Azərbaycan
Deutschland
Lietuva
Malta
ශ්රී ලංකාව
Türkmenistan
Türkiyə
Украина
Kvazitaisyklingosios geometrinės figūros 3 3 2 3 4 2 3 5 2 3 6 2 3 7 2 3 8 2 3 2 33 displaystyle begin Bmatrix 3 3 end B
Kvazitaisyklingasis briaunainis
| (3.3)2 | (3.4)2 | (3.5)2 | (3.6)2 | (3.7)2 | (3.8)2 | (3.∞)2 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| r{3,3} | ||||||
| Kvazitaisyklingasis briaunainis bei klojinys turi tik dvejopas taisyklingas sienas, kurios yra išsidėsčiusios aplink viršūnę pakaitomis. Jų viršūnės planas yra stačiakampis. | ||||||
Geometrijoje, kvazitaisyklingasis briaunainis – toks pustaisyklingis briaunainis, kurio sienos griežtai yra tik dvejopi taisyklingieji daugiakampiai, kurie yra išsidėstę aplinkui viršūnę pakaitomis. Šių briaunainių briaunos yra tranzityvios, todėl jie yra taisyklingesni (artimesni taisyklingiems briaunainiams) negu pustaisyklingiai, kurių tik viršūnės yra tranzityvios.
Egzistuoja tik du iškili kvazitaisyklingieji briaunainiai: ir . Juos taip pavadino Johanas Kepleris, nustatęs, jog šios figūros turi abiejų susijusių dualų sienas – pirmu atveju, kubo ir oktaedro, antru, ikosaedro ir dodekaedro.
Šiems briaunainiams, kadangi juose yra išreikšta visa taisyklingų briaunainių duali pora, galima suteikti vertikalų arba r{p, q}, iš kurio matyti, kad figūra turi sienas atitinkančias taisyklingą briaunainį {p, q} ir taisyklingą jo dualą {q, p}. Tokiu simboliu žymimas kvazitaisyklingasis briaunainis turės viršūnės planą p.q.p.q (arba (p.q)2).
Apibendrintai, kvazitaisyklingosios figūros viršūnės planas yra (p.q)r, kuriame r (=2 ar daugiau) rodo, kiek kartų abiejų sienų pora pasikartoja aplinkui viršūnę.
, išdėstyti plokštumoje, taip pat gali būti kvazitaisyklingieji, ypač dažniau sutinkami euklidinės erdvės , kurių viršūnės planas yra (3.6)2 – trikampio ir šešiakampio pora aplinkui viršūnę pasikartoja du kartus. Plačiai nagrinėjami ir atitinkami hiperbolinių plokštumų dariniai, pavyzdžiui, triheptagoniniai klojiniai (3.7)2. Apibendrintai, klojinių viršūnės planas taip pat yra (p.q)2, tik yra apribojimas 1/p+1/q<1/2 (kitaip jie nebebus klojiniai).
Kai kuriuos taisyklingus briaunainius ir klojinius (tuos, kurie turi lyginį sienų skaičių) galima laikyti kvazitaisyklingais, kadangi gretimas sienas teoriškai galima laikyti skirtingomis, pavyzdžiui, dažyti skirtinga spalva, nes jokios paviršiaus savybės nekeis jų vienodo išsidėstymo aplinkui viršūnę. Taigi, taisyklingą figūrą, kurios yra {p, q}, galima laikyti kvazitaisyklinga, kurios viršūnės planas yra (p.p)q/2, jeigu tik q yra lyginis.
Oktaedrą galima laikyti kvazitaisyklinguoju tetratetraedru (du rinkiniai po keturis trikampius – po trikampę išorinę tetraedro sieną), (3a.3b)2, ir trikampes sienas galima pakaitomis nudažyti dviem spalvomis. Panašiai, kvadratų klojinį (4a.4b)2 galima laikyti kvazitaisyklinguoju ir nudažyti kaip šachmatų lentą. Lygiai taip pat trikampių klojinys (3a.3b)3 gali būti nudažytas dviem spalvomis.
