Azərbaycan
Deutschland
Lietuva
ශ්රී ලංකාව
Türkiyə
Matematikoje Katalano kūnas atitinkamo Archimedo kūno dualusis briaunainis Katalano kūnai taip vadinami pagal juos 1865
Katalano kūnas
Matematikoje Katalano kūnas – atitinkamo Archimedo kūno dualusis briaunainis. Katalano kūnai taip vadinami pagal juos 1865 m. pirmą kartą aprašiusį belgų matematiką Euženą Katalaną (Eugène Catalan).
Katalano kūnai yra iškilieji briaunainiai. Jie yra tranzityvūs sienų atžvilgiu, bet netranzityvūs briaunų atžvilgiu. Taip yra todėl, kad šių kūnų dualai, Archimedo kūnai, yra tranzityvūs briaunų atžvilgiu, bet netranzityvūs sienų atžvilgiu. Reikia pastebėti, kad skirtingai negu Platono kūnai ir Archimedo kūnai, Katalano kūnų sienos nėra taisyklingieji daugiakampiai. Kita vertus, Katalano kūnų viršūnių planai yra taisyklingieji daugiakampiai ir jie turi pastovius dvisienius kampus. Kadangi jų sienos yra tranzityvios, Katalano kūnai yra .
Be to, du Katalano kūnai yra dar tranzityvūs ir briaunų atžvilgiu: rombinis dodekaedras ir rombinis triakontaedras. Šiuodvi figūros yra dviejų kvazitaisykligų Archimedo kūnų dualai.
Lygiai, kaip prizmės ir antiprizmės bendruoju atveju nėra priskiriamos prie Archimedo kūnų, taip bipiramidės ir trapecoedrai nepriskiriami prie Katalano kūnų, nors abiejų klasių figūros yra tranzityvios sienų atžvilgiu.
Dviem Katalano kūnams būdingas chirališkumas: penkiakampiam ikositetraedrui ir penkiakampiam heksakontaedrui, kurie yra atitinkamai dualūs su nusklembtu kubu ir nusklembtu dodekaedru. Kiekvienas šių dualų iš tiesų yra enantiomorfų pora. Bet neskaičiuojant šių enantiomorfų ir bipiramidžių bei trapecoedrų iš viso turime 13 Katalano kūnų.
| nr. | Archimedo kūnai | Katalano kūnai |
|---|---|---|
| 1 | Nupjautinis tetraedras | „Triakis“ tetraedras |
| 2 | Nupjautinis kubas | „Triakis“ oktaedras |
| 3 | Nupjautinis kuboktaedras | „Disdyakis“ dodekaedras |
| 4 | Nupjautinis oktaedras | „Tetrakis“ heksaedras |
| 5 | Nupjautinis dodekaedras | „Triakis“ ikosaedras |
| 6 | Nupjautinis ikosidodekaedras | „Disdyakis“ triakontaedras |
| 7 | Nupjautinis ikosaedras | „Pentakis“ dodekaedras |
| 8 | Kuboktaedras | Rombinis ddodekaedras |
| 9 | Ikosidodekaedras | Rombinis triakontaedras |
| 10 | Rombinis kuboktaedras | Deltoidinis ikositetraedras |
| 11 | Rombinis ikosidodekaedras | Deltoidinis heksakontaedras |
| 12 | Nusklembtas kubas | Penkiakampis ikositetraedras |
| 13 | Nusklembtas dodekaedras | Penkiakampis heksakontaedras |
„Triakis“ (ir kitos panašios Katalano kūnų pavadinimo dalys) yra hibridinis darinys iš graikų τρι, tri – „trys“ ir lotynų acis „ketera“, „smailė“; taigi „triakis“ tetraedras yra tetraedras, kurio kiekvienoje sienoje iškilusios trys briaunos („keteros“). Atitinkamai „tetrakis“ reiškia sieną, kurioje iškilusios keturios (tetra), „pentakis“ – penkios briaunos, sudarančios lygiašonius trikampius, o „disdyakis“ – briaunos sudaro įvairiakraščius trikampius.
Simetrija
Katalano kūnus, kaip ir jiems dualius Archimedo kūnus galima sugrupuoti pagal simetrijos klases: tetraedrines, oktaedrines, ikosaedrines simetrijos kūnus. Kiekvienoje simetrijos klasėje yra po šešis kūnus, o kadangi tetraedrinės simetrijos grupės kūnams būdinga simetrija pačiam sau, čia yra tik trys kūnai, du iš kurių dubliuoja oktaedrinės simetrijos kūnai. Taigi 6+6+3-2=13.
