Azərbaycan
Deutschland
Lietuva
ශ්රී ලංකාව
Türkiyə
Nupjautinis ikosidodekaedras turintis 120 viršūnių yra didžiausias Archimedo briaunainis Archimedo briaunainiai labai si
Archimedo kūnas
Nupjautinis ikosidodekaedras, turintis 120 viršūnių, yra didžiausias Archimedo briaunainis. |
Archimedo briaunainiai – labai simetriški pustaisyklingiai iškilieji briaunainiai, sudaryti iš dviejų ar daugiau rūšių taisyklingųjų daugiakampių, kurie susieina identiškose viršūnėse. Jie skiriasi nuo Platono kūnų tuo, kad pastaruosius sudaro išimtinai vienodi ir tarpusavyje lygūs daugiakampiai, susieinantys į vienodas viršūnes, o nuo Džonsono kūnų tuo, kad šių sienas sudarantys taisyklingi daugiakampiai sudaro nevienodas viršūnes.
Sąvoka vienodos viršūnės paprastai reiškia, kad bet kurioms dviem viršūnėms galima pritaikyti transformaciją, tinkančią visai figūrai, kad vieną viršūnę sutapdintume su kita. Kartais pasitenkinama reikalavimu, kad sienos susieinančios vienoje viršūnėje būtų izometriškai susijusios su sienomis, kurios susieina kitoje. Šis apibrėžimų skirtumas ypač svarbus, kai kalbama apie pseudorombinį kuboktaedrą: tai unikalus iškilas briaunainis, kurio taisyklingi sienų daugiakampiai vienodu būdu susieina kiekvienoje viršūnėje, bet jis neturi globalios simetrijos, pagal kurią kiekvieną viršūnę būtų galima sutapdinti su kitomis. Remdamasis šiuo faktu, Branko Grünbaumas pasiūlė (2009 m.) terminologiškai skirti šias dvi briaunainių šeimas ir Archimedo briaunainius apibrėžti kaip kiekvienoje viršūnėje turinčius vienodą viršūnės planą (įskaitant ir pseudorombinį kuboktaedrą), o tolygiuosius briaunainius apibrėžti kaip turinčius simetriškas viršūnes (vadinasi, neapimančius pseudorombinio kuboktaedro).
ir , kurių yra dvisienės, bendru atveju nelaikomos Archimedo briaunainiais, nors jos ir atitinka tik ką pateiktą apibrėžimą. Taikant tokį apribojimą, turime tik baigtinę aibę Archimedo kūnų. Visus juos (išskyrus pseudorombinį kuboktaedrą), taikant (Wythoff constructions), galima sukurti iš Platono kūnų, kuriems būdinga tetraedrinė, oktaedrinė ir ikosaedrinė simetrija.
Pavadinimo kilmė
Šie briaunainiai pavadinti Archimedo vardu, kuris aprašė juos savo dabar jau prarastame veikale. Bet šį veikalą cituoja Papus Aleksandriškis, kuris teigia, kad Archimedas nurodė 13 briaunainių. Renesanso periodu menininkai ir matematikai labai vertino grynas formas ir jas tyrinėjo bei atrado iš naujo. Šias paieškas beveik galutinai užbaigė Johanas Kepleris, kuris apibrėžė prizmes, antiprizmes ir neiškilius briaunainius vėliau imtus vadinti .
Kepleris, tikėtina, atrado ir prailgintą kvadratinį girobikupolą (pseudorombinį kuboktaedrą): bent vieną kartą jis tikrai paminėjo, kad yra 14 Archimedo briaunainių. Deja, jo pateiktuose sąrašuose yra tik 13 tolygių briaunainių, o pirmą aikvaizdų liudijimą apie pseudorombinį kuboktaedrą sutinkame 1905 metais, Dunkano Somervilio (Duncan Sommerville) darbe.
Klasifikacija
Iš viso yra: 13 Archimedo briaunainių (pagal moderniausią apibrėžimą neįtraukiant pseudorombinio kuboktaedro, arba pailgo stačiakampio girobikupolo, kaip jis neretai vadinamas); 15 Archimedo briaunainių, jei dviejų enantiamorfiškų briaunainių veidrodinius atspindžius laikysime skirtingais kūnais.
