Azərbaycan
Deutschland
Lietuva
Malta
ශ්රී ලංකාව
Türkmenistan
Türkiyə
Украина
Taisyklingasis briaunainis labai simetriška geometrinė trimatė figūra kurios vienarūšiai gretimi elementai yra tranzityv
Taisyklingasis briaunainis
Taisyklingasis briaunainis – labai simetriška geometrinė trimatė figūra, kurios vienarūšiai gretimi elementai yra tranzityvūs: viršūnės, briaunos ir sienos. Vadinasi, pasukus per vieną elementą (kad viršūnė atsidurtų vietoj gretimos viršūnės; arba briauna – vietoj gretimos briaunos; arba siena – vietoj gretimos sienos) gausime tokį pat briaunainį. Kitaip galima apibrėžti, kad taisyklingas briaunainis yra toks briaunainis, kurio sienos yra vienodi lygiakraščiai taisyklingieji daugiakampiai, vienodai išsidėstę aplinkui kiekvieną viršūnę. Labai formaliai (pagal šiuolaikinę politopų teoriją) taisyklingasis daugiakampis yra toks ir tik toks briaunainis, kurio yra tranzityvi jo „simetriškumo žymeniui“ (angl. flag) (tai yra, aibei, kurią sudaro viršūnė, iš jos išeinanti briauna ir šią viršūnę ir briauną liečianti siena).
Taisyklingieji briaunainiai žymimi tokiu : {n, m}, kur n yra sienos daugiakampio kraštinių skaičius, o m vienoje viršūnėje sueinančių sienų skaičius. Įrodyta, kad iš viso egzistuoja tik devyni taisyklingieji briaunainiai: penki iškili briaunainiai, vadinamieji Platono kūnai (tetraedras {3, 3}, kubas {4, 3}, oktaedras {3, 4}, dodekaedras {5, 3} ir ikosaedras {3, 5}; ir keturi žvaigždiniai briaunainiai, vadinamieji Keplerio-Puanso kūnai (žr. žemiau lentelėje).
Taisyklingi briaunainiai
Iš viso egzistuoja tik penki iškili taisyklingi briaunainiai – Platono kūnai ir keturi taisyklingi žvaigždiniai briaunainiai – Keplerio-Puanso kūnai:
Platono kūnai
| Tetraedras {3, 3} | Kubas {4, 3} | Oktaedras {3, 4} | Dodekaedras {5, 3} | Ikosaedras {3, 5} |
| χ = 2 | χ = 2 | χ = 2 | χ = 2 | χ = 2 |
Keplerio-Puanso kūnai
{5/2, 5} | {5, 5/2} | {5/2, 3} | {3, 5/2} |
| χ = −6 | χ = −6 | χ = 2 | χ = 2 |
Savybės
Ekvivalentiškumas
Ta savybė, kad aplinkui kiekvieną taisyklingų briaunainių viršūnę sienos išsidėsčiusios visiškai vienodai, leidžia tvirtinti tokius ekvivalentiškumo teiginius:
- Visos taisyklingojo briaunainio viršūnė yra vienos sferos paviršiuje.
- Visi taisyklingojo briaunainio dvisieniai kampai yra lygūs.
- Visų taisyklingojo briaunainio viršūnių planai yra taisyklingi daugiakampiai.
- Visi taisyklingojo briaunainio erdviniai kampai yra lygūs.
Koncentrinės sferos
Taisyklingiesiems briaunainiams būdingos trys koncentrinės sferos (kitokiems briaunainiams bent vienos iš jų nubrėžti neįmanoma), kurių centras yra briaunainio viduryje:
- Įbrėžtinė sfera, liečianti visas sienas.
- Tarpinė įbrėžtinė sfera, liečianti visas briaunas.
- Apibrėžtinė sfera, liečianti visas viršūnes.
