Iracionalusis skaičius

Iracionalusis skaičius – toks realusis skaičius, kurio neįmanoma išreikšti dviejų sveikųjų skaičių santykiu (a/b). Priešingai negu racionalieji skaičiai, kurie gali būti išreikšti baigtinėmis arba begalinėmis periodinėmis dešimtainėmis trupmenomis, iracionalieji skaičiai gali būti išreikšti tik kaip begalinės neperiodinės dešimtainės trupmenos. Racionalieji ir iracionalieji skaičiai sudaro realiųjų skaičių aibę.

Žodis iracionalus yra kilęs iš lotynų kalbos žodžio lot. irrationalis, kur ir yra neigiamas priešdėlis (ne), o ratio – proporcija. Žymesni iracionalių skaičių pavyzdžiai:

• π = 3,141592…
• ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ = 1,414213…
• ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{5}}}$
• e

Apibrėžimas

Realusis skaičius vadinamas iracionaliuoju, kai yra neįmanoma jo išreikšti dviejų sveikųjų skaičių santykiu: ${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}$ kur ${\displaystyle p\in \mathbb {Z} }$ ir ${\displaystyle q\in \mathbb {Z} \setminus \{0\}}$

Iracionalieji skaičiai, skirtingai nei racionalieji skaičiai, negali būti užrašomi dešimtainiu pavidalu, nes nėra baigtiniai ar pasikartojantys.

Yra išskiriami du iracionaliųjų skaičių tipai:

• algebriniai skaičiai, pvz., ${\displaystyle 1+{\sqrt[{3}]{5}}}$ arba ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$
• transcendentiniai skaičiai, pvz., skaičius pi ${\displaystyle \pi =3{,}14159\ldots }$ arba Eulerio skaičius ${\displaystyle {\rm {e=2{,}71828\ldots }}}$

Aibių teorijoje iracionalieji skaičiai gali būti apibrėžti kaip aibių skirtumas ${\displaystyle \mathbb {I} =\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$, kur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ yra realiųjų skaičių aibė, o ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ - iracionaliųjų.

Istorija

Iracionalieji skaičiai buvo žinomi nuo senovės laikų. Pitagorininkai apie V a. pr. m. e. naudodami vienetinio kvadrato įstrižainę pastebėjo, jog įstrižainė yra nesuderinama su kraštine, nes taikant Pitagoro teoremą ir iš jos gavus lygtį x² = 2 nėra tokio racionalaus skaičiaus, kuris tiktų į lygtį. Taip buvo įrodyta, kad kvadratinė šaknis iš 2 yra iracionalusis skaičius. Tai juos šokiravo, kadangi pagal jų įsitikinimus galėjo egzistuoti tik racionalieji skaičiai ir todėl buvo stengtasi neatskleisti šių įrodymų.

Iracionaliųjų skaičių apibrėžimai, atitinkantys šiandieninius tikslumo reikalavimus, randami Euklido Pradmenyse.

Terminą iracionalusis skaičius pirmasis panaudojo M. Stifelis 1544 m. Skaičiaus pi kaip iracionaliojo savybes tyrė Johanas Lambertas 1766 m. Realiųjų skaičių teorija buvo išbaigta tik XIX a. antrojoje pusėje, nes tam buvo reikalinga matematinė analizė. Sprendžiant kvadratines ir kubines lygtis XVI a. buvo įvesta kompleksinių skaičių sąvoka.

Savybės

Dviejų iracionaliųjų skaičių suma gali būti iracionalus arba racionalus skaičius, pavyzdžiui, skaičių ${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}$ ir ${\displaystyle 1-{\sqrt {2}}}$ suma yra ${\displaystyle 2}$.

Šaltiniai

1. Autorių kolektyvas. Matematika 11. I dalis. – Vilnius: TEV, 2002. – 27 p. ISBN 9955-491-22-1
2. Dunlap, Richard A.: The Golden Ratio and Fibonacci Nubmers s. 12

Nuorodos

• Eric W. Weisstein, Irrational Number, MathWorld. (angl.)

Vikižodynas