Vithofo konstravimas
Taisyklingas (p | 2 q) ir kvazitaisyklingasis briaunainis (2 | p q) yra konstruojami pagal , kai konstravimo taškas yra prie vieno iš 3 fundamentinės srities kampų. |
Kokseteris (Coxeter) kvazitaisyklingąjį briaunainį apibrėžia kaip tą, kurio yra p | q r, o jei q=2 arba q=r, šis briaunainis yra taisyklingas.
yra kitas simbolinis žymėjimo būdas, iš kurio galima matyti kvazitaisyklingą ryšį tarp dualios taisyklingų briaunainių poros:
| {p, q} | q | 2 p | ||
| {q, p} | p | 2 q | ||
| r{p, q} | 2 | p q | ||
Iškili kvazitaisyklingieji briaunainiai ir klojiniai
Egzistuoja tik du iškili kvazitaisyklingieji briaunainiai:
- , kurio viršūnės planas yra (3.4)2, o
- , kurio viršūnės planas yra (3.5)2, o Kokseterio-Dinkino diagrama
Dera pridurti, kad oktaedras, kuris įprastai laikomas taisyklingu, , kurio viršūnės planas yra (3.3)2, lygia greta gali būti laikomas ir kvazitaisyklingu, jeigu kas antrą sieną nudažysime dviem skirtingomis spalvomis. Toks oktaedras paprastai vadinamas tetratetraedru. Visų kitų taisyklingųjų briaunainių viršūnės plane yra nelyginis skaičius daugiakampių, tad jų neįmanoma taip nudažyti, kad jų briaunos taptų tranzityvios. Kvazitaisyklingųjų briaunainių Kokseterio-Dinkino diagrama yra .
Kiekvienas jų atspindi taisyklingų briaunainių dualią porą. Abiejų kvazitaisyklingų briaunainių pavadinimuose yra užuomina į susijusią dualią porą: = kubas + oktaedras, o = ikosaedras + dodekaedras. Oktaedras atitinka , kuris atspindi du pačius sau dualius , sudarančius figūrą, vadinamą stella octangula.
| Taisyklingas | Dualus taisyklingas | Kvazitaisyklingasis | Viršūnės planas |
|---|---|---|---|
Tetraedras {3,3} 3 | 2 3 | Tetraedras {3,3} 3 | 2 3 | Tetratetraedras r{3,3} 2 | 3 3 | 3.3.3.3 |
Kubas {4,3} 3 | 2 4 | Oktaedras {3,4} 4 | 2 3 | r{3,4} 2 | 3 4 | 3.4.3.4 |
Dodekaedras {5,3} 3 | 2 5 | Ikosaedras {3,5} 5 | 2 3 | r{3,4} 2 | 3 5 | 3.5.3.5 |
Kiekvienas iš šių kvazitaisyklingųjų briaunainių gali būti sukonstruotas kurį nors taisyklingą pirminį briaunainį, tai yra visiškai briaunas, kol pirminės briaunos virsta tašku (rektifikuojamos į tašką).
Kvazitaisyklingieji klojiniai
Kvazitaisyklingiesiems briaunainiams galima priskirti ir klojinius iš dviejų skirtingų taisyklingų daugiakampių. Tokie yra triheksagonaliniai klojiniai, kurių viršūnės planas yra 3.6.3.6 – tai kvazitaisyklingieji klojiniai sudaryti iš taisyklingų trikampių ir šešiakampių sujungtų į plokščią klojinį.
| Taisyklingas | Dualus taisyklingas | Kvazitaisyklingasis | Viršūnės planas |
|---|---|---|---|
{6,3} 6 | 2 3 | {3,6} 3 | 2 6 | r{5,3} 2 | 3 6 | 3.6.3.6 |
Šachmatų lentos raštas yra kvazitaisyklingas spalvinimas, pritaikytas taisyklingam kvadratų klojiniui, kurio viršūnės planas yra 4.4.4.4:
| Taisyklingas | Dualus taisyklingas | Kvazitaisyklingasis | Viršūnės planas |
|---|---|---|---|
{4,4} 4 | 2 4 | {4,4} 4 | 2 4 | r{4,4} 2 | 4 4 | 4.4.4.4 |
Trikampį klojinį taip pat galima laikyti kvazitaisyklingu, kuriame aplinkui kiekvieną viršūnę išsidėsto trys dvispalvių trikampių rinkiniai – (3.3)3:
h{6,3} 3 | 3 3 = |
Hiperbolinėje plokštumoje šių figūrų seka plečiasi, pavyzdžiui, prisideda triheptagoniniai klojiniai (viršūnės planas 3.7.3.7) ir pan.