Simetrija
Taisyklingieji briaunainiai yra simetriškiausi iš visų briaunainių. Jie būna tik trijų , kurios ir vadinamos pagal būdingą Platono kūną:
- Tetraedrinė
- Oktaedrinė (arba kubinė)
- Ikosaedrinė (arba dodekaedrinė)
Be to, kiekvienas kūnas, kuriam būdinga oktaedrinė arba dodekaedrinė simetrija, dar pasižymi ir tetraedrine simetrija.
Oilerio charakteristika
Visų penkių Platono kūnų Oilerio charakteristika χ (graikų k. mažoji chi) yra lygi 2. Dviejų Keplerio-Puanso kūnų – taip pat 2, o kitų dviejų – minus šeši (χ=-6).
Vidaus taškai
Taisyklingojo daugiakampio bet kuris vidaus taškas yra išsidėstęs taip, kad jo atstumų iki sienų suma yra vienodas skaičius; arba kitaip, bet kurio vidaus taško atstumų iki sienų suma yra nepriklausoma nuo taško padėties. (Šį teiginį nesunkiai galima patvirtinti remiantis Vivianio teorema lygiakraščiams trikampiams.) Bet priešingas teiginys nėra teisingas; tai yra, jei briaunainio bet kurio vidaus taško atstumo iki sienų suma yra nepriklausoma nuo taško padėties, nereiškia, kad briaunainis yra taisyklingasis (tai negalioja net tetraedrui).
Taisyklingųjų daugiakampių dualumas
Dualios briaunainių poros vieno briaunainio viršūnės atitinka kito briaunainio sienas ir atvirkščiai.
Taisyklingųjų briaunainių dualai (dualios poros) yra tokie:
- Tetraedras yra dualus pats sau; t. y. duali pora yra du tetraedrai.
- Tarpusavyje dualūs yra:
- Kubas ir oktaedras
- Ikosaedras ir dodekaedras
- ir
- ir
Dualaus briaunainio sužinomas labai paprastai, nes tereikia pirminio briaunainio simbolį užrašyti atvirkščia tvarka: pavyzdžiui, briaunainio {5, 3} (dodekaedro) dualas yra {3, 5} (ikosaedras). Tai visai suprantama, nes Šlėfli simbolyje {n, m}, n yra sienos daugiakampio kraštinių skaičius, o m vienoje viršūnėje sueinančių sienų skaičius; kadangi dualo sienos atitinka pradinio briaunainio viršūnes, vadinasi, jei į viršūnę sueina m daugiakampių, dualo sienos bus m-kampiai, o kadangi pirminio briaunainio siena buvo n-kampis, tai dualo viršūnėje sueis n m-kampių.
Istorija
Ikiistorinis periodas
Briaunainiai sutinkami jau ankstyviausiuose statiniuose, dažniausiai, stačiakampiai gretasieniai ir kubai, taip pat keturkampės Egipto piramidės ir kitokie statiniai, išlikę net iš akmens amžiaus.
Kai kuriuos taisyklinguosius briaunainius žinojo jau etruskai, kurių civilizacija senesnė nei graikų, ką rodo XIX a. pabaigos kasinėjimai prie Padujos (šiaurės Italijoje ), kur buvo rastas iš talko mineralo uolienos steatito, dar vadinamo muilo akmeniu, maždaug prieš 2500 metų padarytas dodekaedras.
Graikų civilizacija
Seniausi žinomi raštiški briaunainių paminėjimai sutinkami klasikinės Graikijos autorių darbuose, kur kartu buvo pateikti ir pirmieji šių figūrų matematiniai apibūdinimai. Senovės graikai pirmiausia domėjosi taisyklingais iškilais briaunainiais, kuriuos vėliau imta vadinti Platono kūnais. Pitagorui buvo žinomi ne mažiau kaip trys šie kūnai, o Teatetas (Theaetetus) apie 417 p.m.e. aprašė jau visus penkis. Galiausiai Euklidas „Elementuose“ aprašė jų sandarą. Vėliau Archimedas išplėtojo briaunainių studiją ir aprašė , kurie gavo jo vardą ir dabar vadinami Archimedo kūnais. Pirminė Archimedo studija iki mūsų laikų neišliko, bet apie ją žinoma iš Paposo Aleksandriškio darbų.
