Kvadratinė šaknis iš 2

Kvadratinė šaknis iš 2, žymima ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$, – teigiamas realusis skaičius, kurį padauginus iš savęs gaunamas 2.

Geometriškai kvadratinė šaknis iš 2 yra kvadrato, kurio kraštinė lygi vienetui (vienetinio kvadrato), įstrižainės ilgis, tai išplaukia iš Pitagoro teoremos. Kvadratinė šaknis iš 2 turbūt yra pirmasis žinomas iracionalusis skaičius.

Pirmieji 65 kvadratinės šaknies iš 2 dešimtainiai skaitmenys yra:

1,41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 80731 76679 73799…

Trupmena ${\displaystyle {\tfrac {99}{70}}}$ yra gera ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ aproksimacija iki pirmų keturių dešimtainių skaitmenų.

Iracionalumo įrodymas

Įrodyti, kad kvadratinė šaknis iš 2 yra iracionalusis skaičius galima prieštaros būdu. Norint tai padaryti yra daroma prielaida, kad √2 yra racionalusis skaičius ir parodoma, kad ši prielaida veda į prieštaravimą. Iš to išplaukia, kad √2 negali būti racionalusis skaičius, todėl jis yra iracionalusis.

1. Jeigu √2 yra racionalusis skaičius, tai turi egzistuoti tokia trupmena su skaičiais m ir n, kad lygybė √2 = m/n būtų teisinga.
2. Galima teigti, kad m/n yra nesuprastinama trupmena, t. y., m ir n neturi bendrojo daliklio.
3. Lygtis √2 = m/n gali būti pertvarkyta į m² = 2n². Iš to seka, kad m² yra lyginis skaičius.
4. Atsižvelgiant į tai, kad lyginio skaičiaus kvadratas visada yra lyginis skaičius, o nelyginio - nelyginis, iš (3) žingsnio galima daryti išvadą, kad m taip pat turi būti lyginis skaičius. Vadinasi m galima užrašyti kaip m = 2k, kur k - natūralusis skaičius.
5. Sujungus lygtis iš (3) ir (4) gaunama: 2n² = m² = (2k)² = 4k². Kitaip tariant, n² = 2k², kas leidžia teigti, kad skaičius n dalijasi iš 2.
6. Jeigu m ir n abu dalijasi iš dviejų, tai 2 yra bendrasis daliklis, o tai prieštarauja prielaidai (2), kad m ir n neturi bendro daliklio. √2 - iracionalusis skaičius.

Šaltiniai

1. Fowler, David H. (2001), "The story of the discovery of incommensurability, revisited", Neusis (10): 45–61