| Taisyklingas | Dualus taisyklingas | Kvazitaisyklingasis | Viršūnės planas |
|---|---|---|---|
Heptagonal tiling {7,3} 7 | 2 3 | Triangular tiling {3,7} 3 | 2 7 | r{3,7} 2 | 3 7 | 3.7.3.7 |
Neiškili pavyzdžiai
Kokseteris kai kuriuos priskiria prie kvazitaisyklingųjų:
Du yra vediniai iš dualių Keplerio-Puanso kūnų porų, panašiai, kaip iškilųjų – tai didysis ikosidodekaedras ir dodekadodekaedras :
| Taisyklingas | Dualus taisyklingas | Kvazitaisyklingasis | Viršūnės planas |
|---|---|---|---|
{5/2,3} 3 | 2 5/2 | {3,5/2} 5/2 | 2 3 | Didysis ikosidodekaedras r{3,5/2} 2 | 3 5/2 | 3.5/2.3.5/2 |
{5/2,5} 5 | 2 5/2 | {5,5/2} 5/2 | 2 5 | Dodekadodekaedras r{5,5/2} 2 | 5 5/2 | 5.5/2.5.5/2 |
Trečias yra ditrigoninės formos briaunainis, kurio viršūnės planą sudaro triskart pasikartojanti dviejų sienų pora:
| Vaizdas | Briaunainio pavadinimas | Viršūnės planas |
|---|---|---|
| Ditrigoninis dodekadodekaedras 3 | 5/3 5 or | (5.5/3)3 | |
| Mažasis ditrigoninis ikosidodekaedras 3 | 5/2 3 or | (3.5/2)3 | |
| Didysis ditrigoninis ikosidodekaedras 3/2 | 3 5 or | ((3.5)3)/2 |
Kvazitaisyklingieji dualai
Kai kurie autoriai teigia, kad kvazitaisyklingųjų briaunainių dualai, kadangi turi tą pačią simetriją, kaip pirminiai kūnai, irgi turi būti kvazitaisyklingi. Bet ne visi su tuo sutinka. Šie dualai turi tranzityvias briaunas ir sienas (bet netranzityvias viršūnes); tad jie yra Katalano kūnai su tranzityviomis briaunomis. Iškilieji kvazitaisyklingųjų briaunainių dualai, atitinkamai aukščiau pateiktai tvarkai, yra:
- , turintis dviejų tipų pakaičiui einančias viršūnes, iš kurių 8 turi tris rombines sienas ir 6 – keturias rombines sienas.
- , turintis dviejų tipų pakaičiui einančias viršūnes, iš kurių 20 turi tris rombines sienas ir 12 – penkias rombines sienas.
Papildomai, atsižvelgiant į „dvispalvio“ oktaedro dualumą, kvazitaisyklinguoju galima laikyti kubą, kuris įprastai yra taisyklingasis briaunainis, jei jo viršūnes pakaičiui nuspalvinsime dviem skirtingomis spalvomis.
Jų sienų konfigūracija turės pavidalą V3.n.3.n, o bus .
| Kubas V(3.3)2 | V(3.4)2 | V(3.5)2 | V(3.6)2 | V(3.7)2 | V(3.8)2 |
Visi trys kvazitaisyklingieji dualai turi jiems būdingas rombines sienas.
Tas pats rombinių sienų išsidėstymas kartojasi klojinyje kaip V(3.6)2.
Nuorodos
- , and Miller, J.C.P. Uniform Polyhedra, Philosophical Transactions of the Royal Society of London 246 A (1954), pp. 401–450. (Section 7, The regular and quasiregular polyhedra p | q r)
- Coxeter, H.S.M. et al. (1954)
Šaltiniai
- Cromwell, P. Polyhedra, Cambridge University Press (1977).