XVII a. Keplerio tyrimai
Senovėje pitagoriečiai laikėsi minties, kad egzistuoja tam tikra dermė tarp taisyklingųjų briaunainių ir Saulės sistemos planetų judėjimo. XVII amžiuje Johanas Kepleris ėmėsi studijuoti planetų judėjimo duomenis, kuriuos dar XVI amžiuje buvo sukaupęs danų mokslininkas Tiuchas Brahė (Tycho Brahe), ir mėgino patvirtinti pitagoriečių skelbtą idealą, tikėdamasis atrasti atitikimą tarp briaunainių savybių ir planetų orbitų savybių. Nors jo dešimtmetį trukęs tyrimas taip ir neatskleidė ieškoto idealo, vis dėlto, taisyklingųjų briaunainių studijos leido Kepleriui ne tik atrasti naują taisyklingų briaunainių šeimą (Keplerio-Puanso kūnus), bet pasitarnavo ir kosmologijai: buvo nustatyta, kad planetų orbitos yra elipsiškos, o be to, buvo suformuluoti trys Keplerio dėsniai, kurie yra aktualūs iki šiol. Keplerio laikais buvo žinoma tik apie penkias planetas (neskaitant Žemės), tad nieko nuostabaus, kad buvo mėginta ieškoti teorinių sąsajų tarp dangaus kūnų mechanikos ir tobulai atrodančių Platono kūnų. Bet paties Keplerio atradimai, taip pat vėliau atrasti Uranas (planeta) ir Plutonas (planeta), galiausiai privertė atsisakyti pitagoriečių idealo paieškų.
Žvaiždiniai briaunainiai
Kone 2000 metų briaunainiai, kaip iškilosios figūros, buvo suvokiami, remiantis graikų matematiniais pasiekimais. Bet renesanso periodu buvo atrasti žvaigždiniai briaunainiai. Venecijos šv. Marko bazilikos grindyse buvo padaryta marmuro inkrustacija, kurioje vaizduojamas žvaigždinis dodekaedras. O kai kurie dailininkai, pavyzdžiui, Jamniceris (Wenzel Jamnitzer) piešė vis sudėtingesnes žvaigždines figūras.
Johanas Kepleris (1571–1630) naudodamas žvaigždinius daugiakampius, daugiausia pentagramas, kūrė žvaigždinius briaunainius. Kai kurios figūros turbūt buvo jau atrastos iki Keplerio, bet jis buvo pirmasis, kuris nustatė, kad šias figūras dera laikyti taisyklingomis, jei nesilaikysime reikalavimo, kad taisyklingos figūros turi būti iškilos. Vėliau nagrinėjo žvaigždinius viršūnės planus ir atrado dar du taisyklingus žvaigždinius briaunainius. Augustinas Lui Koši įrodė, kad Puanso sąrašas yra išsamus, o Arturas Keilis (Arthur Cayley) suformulavo jų pavadinimus: du Keplerio kūnai buvo pavadinti mažuoju žvaigždiniu dodekaedru ir didžiuoju žvaigždiniu dodekaedru; kiti du (Puanso kūnai) – didžiuoju ikosaedru ir didžiuoju dodekaedru. Dabar priimtas kuopinis šių kūnų pavadinimas yra Keplerio-Puanso briaunainiai.
Keplerio-Puanso briaunainius galima sukonstruoti iš Platono kūnų būdu. Daugelis figūrų, gaunamų stelacijos metu, yra netaisyklingos. 1938 metais Platono kūnų stelacijos tyrimus smarkiai pastūmėjo ir kiti geometrai, išleisdami veikalą „Penkiasdešimt devyni ikosaedrai“ (The Fifty-Nine Icosahedra).
Stelacijai atvirkštinis procesas yra vadinamas . Jei paimsime bet kokį politopą ir jo dualą, tai taikydami pirminiam politopui stelaciją, o dualui – išduobimą, gauname žvaigždinus briaunainius, kurie taip pat yra dualūs. Taisyklingus žvaigždinius briaunainius dar galima gauti išduobiant Platono kūnus. Nuo knygos Penkiasdešimt devyni ikosaedrai pasirodymo yra atrasta daugiau šių figūrų ir paieškos dar tęsiasi.
