 2 6 Sienos Briaunos VirsunesD6 Sesiakampis diedras 6 2 6 2 6 6H6 Sesiakampis hosoedras 2 6 2 6 6 2D12 Nupjautinis sesiakampis diedras Tas pats kaip dvylikakampis diedras t 6 2 12 2 12 12H6 Nupjautinis sesiakampis hosoedras Tas pats kaip sesiakampe prizme t 2 6 6 4 8 18 12P12 Omninupjautinis sesiakampis diedras Dvylikakampe prizme t0 1 2 2 6 tr 2 6 12 4 4 14 36 24A6 Nusklembtas sesiakampis diedras Sesiakampe antiprizme sr 2 6 6 2 3 14 24 12P3 Kantuotas sesiakampis diedras Trikampe prizme h2 6 2 t 2 3 5 9 6P6 Kantuotas nusklembtas sesiakampis diedras Sesiakampe prizme s2 6 2 t 2 6 8 18 12A3 2 Nusklembtas sesiakampis hosoedras Tas pats kaip trikampe antiprizme Tas pats kaip oktaedras s 2 6 sr 2 3 8 12 6Nuorodos Coxeter Longuet Higgins Miller Harvard 1954 Sopov Harvard 1970 Skilling 1975 Closed Form Expressions for Uniform Polyhedra and Their Duals Peter W Messer Discrete Comput Geom 27 353 375 2002 neveikianti nuoroda Saltiniai Bruckner M Vielecke und vielflache Theorie und geschichte Leipzig Germany Teubner 1900 1 Longuet Higgins M S Miller J C P 1954 Uniform polyhedra Philosophical Transactions of the Royal Society of London Series A Mathematical and Physical Sciences The Royal Society 246 916 401 450 doi 10 1098 rsta 1954 0003 ISSN 0080 4614 JSTOR 91532 0062446 2 Sopov S P 1970 A proof of the completeness on the list of elementary homogeneous polyhedra Ukrainskiui Geometricheskiui Sbornik 8 139 156 0326550 1974 Polyhedron Models Cambridge University Press ISBN 0 521 09859 9 Skilling J 1975 The complete set of uniform polyhedra Philosophical Transactions of the Royal Society of London Series A Mathematical and Physical Sciences 278 1278 111 135 doi 10 1098 rsta 1975 0022 ISSN 0080 4614 JSTOR 74475 0365333 Har El Z Uniform Solution for Uniform Polyhedra Archyvuota kopija 2009 07 15 is Wayback Machine projekto Geometriae Dedicata 47 57 110 1993 Zvi Har El Archyvuota kopija 2009 07 27 is Wayback Machine projekto Kaleido software Archyvuota kopija 2011 05 20 is Wayback Machine projekto Images Archyvuota kopija 2011 05 20 is Wayback Machine projekto dual images Archyvuota kopija 2011 05 20 is Wayback Machine projekto Mader R E Uniform Polyhedra Mathematica J 3 48 57 1993 3 Messer Peter W Closed Form Expressions for Uniform Polyhedra and Their Duals neveikianti nuoroda Discrete amp Computational Geometry 27 353 375 2002