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Archimedo kūnai | ||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Katalano kūnai | ||||||||||
Sąrašas
| Pavadinimas (Dvigubas) | Vaizdas | Ortogonalinis karkasas | Sienos daugiakampis | Sienos | Briaunos | Viršūnės | Simetrija |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| „Triakis“ tetraedras (nupjautinis tetraedras) | Lygiašonis
| 12 | 18 | 8 | Td | ||
| Rombinis dodekaedras (kuboktaedras) | Rombas
| 12 | 24 | 14 | Oh | ||
| „Triakis“ oktaedras (nupjautinis kubas) | Lygiašonis
| 24 | 36 | 14 | Oh | ||
| „Tetrakis“ heksaedras (nupjautinis oktaedras) | Lygiašonis
| 24 | 36 | 14 | Oh | ||
| Deltoidinis ikositetraedras (rombinis kuboktaedras) | Aitvaras
| 24 | 48 | 26 | Oh | ||
| „Disdyakis“ dodekaedras (nupjautinis kuboktaedras) | Įvairiakraštis
| 48 | 72 | 26 | Oh | ||
| Penkiakampis ikositetraedras (nusklembtas kubas) | Penkiakampis
| 24 | 60 | 38 | O | ||
| Rombinis triakontaedras (ikosidodekaedras) | Rombas
| 30 | 60 | 32 | Ih | ||
| „Triakis“ ikosaedras (nupjautinis dodekaedras) | Lygiašonis
| 60 | 90 | 32 | Ih | ||
| „Pentakis“ dodekaedras (nupjautinis ikosaedras) | Lygiašonis
| 60 | 90 | 32 | Ih | ||
| Deltoidinis heksakontaedras (rombinis ikosidodekaedras) | Aitvaras
| 60 | 120 | 62 | Ih | ||
| „Disdyakis“ triakontaedras (nupjautinis ikosidodekaedras) | Įvairiakraštis
| 120 | 180 | 62 | Ih | ||
| Penkiakampis heksakontaedras (nusklembtas dodekaedras) | Penkiakampis
| 60 | 150 | 92 | I |
Šaltiniai
- Eugène Catalan Mémoire sur la Théorie des Polyèdres. J. l'École Polytechnique (Paris) 41, 1-71, 1865.
- Alan Holden Shapes, Space, and Symmetry. New York: Dover, 1991.
- (1983), Dual Models, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-54325-5 (The thirteen semiregular convex polyhedra and their duals)
- Williams, Robert (1979). The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X. (Section 3-9)
- Anthony Pugh (1976). Polyhedra: A visual approach. California: University of California Press Berkeley. ISBN 0-520-03056-7. Chapter 4: Duals of the Archimedean polyhedra, prisma and antiprisms
Nuorodos
- Weisstein, Eric W., „Catalan Solids“, MathWorld.
- Weisstein, Eric W., „Isohedron“, MathWorld.
- Olshevsky, George, Catalan at Glossary for Hyperspace.
- Archimedean duals – at Virtual Reality Polyhedra
- Interactive Catalan Solid Archyvuota kopija 2005-12-01 iš Wayback Machine projekto. in Java
Autorius: www.NiNa.Az
Išleidimo data:
vikipedija, wiki, lietuvos, knyga, knygos, biblioteka, straipsnis, skaityti, atsisiųsti, nemokamai atsisiųsti, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, pictu, mobilusis, porn, telefonas, android, iOS, apple, mobile telefl, samsung, iPhone, xiomi, xiaomi, redmi, pornografija, honor, oppo, Nokia, Sonya, mi, pc, web, kompiuteris, Informacija apie Katalano kūnas, Kas yra Katalano kūnas? Ką reiškia Katalano kūnas?
Matematikoje Katalano kunas atitinkamo Archimedo kuno dualusis briaunainis Katalano kunai taip vadinami pagal juos 1865 m pirma karta aprasiusį belgu matematika Euzena Katalana Eugene Catalan Rombinis dodekaedras ir jo sienos konfiguracija Disdyakis triakontaedras kurio sienos konfiguracija V4 6 10 yra didziausias Katalano kunas turintis 120 sienu Katalano kunai yra iskilieji briaunainiai Jie yra tranzityvus sienu atzvilgiu bet netranzityvus briaunu atzvilgiu Taip yra todel kad siu kunu dualai Archimedo kunai yra tranzityvus briaunu atzvilgiu bet netranzityvus sienu atzvilgiu Reikia pastebeti kad skirtingai negu Platono kunai ir Archimedo kunai Katalano kunu sienos nera taisyklingieji daugiakampiai Kita vertus Katalano kunu virsuniu planai yra taisyklingieji daugiakampiai ir jie turi pastovius dvisienius kampus Kadangi ju sienos yra tranzityvios Katalano kunai yra Be to du Katalano kunai yra dar tranzityvus ir briaunu atzvilgiu rombinis dodekaedras ir rombinis triakontaedras Siuodvi figuros yra dvieju kvazitaisykligu Archimedo kunu dualai Lygiai kaip prizmes ir antiprizmes bendruoju atveju nera priskiriamos prie Archimedo kunu taip