- Coxeter, Regular Polytopes, (3rd edition, 1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8, 2.3 Quasi-Regular Polyhedra. (p. 17), Quasi-regular honeycombs p.69
Autorius: www.NiNa.Az
Išleidimo data:
vikipedija, wiki, lietuvos, knyga, knygos, biblioteka, straipsnis, skaityti, atsisiųsti, nemokamai atsisiųsti, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, pictu, mobilusis, porn, telefonas, android, iOS, apple, mobile telefl, samsung, iPhone, xiomi, xiaomi, redmi, pornografija, honor, oppo, Nokia, Sonya, mi, pc, web, kompiuteris, Informacija apie Kvazitaisyklingasis briaunainis, Kas yra Kvazitaisyklingasis briaunainis? Ką reiškia Kvazitaisyklingasis briaunainis?
Kvazitaisyklingosios geometrines figuros 3 3 2 3 4 2 3 5 2 3 6 2 3 7 2 3 8 2 3 2 33 displaystyle begin Bmatrix 3 3 end Bmatrix 34 displaystyle begin Bmatrix 3 4 end Bmatrix 35 displaystyle begin Bmatrix 3 5 end Bmatrix 36 displaystyle begin Bmatrix 3 6 end Bmatrix 37 displaystyle begin Bmatrix 3 7 end Bmatrix 38 displaystyle begin Bmatrix 3 8 end Bmatrix 3 displaystyle begin Bmatrix 3 infty end Bmatrix r 3 3 Kvazitaisyklingasis briaunainis bei klojinys turi tik dvejopas taisyklingas sienas kurios yra issidesciusios aplink virsune pakaitomis Ju virsunes planas yra staciakampis Geometrijoje kvazitaisyklingasis briaunainis toks pustaisyklingis briaunainis kurio sienos grieztai yra tik dvejopi taisyklingieji daugiakampiai kurie yra issideste aplinkui virsune pakaitomis Siu briaunainiu briaunos yra tranzityvios todel jie yra taisyklingesni artimesni taisyklingiems briaunainiams negu pustaisyklingiai kuriu tik virsunes yra tranzityvios Egzistuoja tik du iskili kvazitaisyklingieji briaunainiai ir Juos taip pavadino Johanas Kepleris nustates jog sios figuros turi abieju susijusiu dualu sienas pirmu atveju kubo ir oktaedro antru ikosaedro ir dodekaedro Siems briaunainiams kadangi juose yra isreiksta visa taisyklingu briaunainiu duali pora galima suteikti vertikalu pq displaystyle begin Bmatrix p q end Bmatrix arba r p q is kurio matyti kad figura turi sienas atitinkancias taisyklinga briaunainį p q ir taisyklinga jo duala q p Tokiu simboliu zymimas kvazitaisyklingasis briaunainis tures virsunes plana p q p q arba p q 2 Apibendrintai kvazitaisyklingosios figuros virsunes planas yra p q r kuriame r 2 ar daugiau rodo kiek kartu abieju sienu pora pasikartoja aplinkui virsune isdestyti plokstumoje taip pat gali buti kvazitaisyklingieji ypac dazniau sutinkami euklidines erdves kuriu virsunes planas yra 3 6 2 trikampio ir sesiakampio pora aplinkui virsune pasikartoja du kartus Placiai nagrinejami ir atitinkami hiperboliniu plokstumu dariniai pavyzdziui triheptagoniniai klojiniai 3 7 2 Apibendrintai klojiniu virsunes planas taip pat yra p q 2 tik yra apribojimas 1 p 1 q lt 1 2 kitaip jie nebebus klojiniai Kai kuriuos taisyklingus briaunainius ir klojinius tuos kurie turi lyginį sienu skaiciu galima laikyti kvazitaisyklingais kadangi gretimas sienas teoriskai galima laikyti skirtingomis pavyzdziui dazyti skirtinga spalva nes jokios pavirsiaus savybes nekeis ju vienodo issidestymo