Taisyklingieji briaunainiai gamtoje
Visi penki Platono kūnai vienaip ar kitaip pasireiškia gamtoje.
Tetraedras, kubas ir oktaedras yra neretai gamtoje pasitaikančios kristalų formos. Žinoma, kristalų formų yra daug daugiau, net 47, bet taisyklingųjų briaunainių formos yra lengviausiai atpažįstamos. Taisyklingų ikosaedrų ar dodekaedrų tarp kristalų nesutinkama, bet tarp vadinamųjų kvazikristalų (kurie neatitinka griežtų kristalografinės simetrijos reikalavimų) sutinkami piritoedrai (pagal mineralo pirito pavadinimą) turi dvylika netaisyklingų penkiakampių sienų, kurios išdėstytos panašiai, kaip taisyklingo dodekaedro.
XX amžiaus pabaigos technologiniai atradimai leido tyrinėti sudėtingas anglies molekules, tarp kurių yra Bakminsterio Fulerio teoriškai nuspėtas ir vėliau, atradus, pavadintas jo vardu, fulerenas. Nors ši anglies forma laikytina kone sferiniu briaunainiu, labiausiai daugiamolekulinės jos formos (kaip C240, C480 ir C960), spėjama, turės kiek užapvalinto ikosaedro pavidalą, o pati molekulė bus kelių nanometrų skersmens.
Gyvojoje gamtoje taip pat sutinkame taisyklingų briaunainių. XX a. pradžioje Ernstas Hekelis (Ernst Haeckel) aprašė visą eilę radioliarijų, kurių skeletai neretai yra taisyklingų briaunainių pavidalo. Paminėtinos rūšys: Circoporus octahedrus, Circogonia icosahedra, Lithocubus geometricus ir Circorrhegma dodecahedra; mokslininkas, sudarydamas rūšies pavadinimus, atspindėjo sąsają su atitinkamais briaunainiais. Daugelio virusų išorinis baltymų apvalkalas susiformuoja kaip taisyklingieji briaunainiai. Pavyzdžiui, ŽIV yra įvilktas į taisyklingą ikosaedrą.
Kaip jau minėta, Kepleris atrado kosmologinius planetų judėjimo dėsnius tyrinėdamas taisyklingųjų briaunainių savybes.
Naujausiųjų laikų apibendrinimai
XX amžiaus matematikai būdinga apibendrinimo ir abstraktumo tendencija neaplenkė ir taisyklingųjų briaunainių tyrimų. Buvo išvestos naujos šių briaunainių klasės: taisyklingieji šlyties apeiroedrai, taisyklingieji šlyties briaunainiai, taisyklingieji neeuklidinių erdvių briaunainiai, abstraktūs taisyklingieji briaunainiai, taisyklingieji sferiniai briaunainiai bei kai kurie kiti.
Šaltiniai
- Cromwell, 1997
- Chen, Zhibo, and Liang, Tian. „The converse of Viviani’s theorem“, The College Mathematics Journal 37(5), 2006, pp. 390–391.
- Lindemann, 1987
- The Fifty-Nine Icosahedra (Harold Coxeter with P. Du Val, H. T. Flather, J. F. Petrie); University of Toronto, 1938.
- Bridge, 1974
- Kartavičius A., Žiedelis A., „Mineralų paslaptys“, Vilnius: Mokslas, 1986; p. 26.
- Curl, 1991
- Ernst Haeckel, 1904
- Bertrand, J. (1858). Note sur la théorie des polyèdres réguliers, Comptes rendus des séances de l’Académie des Sciences, 46, pp. 79–82.
- Cromwell, Peter R. (1997). Polyhedra. Cambridge University Press. p. 77. ISBN 0-521-66405-5.