bipiramides ir trapecoedrai nepriskiriami prie Katalano kunu nors abieju klasiu figuros yra tranzityvios sienu atzvilgiu Dviem Katalano kunams budingas chiraliskumas penkiakampiam ikositetraedrui ir penkiakampiam heksakontaedrui kurie yra atitinkamai dualus su nusklembtu kubu ir nusklembtu dodekaedru Kiekvienas siu dualu is tiesu yra enantiomorfupora Bet neskaiciuojant siu enantiomorfu ir bipiramidziu bei trapecoedru is viso turime 13 Katalano kunu nr Archimedo kunai Katalano kunai1 Nupjautinis tetraedras Triakis tetraedras2 Nupjautinis kubas Triakis oktaedras3 Nupjautinis kuboktaedras Disdyakis dodekaedras4 Nupjautinis oktaedras Tetrakis heksaedras5 Nupjautinis dodekaedras Triakis ikosaedras6 Nupjautinis ikosidodekaedras Disdyakis triakontaedras7 Nupjautinis ikosaedras Pentakis dodekaedras8 Kuboktaedras Rombinis ddodekaedras9 Ikosidodekaedras Rombinis triakontaedras10 Rombinis kuboktaedras Deltoidinis ikositetraedras11 Rombinis ikosidodekaedras Deltoidinis heksakontaedras12 Nusklembtas kubas Penkiakampis ikositetraedras13 Nusklembtas dodekaedras Penkiakampis heksakontaedras Triakis ir kitos panasios Katalano kunu pavadinimo dalys yra hibridinis darinys is graiku tri tri trys ir lotynu acis ketera smaile taigi triakis tetraedras yra tetraedras kurio kiekvienoje sienoje iskilusios trys briaunos keteros Atitinkamai tetrakis reiskia siena kurioje iskilusios keturios tetra pentakis penkios briaunos sudarancios lygiasonius trikampius o disdyakis briaunos sudaro įvairiakrascius trikampius SimetrijaKatalano kunus kaip ir jiems dualius Archimedo kunus galima sugrupuoti pagal simetrijos klases tetraedrines oktaedrines ikosaedrines simetrijos kunus Kiekvienoje simetrijos klaseje yra po sesis kunus o kadangi tetraedrines simetrijos grupes kunams budinga simetrija paciam sau cia yra tik trys kunai du is kuriu dubliuoja oktaedrines simetrijos kunai Taigi 6 6 3 2 13 Archimedo kunaiKatalano kunai Archimedo kunaiKatalano kunaiArchimedo kunaiKatalano kunaiSarasasPavadinimas Dvigubas Konvejaus zymejimas Vaizdas Ortogonalinis karkasas Sienos daugiakampis Sienos Briaunos Virsunes Simetrija Triakis tetraedras nupjautinis tetraedras kT Lygiasonis V3 6 6 12 18 8 TdRombinis dodekaedras kuboktaedras jC Rombas V3 4 3 4 12 24 14 Oh Triakis oktaedras nupjautinis kubas kO Lygiasonis V3 8 8 24 36 14 Oh Tetrakis heksaedras nupjautinis oktaedras kC Lygiasonis V4 6 6 24 36 14 OhDeltoidinis ikositetraedras rombinis kuboktaedras oC Aitvaras V3 4 4 4 24 48 26 Oh Disdyakis dodekaedras nupjautinis kuboktaedras mC Įvairiakrastis V4 6 8 48 72 26 OhPenkiakampis ikositetraedras nusklembtas kubas gC Penkiakampis V3 3 3 3 4 24 60 38 ORombinis triakontaedras ikosidodekaedras jD Rombas V3 5 3 5 30 60 32 Ih Triakis ikosaedras nupjautinis dodekaedras kI Lygiasonis V3 10 10 60 90 32 Ih Pentakis dodekaedras nupjautinis ikosaedras kD Lygiasonis V5 6 6 60 90 32 IhDeltoidinis heksakontaedras rombinis ikosidodekaedras oD Aitvaras V3 4 5 4 60 120 62 Ih Disdyakis triakontaedras nupjautinis ikosidodekaedras mD Įvairiakrastis V4 6 10 120 180 62 IhPenkiakampis heksakontaedras nusklembtas dodekaedras gD Penkiakampis V3 3 3 3 5 60 150 92 ISaltiniaiEugene Catalan Memoire sur la Theorie des Polyedres J l Ecole Polytechnique Paris 41 1 71 1865 Alan Holden Shapes Space and Symmetry New York Dover 1991 1983 Dual Models Cambridge University Press ISBN 978 0 521 54325 5 The thirteen semiregular convex polyhedra and their duals Williams Robert 1979 The Geometrical Foundation of Natural Structure A Source Book of Design Dover Publications Inc ISBN 0 486 23729 X Section 3 9 Anthony Pugh 1976 Polyhedra A visual approach California University of California Press Berkeley ISBN 0 520 03056 7 Chapter 4 Duals of the Archimedean polyhedra prisma and antiprismsNuorodosWeisstein Eric W Catalan Solids MathWorld Weisstein Eric W Isohedron MathWorld Olshevsky George Catalanat Glossary for Hyperspace Archimedean duals at Virtual Reality Polyhedra Interactive Catalan Solid Archyvuota kopija 2005 12 01 is Wayback Machine projekto in Java