aplinkui virsune Taigi taisyklinga figura kurios yra p q galima laikyti kvazitaisyklinga kurios virsunes planas yra p p q 2 jeigu tik q yra lyginis Oktaedra galima laikyti kvazitaisyklinguoju tetratetraedru du rinkiniai po keturis trikampius po trikampe isorine tetraedro siena 3a 3b 2 ir trikampes sienas galima pakaitomis nudazyti dviem spalvomis Panasiai kvadratu klojinį 4a 4b 2 galima laikyti kvazitaisyklinguoju ir nudazyti kaip sachmatu lenta Lygiai taip pat trikampiu klojinys 3a 3b 3 gali buti nudazytas dviem spalvomis Vithofo konstravimasTaisyklingas p 2 q ir kvazitaisyklingasis briaunainis 2 p q yra konstruojami pagal kai konstravimo taskas yra prie vieno is 3 fundamentines srities kampu Kokseteris Coxeter kvazitaisyklingajį briaunainį apibrezia kaip ta kurio yra p q r o jei q 2 arba q r sis briaunainis yra taisyklingas yra kitas simbolinis zymejimo budas is kurio galima matyti kvazitaisyklinga rysį tarp dualios taisyklingu briaunainiu poros p q displaystyle begin Bmatrix p q end Bmatrix p q q 2 p q p displaystyle begin Bmatrix q p end Bmatrix q p p 2 q pq displaystyle begin Bmatrix p q end Bmatrix r p q 2 p qIskili kvazitaisyklingieji briaunainiai ir klojiniaiEgzistuoja tik du iskili kvazitaisyklingieji briaunainiai 34 displaystyle begin Bmatrix 3 4 end Bmatrix kurio virsunes planas yra 3 4 2 o 35 displaystyle begin Bmatrix 3 5 end Bmatrix kurio virsunes planas yra 3 5 2 o Kokseterio Dinkino diagrama Dera pridurti kad oktaedras kuris įprastai laikomas taisyklingu 33 displaystyle begin Bmatrix 3 3 end Bmatrix kurio virsunes planas yra 3 3 2 lygia greta gali buti laikomas ir kvazitaisyklingu jeigu kas antra siena nudazysime dviem skirtingomis spalvomis Toks oktaedras paprastai vadinamas tetratetraedru Visu kitu taisyklinguju briaunainiu virsunes plane yra nelyginis skaicius daugiakampiu tad ju neįmanoma taip nudazyti kad ju briaunos taptu tranzityvios Kvazitaisyklinguju briaunainiu Kokseterio Dinkino diagrama yra Kiekvienas ju atspindi taisyklingu briaunainiu dualia pora Abieju kvazitaisyklingu briaunainiu pavadinimuose yra uzuomina į susijusia dualia pora kubas oktaedras o ikosaedras dodekaedras Oktaedras atitinka kuris atspindi du pacius sau dualius sudarancius figura vadinama stella octangula Taisyklingas Dualus taisyklingas Kvazitaisyklingasis Virsunes planasTetraedras 3 3 3 2 3 Tetraedras 3 3 3 2 3 Tetratetraedras r 3 3 2 3 3 3 3 3 3Kubas 4 3 3 2 4 Oktaedras 3 4 4 2 3 r 3 4 2 3 4 3 4 3 4Dodekaedras 5 3 3 2 5 Ikosaedras 3 5 5 2 3 r 3 4 2 3 5 3 5 3 5 Kiekvienas is siu kvazitaisyklinguju briaunainiu gali buti sukonstruotas kurį nors taisyklinga pirminį briaunainį tai yra visiskai briaunas kol pirmines briaunos virsta tasku rektifikuojamos į taska Kvazitaisyklingieji klojiniai Kvazitaisyklingiesiems briaunainiams galima priskirti ir klojinius is dvieju skirtingu taisyklingu daugiakampiu Tokie yra triheksagonaliniai klojiniai kuriu virsunes planas yra 3 6 3 6 tai kvazitaisyklingieji klojiniai sudaryti is taisyklingu trikampiu ir sesiakampiu sujungtu į plokscia klojinį Taisyklingas Dualus taisyklingas Kvazitaisyklingasis Virsunes planas 