- Haeckel, E. (1904). Kunstformen der Natur. Available as Haeckel, E. Art forms in nature, Prestel USA (1998), ISBN 3-7913-1990-6, or online at http://caliban.mpiz-koeln.mpg.de/~stueber/haeckel/kunstformen/natur.html Archyvuota kopija 2009-06-27 iš Wayback Machine projekto.
- Smith, J. V. (1982). Geometrical And Structural Crystallography. John Wiley and Sons.
- Sommerville, D. M. Y. (1930). An Introduction to the Geometry of n Dimensions. E. P. Dutton, New York. (Dover Publications edition, 1958). Chapter X: The Regular Polytopes.
- Coxeter, H.S.M.; Regular Polytopes (third edition). Dover Publications Inc. ISBN 0-486-61480-8
Autorius: www.NiNa.Az
Išleidimo data:
vikipedija, wiki, lietuvos, knyga, knygos, biblioteka, straipsnis, skaityti, atsisiųsti, nemokamai atsisiųsti, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, pictu, mobilusis, porn, telefonas, android, iOS, apple, mobile telefl, samsung, iPhone, xiomi, xiaomi, redmi, pornografija, honor, oppo, Nokia, Sonya, mi, pc, web, kompiuteris, Informacija apie Taisyklingasis briaunainis, Kas yra Taisyklingasis briaunainis? Ką reiškia Taisyklingasis briaunainis?
Taisyklingasis briaunainis labai simetriska geometrine trimate figura kurios vienarusiai gretimi elementai yra tranzityvus virsunes briaunos ir sienos Vadinasi pasukus per viena elementa kad virsune atsidurtu vietoj gretimos virsunes arba briauna vietoj gretimos briaunos arba siena vietoj gretimos sienos gausime tokį pat briaunainį Kitaip galima apibrezti kad taisyklingas briaunainis yra toks briaunainis kurio sienos yra vienodi lygiakrasciai taisyklingieji daugiakampiai vienodai issideste aplinkui kiekviena virsune Labai formaliai pagal siuolaikine politopu teorija taisyklingasis daugiakampis yra toks ir tik toks briaunainis kurio yra tranzityvi jo simetriskumo zymeniui angl flag tai yra aibei kuria sudaro virsune is jos iseinanti briauna ir sia virsune ir briauna liecianti siena Taisyklingieji briaunainiai zymimi tokiu n m kur n yra sienos daugiakampio krastiniu skaicius o m vienoje virsuneje sueinanciu sienu skaicius Įrodyta kad is viso egzistuoja tik devyni taisyklingieji briaunainiai penki iskili briaunainiai vadinamieji Platono kunai tetraedras 3 3 kubas 4 3 oktaedras 3 4 dodekaedras 5 3 ir ikosaedras 3 5 ir keturi zvaigzdiniai briaunainiai vadinamieji Keplerio Puanso kunai zr zemiau lenteleje Taisyklingi briaunainiaiIs viso egzistuoja tik penki iskili taisyklingi briaunainiai Platono kunai ir keturi taisyklingi zvaigzdiniai briaunainiai Keplerio Puanso kunai Platono kunai Pagrindinis straipsnis Platono kunas Tetraedras 3 3 Kubas 4 3 Oktaedras 3 4 Dodekaedras 5 3 Ikosaedras 3 5 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2Keplerio Puanso kunai Pagrindinis straipsnis Keplerio Puanso kunas 5 2 5 5 5 2 5 2 3 3 5 2 x 6 x 6 x 2 x 2SavybesEkvivalentiskumas Ta savybe kad aplinkui kiekviena taisyklingu briaunainiu virsune sienos issidesciusios visiskai vienodai leidzia tvirtinti tokius ekvivalentiskumo teiginius Visos taisyklingojo briaunainio virsune yra vienos sferos pavirsiuje Visi taisyklingojo briaunainio dvisieniai kampai yra lygus Visu taisyklingojo briaunainio virsuniu planai yra taisyklingi daugiakampiai Visi taisyklingojo briaunainio erdviniai kampai yra lygus Koncentrines