Lentelės viršūnės plano langelyje įrašytos skaitinės reikšmės rodo, kokio tipo taisyklingi daugiakampiai susieina šioje viršūnėje. Pavyzdžiui, viršūnės plano skaitinės reikšmės (4,6,8) reiškia, kad viršūnėje susieina kvadratas, šešiakampis ir aštuoniakampis (daugiakampiai surašomi pagal laikrodžio rodyklę).
| Pavadinimas (Alternatyvus pavad.) | Schläfli Coxeter | Skaidrus | Tankus | Išklotinė | Viršūnės planas | Sienos | Briaunos | Viršūnės | Taškinės simetr. grupė | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| nupjautinis tetraedras | {3,3}
| (Animacija) | 3.6.6 | 8 | 4 trikampiai 4 šešiakampiai | 18 | 12 | Td | ||
| kuboktaedras (rombtetratetraedras) | r{4,3} or rr{3,3} or | (Animacija) | 3.4.3.4 | 14 | 8 trikampiai 6 kvadratai | 24 | 12 | Oh | ||
| nupjautinis kubas | t{4,3}
| (Animacija) | 3.8.8
| 14 | 8 trikampiai 6 aštuoniakampiai | 36 | 24 | Oh | ||
| nupjautinis oktaedras (nupjautinis tetratetraedras) | t{3,4} or tr{3,3} or | (Animacija) | 4.6.6
| 14 | 6 kvadratai 8 šešiakampiai | 36 | 24 | Oh | ||
| rombinis kuboktaedras (mažasis rombinis kuboktaedras) | rr{4,3}
| (Animacija) | 3.4.4.4
| 26 | 8 trikampiai 18 kvadratų | 48 | 24 | Oh | ||
| nupjautinis kuboktaedras (didysis rombinis kuboktaedras) | tr{4,3}
| (Animacija) | 4.6.8
| 26 | 12 kvadratų 8 šešiakampiai | 72 | 48 | Oh | ||
| nusklembtas (angl. snub) kubas (nusklembtas kuboktaedras) | sr{4,3} | (Animacija) | 3.3.3.3.4
| 38 | 32 trikampiai 6 kvadratai | 60 | 24 | O | ||
| ikosidodekaedras | r{5,3}
| (Animacija) | 3.5.3.5
| 32 | 20 trikampių 12 penkiakampių | 60 | 30 | Ih | ||
| nupjautinis dodekaedras | t{5,3}
| (Animacija) | 3.10.10
| 32 | 20 trikampių 12 dešimtkampių | 90 | 60 | Ih | ||
| nupjautinis ikosaedras | t{3,5}
| (Animacija) | 5.6.6
| 32 | 12 penkiakampių 20 šešiakampių | 90 | 60 | Ih | ||
| rombinis ikosidodekaedras (mažasis rombinis ikosidodekaedras) | rr{5,3}
| (Animacija) | 3.4.5.4
| 62 | 20 trikampiai 30 kvadratų | 120 | 60 | Ih | ||
| nupjautinis ikosidodekaedras (didysis rombinis ikosidodekaedras) | tr{5,3}
| (Animacija) | 4.6.10
| 62 | 30 kvadratų 20 šešiakampių | 180 | 120 | Ih | ||
| nusklembtas dodekaedras (nusklembtas ikosidodekaedras) | sr{5,3}
| (Animacija) | 3.3.3.3.5
| 92 | 80 trikampių 12 penkiakampių | 150 | 60 | I | ||
Pagal kai kuriuos pustaisyklingių briaunainių apibrėžimus, į šią šeimą įtraukiamas dar vienas briaunainis, pseudorombinio kuboktaedro, arba dar kitaip vadinamas pailgas stačiakampis girobikupolas.
Savybės
Archimedo kūnų viršūnių skaičius apskaičiuojamas 720° dalijant iš viršūnės .
Kuboktaedras ir ikosidodekaedas yra (turi viebodas briaunas) ir priskiriami kvazitaisyklingiams briaunainiams.
Archimedo kūnų dualai yra vadinami Katalano kūnais. Kartu su ir , jie yra tokie , kurie turi taisyklingas viršūnes.
Chirališkumas
Nusklembtas (angl. snub) kubas ir nusklembtas dodekaedras yra , nes jie būna kairinės ir dešininės formos, todėl kūno trimatis pavidalas nesutampa su jo veidrodiniu atspindžiu. Kūno savybė turėti kairinę ir dešininę formą vadinama enantiomorfizmu, o patys kūnai gali būti vadinami enantiomorfais. Taigi minėtos dvi figūros (nusklembtas kubas ir nusklembtas dodekaedras) yra enantiomorfinės, arba tiesiog, enantiomorfai.
Archimedo kūnų konstravimas
- Taip pat skaitykite – Tolygusis briaunainis, .