6 3 6 2 3 3 6 3 2 6 r 5 3 2 3 6 3 6 3 6 Sachmatu lentos rastas yra kvazitaisyklingas spalvinimas pritaikytas taisyklingam kvadratu klojiniui kurio virsunes planas yra 4 4 4 4 Taisyklingas Dualus taisyklingas Kvazitaisyklingasis Virsunes planas 4 4 4 2 4 4 4 4 2 4 r 4 4 2 4 4 4 4 4 4 Trikampį klojinį taip pat galima laikyti kvazitaisyklingu kuriame aplinkui kiekviena virsune issidesto trys dvispalviu trikampiu rinkiniai 3 3 3 h 6 3 3 3 3 Hiperbolineje plokstumoje siu figuru seka pleciasi pavyzdziui prisideda triheptagoniniai klojiniai virsunes planas 3 7 3 7 ir pan Taisyklingas Dualus taisyklingas Kvazitaisyklingasis Virsunes planasHeptagonal tiling 7 3 7 2 3 Triangular tiling 3 7 3 2 7 r 3 7 2 3 7 3 7 3 7Neiskili pavyzdziaiKokseteris kai kuriuos priskiria prie kvazitaisyklinguju Du yra vediniai is dualiu Keplerio Puanso kunu poru panasiai kaip iskiluju tai didysis ikosidodekaedras 35 2 displaystyle begin Bmatrix 3 5 2 end Bmatrix ir dodekadodekaedras 55 2 displaystyle begin Bmatrix 5 5 2 end Bmatrix Taisyklingas Dualus taisyklingas Kvazitaisyklingasis Virsunes planas 5 2 3 3 2 5 2 3 5 2 5 2 2 3 Didysis ikosidodekaedras r 3 5 2 2 3 5 2 3 5 2 3 5 2 5 2 5 5 2 5 2 5 5 2 5 2 2 5 Dodekadodekaedras r 5 5 2 2 5 5 2 5 5 2 5 5 2 Trecias yra ditrigonines formos briaunainis kurio virsunes plana sudaro triskart pasikartojanti dvieju sienu pora Vaizdas Briaunainio pavadinimas Virsunes planasDitrigoninis dodekadodekaedras 3 5 3 5 or 5 5 3 3Mazasis ditrigoninis ikosidodekaedras 3 5 2 3 or 3 5 2 3Didysis ditrigoninis ikosidodekaedras 3 2 3 5 or 3 5 3 2Kvazitaisyklingieji dualaiKai kurie autoriai teigia kad kvazitaisyklinguju briaunainiu dualai kadangi turi ta pacia simetrija kaip pirminiai kunai irgi turi buti kvazitaisyklingi Bet ne visi su tuo sutinka Sie dualai turi tranzityvias briaunas ir sienas bet netranzityvias virsunes tad jie yra Katalano kunai su tranzityviomis briaunomis Iskilieji kvazitaisyklinguju briaunainiu dualai atitinkamai auksciau pateiktai tvarkai yra turintis dvieju tipu pakaiciui einancias virsunes is kuriu 8 turi tris rombines sienas ir 6 keturias rombines sienas turintis dvieju tipu pakaiciui einancias virsunes is kuriu 20 turi tris rombines sienas ir 12 penkias rombines sienas Papildomai atsizvelgiant į dvispalvio oktaedro dualuma kvazitaisyklinguoju galima laikyti kuba kuris įprastai yra taisyklingasis briaunainis jei jo virsunes pakaiciui nuspalvinsime dviem skirtingomis spalvomis Ju sienu konfiguracija tures pavidala V3 n 3 n o bus Kubas V 3 3 2 V 3 4 2 V 3 5 2 V 3 6 2 V 3 7 2 V 3 8 2 Visi trys kvazitaisyklingieji dualai turi jiems budingas rombines sienas Tas pats rombiniu sienu issidestymas kartojasi klojinyje kaip V 3 6 2 Nuorodos and Miller J C P Uniform Polyhedra Philosophical Transactions of the Royal Society of London 246 A 1954 pp 401 450 Section 7 The regular and quasiregular polyhedra p q r Coxeter H S M et al 1954 SaltiniaiCromwell P Polyhedra Cambridge University Press 1977 Coxeter Regular Polytopes 3rd edition 1973 Dover edition ISBN 0 486 61480 8 2 3 Quasi Regular Polyhedra p 17 Quasi regular honeycombs p 69