sferos Taisyklingiesiems briaunainiams budingos trys koncentrines sferos kitokiems briaunainiams bent vienos is ju nubrezti neįmanoma kuriu centras yra briaunainio viduryje Įbreztine sfera liecianti visas sienas Tarpine įbreztine sfera liecianti visas briaunas Apibreztine sfera liecianti visas virsunes Simetrija Taisyklingieji briaunainiai yra simetriskiausi is visu briaunainiu Jie buna tik triju kurios ir vadinamos pagal budinga Platono kuna Tetraedrine Oktaedrine arba kubine Ikosaedrine arba dodekaedrine Be to kiekvienas kunas kuriam budinga oktaedrine arba dodekaedrine simetrija dar pasizymi ir tetraedrine simetrija Oilerio charakteristika Visu penkiu Platono kunu Oilerio charakteristika x graiku k mazoji chi yra lygi 2 Dvieju Keplerio Puanso kunu taip pat 2 o kitu dvieju minus sesi x 6 Vidaus taskai Taisyklingojo daugiakampio bet kuris vidaus taskas yra issidestes taip kad jo atstumu iki sienu suma yra vienodas skaicius arba kitaip bet kurio vidaus tasko atstumu iki sienu suma yra nepriklausoma nuo tasko padeties Sį teiginį nesunkiai galima patvirtinti remiantis Vivianio teorema lygiakrasciams trikampiams Bet priesingas teiginys nera teisingas tai yra jei briaunainio bet kurio vidaus tasko atstumo iki sienu suma yra nepriklausoma nuo tasko padeties nereiskia kad briaunainis yra taisyklingasis tai negalioja net tetraedrui Taisyklinguju daugiakampiu dualumasDualios briaunainiu poros vieno briaunainio virsunes atitinka kito briaunainio sienas ir atvirksciai Taisyklinguju briaunainiu dualai dualios poros yra tokie Tetraedras yra dualus pats sau t y duali pora yra du tetraedrai Tarpusavyje dualus yra Kubas ir oktaedras Ikosaedras ir dodekaedras ir ir Dualaus briaunainio suzinomas labai paprastai nes tereikia pirminio briaunainio simbolį uzrasyti atvirkscia tvarka pavyzdziui briaunainio 5 3 dodekaedro dualas yra 3 5 ikosaedras Tai visai suprantama nes Slefli simbolyje n m n yra sienos daugiakampio krastiniu skaicius o m vienoje virsuneje sueinanciu sienu skaicius kadangi dualo sienos atitinka pradinio briaunainio virsunes vadinasi jei į virsune sueina m daugiakampiu dualo sienos bus m kampiai o kadangi pirminio briaunainio siena buvo n kampis tai dualo virsuneje sueis n m kampiu IstorijaIkiistorinis periodas Briaunainiai sutinkami jau ankstyviausiuose statiniuose dazniausiai staciakampiai gretasieniai ir kubai taip pat keturkampes Egipto piramides ir kitokie statiniai islike net is akmens amziaus Kai kuriuos taisyklinguosius briaunainius zinojo jau etruskai kuriu civilizacija senesne nei graiku ka rodo XIX a pabaigos kasinejimai prie Padujos siaures Italijoje kur buvo rastas is talko mineralo uolienos steatito dar vadinamo muilo akmeniu mazdaug pries 2500 metu padarytas dodekaedras Graiku civilizacija Seniausi zinomi rastiski briaunainiu paminejimai sutinkami klasikines Graikijos autoriu darbuose kur kartu buvo pateikti ir pirmieji siu figuru matematiniai apibudinimai Senoves graikai pirmiausia domejosi taisyklingais iskilais briaunainiais kuriuos veliau imta vadinti Platono kunais Pitagorui buvo zinomi ne maziau kaip trys sie kunai o Teatetas Theaetetus apie 417 p m e aprase jau visus penkis Galiausiai Euklidas Elementuose aprase ju sandara Veliau Archimedas ispletojo briaunainiu studija ir aprase kurie gavo jo varda ir dabar vadinami Archimedo kunais Pirmine Archimedo studija iki musu laiku neisliko bet apie ja zinoma is Paposo Aleksandriskio darbu XVII a Keplerio tyrimai Senoveje pitagorieciai laikesi minties kad egzistuoja tam tikra derme tarp taisyklinguju briaunainiu ir Saules sistemos planetu judejimo XVII amziuje Johanas Kepleris emesi studijuoti planetu judejimo duomenis kuriuos dar XVI amziuje buvo sukaupes danu mokslininkas Tiuchas Brahe Tycho Brahe ir megino patvirtinti pitagorieciu skelbta ideala tikedamasis atrasti atitikima tarp briaunainiu savybiu ir planetu orbitu savybiu Nors jo desimtmetį trukes tyrimas taip ir neatskleide ieskoto idealo vis delto taisyklinguju briaunainiu studijos leido Kepleriui ne tik atrasti nauja taisyklingu briaunainiu seima Keplerio Puanso kunus bet pasitarnavo ir kosmologijai buvo nustatyta kad planetu orbitos yra elipsiskos o be to buvo suformuluoti trys Keplerio desniai kurie yra aktualus iki siol Keplerio laikais buvo zinoma tik apie penkias planetas neskaitant Zemes tad nieko nuostabaus kad buvo meginta ieskoti teoriniu sasaju tarp dangaus kunu mechanikos ir tobulai atrodanciu Platono kunu Bet paties Keplerio atradimai taip pat veliau atrasti Uranas planeta ir Plutonas planeta galiausiai priverte atsisakyti pitagorieciu idealo paiesku Zvaizdiniai briaunainiai Kone 2000 metu briaunainiai kaip iskilosios figuros buvo suvokiami remiantis graiku matematiniais pasiekimais Bet renesanso periodu buvo atrasti zvaigzdiniai briaunainiai Venecijos sv Marko bazilikos grindyse buvo padaryta marmuro inkrustacija kurioje vaizduojamas zvaigzdinis dodekaedras O kai kurie dailininkai pavyzdziui Jamniceris Wenzel Jamnitzer piese vis sudetingesnes zvaigzdines figuras Johanas Kepleris 1571 1630 naudodamas zvaigzdinius daugiakampius daugiausia pentagramas kure zvaigzdinius briaunainius Kai kurios figuros turbut buvo jau atrastos iki Keplerio bet jis buvo pirmasis kuris nustate kad sias figuras dera laikyti taisyklingomis jei nesilaikysime reikalavimo kad taisyklingos figuros turi buti iskilos Veliau nagrinejo zvaigzdinius virsunes planus ir atrado dar du taisyklingus zvaigzdinius briaunainius Augustinas Lui Kosi įrode kad Puanso sarasas yra issamus o Arturas Keilis Arthur Cayley suformulavo ju pavadinimus du Keplerio kunai buvo pavadinti mazuoju zvaigzdiniu dodekaedru ir didziuoju zvaigzdiniu dodekaedru kiti du Puanso kunai didziuoju ikosaedru ir didziuoju dodekaedru Dabar priimtas kuopinis siu kunu pavadinimas yra Keplerio Puanso briaunainiai Keplerio Puanso briaunainius galima sukonstruoti is Platono kunu budu Daugelis figuru gaunamu stelacijos metu yra netaisyklingos 1938 metais Platono kunu stelacijos tyrimus smarkiai pastumejo ir kiti geometrai isleisdami veikala Penkiasdesimt devyni ikosaedrai The Fifty Nine Icosahedra Stelacijai atvirkstinis procesas yra vadinamas Jei paimsime bet kokį politopa ir jo duala tai taikydami pirminiam politopui stelacija o dualui isduobima gauname zvaigzdinus briaunainius kurie taip pat yra dualus Taisyklingus zvaigzdinius briaunainius dar galima gauti isduobiant Platono kunus Nuo knygos Penkiasdesimt devyni ikosaedrai pasirodymo yra atrasta daugiau siu figuru ir paieskos dar tesiasi Taisyklingieji briaunainiai gamtojeCircogonia icosahedra viena radiolariju skeleta turinciu planktono pirmuoniu Visi penki Platono kunai vienaip ar kitaip pasireiskia gamtoje Tetraedras kubas ir oktaedras yra neretai gamtoje pasitaikancios kristalu formos Zinoma kristalu formu yra daug daugiau net 47 bet taisyklinguju briaunainiu formos yra lengviausiai atpazįstamos Taisyklingu ikosaedru ar dodekaedru tarp kristalu nesutinkama bet tarp vadinamuju kvazikristalu kurie neatitinka grieztu kristalografines simetrijos reikalavimu sutinkami piritoedrai pagal mineralo pirito pavadinima turi dvylika netaisyklingu penkiakampiu sienu kurios isdestytos panasiai kaip taisyklingo dodekaedro XX amziaus pabaigos technologiniai atradimai leido tyrineti sudetingas anglies molekules tarp kuriu yra Bakminsterio Fulerio teoriskai nuspetas ir veliau atradus pavadintas jo vardu fulerenas Nors si anglies forma laikytina kone sferiniu briaunainiu labiausiai daugiamolekulines jos formos kaip C240 C480 ir C960 spejama tures kiek uzapvalinto ikosaedro pavidala o pati molekule bus keliu nanometru skersmens Gyvojoje gamtoje taip pat sutinkame taisyklingu briaunainiu XX a pradzioje Ernstas Hekelis Ernst Haeckel aprase visa eile radioliariju kuriu skeletai neretai yra taisyklingu briaunainiu pavidalo Paminetinos rusys Circoporus octahedrus Circogonia icosahedra Lithocubus geometricus ir Circorrhegma dodecahedra mokslininkas sudarydamas rusies pavadinimus atspindejo sasaja su atitinkamais briaunainiais Daugelio virusu isorinis baltymu apvalkalas susiformuoja kaip taisyklingieji briaunainiai Pavyzdziui ZIV yra įvilktas į taisyklinga ikosaedra Kaip jau mineta Kepleris atrado kosmologinius planetu judejimo desnius tyrinedamas taisyklinguju briaunainiu savybes Naujausiuju laiku apibendrinimaiXX amziaus matematikai budinga apibendrinimo ir abstraktumo tendencija neaplenke ir taisyklinguju briaunainiu tyrimu Buvo isvestos naujos siu briaunainiu klases taisyklingieji slyties apeiroedrai taisyklingieji slyties briaunainiai taisyklingieji neeuklidiniu erdviu briaunainiai abstraktus taisyklingieji briaunainiai taisyklingieji sferiniai briaunainiai bei kai kurie kiti SaltiniaiCromwell 1997 Chen Zhibo and Liang Tian The converse of Viviani s theorem The College Mathematics Journal 37 5 2006 pp 390 391 Lindemann 1987 The Fifty Nine Icosahedra Harold Coxeter with P Du Val H T Flather J F Petrie University of Toronto 1938 Bridge 1974 Kartavicius A Ziedelis A Mineralu paslaptys Vilnius Mokslas 1986 p 26 Curl 1991 Ernst Haeckel 1904 Bertrand J 1858 Note sur la theorie des polyedres reguliers Comptes rendus des seances de l Academie des Sciences 46 pp 79 82 Cromwell Peter R 1997 Polyhedra Cambridge University Press p 77 ISBN 0 521 66405 5 Haeckel E 1904 Kunstformen der Natur Available as Haeckel E Art forms in nature Prestel USA 1998 ISBN 3 7913 1990 6 or online at http caliban mpiz koeln mpg de stueber haeckel kunstformen natur html Archyvuota kopija 2009 06 27 is Wayback Machine projekto Smith J V 1982 Geometrical And Structural Crystallography John Wiley and Sons Sommerville D M Y 1930 An Introduction to the Geometry of n Dimensions E P Dutton New York Dover Publications edition 1958 Chapter X The Regular Polytopes Coxeter H S M Regular Polytopes third edition Dover Publications Inc ISBN 0 486 61480 8