Tarp atskirų Archimedo ir Platono kūnų egzistuoja sąryšiai, kuriuos galima aptikti, taikant bendras jų konstravimo pakopas. Pradžioje Platono kūnų viršūnes. Kad būtų išlaikoma simetrija, pjovimo plokštuma turi būti statmena tiesei, jungiančiai viršūnę su briaunainio centru (visos viršūnės nupjaunamos vienodai). Pagal tai, kiek nupjaunama (žr. lentelę žemiau), susidaro įvairūs Platono ir Archimedo kūnai (taip pat, ir kitokie „tarpiniai“ briaunainiai). ir (angl. cantellation) yra tokios operacijos, kai briaunainio sienos tolinamos nuo jo centro (visos sienos vienodu atstumu, kad nebūtų pažeista Platono kūno simetrija) ir išgaubiant iš jų iškilus kupolus. Tempimas su pasukimu reiškia, kad sienos dar ir pasukamos, taip prie briaunų besišliejantys stačiakampiai palaipsniui virsta trikampiais. Paskutinė čia taikoma konstravimo pakopa – nupjauti kartu viršūnes ir briaunas. Kai tempimo metu nekeičiami pradiniai sienų matmenys (sienos tiesiog tolinamos viena nuo briaunainio centro), tokį tempimą galima laikyti nupjovimu, kai kartu pjaunamos viršūnės ir briaunos, išlaikant tam tikrą proporciją tarp kampo ir briaunų pokyčio.
| Simetrija | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| Pradinis kūnas Operacija | Simbolis {p, q} | Tetraedras {3,3} | Kubas {4,3} | Oktaedras {3,4} | Dodekaedras {5,3} | Ikosaedras {3,5} |
| (t) | t{p, q} | nupjautinis tetraedras | nupjautinis kubas | nupjautinis oktaedras | nupjautinis dodekaedras | nupjautinis ikosaedras |
| (r) Konvėjaus: Ambo (a) | r{p, q} | |||||
| (2t) Konvėjaus: Dual kis (dk) | 2t{p, q} | nupjautinis tetraedras | nupjautinis oktaedras | nupjautinis kubas | nupjautinis ikosaedras | nupjautinis dodekaedras |
| (2r) Dualas (d) | 2r{p, q} | tetraedras | oktaedras | kubas | ikosaedras | dodekaedras |
| (rr) (e) | rr{p, q} | | ||||
| Nusklembimas ir rektifikavimas (sr) (s) | sr{p, q} | |||||
| Kanteliacija su nupjovimu (tr) Konvėjaus: Bevel (b) | tr{p, q} | |||||
Atkreipkite dėmesį į dualumą tarp kubo ir oktaedro bei tarp dodekaedro ir ikosaedro. O taip pat į tai, kad tetraedrinę simetriją turi tik vienas Archimedo kūnas, iš dalies dėl to, kad tetraedras yra dualus pats sau.
Išnašos
- Grünbaum (2009).
- Field J., Rediscovering the Archimedean Polyhedra: Piero della Francesca, Luca Pacioli, Leonardo da Vinci, Albrecht Dürer, Daniele Barbaro, and Johannes Kepler, Archive for History of Exact Sciences, 50, 1997, 227
- Malkevitch (1988), p. 85
- Šiems Conway’aus įvestiems angliškiems terminams nepavyksta rasti terminologinių lietuviškų atitikmenų (tikrinta 2015 m.); angliškai žr.[1]
Šaltiniai
- Jayatilake, Udaya (2005 m. kovo mėn.). „Calculations on face and vertex regular polyhedra“. Mathematical Gazette. 89 (514): 76–81.
- Grünbaum, Branko (2009), "An enduring error", Elemente der Mathematik 64(3): 89–101, doi:. Reprinted in Pitici, Mircea, ed. (2011), The Best Writing on Mathematics 2010, Princeton University Press, p. 18–31.
- Williams, Robert (1979). The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X.
- Malkevitch, Joseph (1988), "Milestones in the history of polyhedra", in Senechal, M. & Fleck, G., Shaping Space: A Polyhedral Approach, Boston: Birkhäuser, p. 80–92.
- Pugh, Anthony (1976). Polyhedra: A visual approach. California: University of California Press Berkeley. ISBN 0-520-03056-7. 2 skyrius
Autorius: www.NiNa.Az
Išleidimo data:
vikipedija, wiki, lietuvos, knyga, knygos, biblioteka, straipsnis, skaityti, atsisiųsti, nemokamai atsisiųsti, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, pictu, mobilusis, porn, telefonas, android, iOS, apple, mobile telefl, samsung, iPhone, xiomi, xiaomi, redmi, pornografija, honor, oppo, Nokia, Sonya, mi, pc, web, kompiuteris, Informacija apie Archimedo kūnas, Kas yra Archimedo kūnas? Ką reiškia Archimedo kūnas?
Nupjautinis ikosidodekaedras turintis 120 virsuniu yra didziausias Archimedo briaunainis Archimedo briaunainiai labai simetriski pustaisyklingiai iskilieji briaunainiai sudaryti is dvieju ar daugiau rusiu taisyklinguju daugiakampiu kurie susieina identiskose virsunese Jie skiriasi nuo Platono kunu tuo kad pastaruosius sudaro isimtinai vienodi ir tarpusavyje lygus daugiakampiai susieinantys į vienodas virsunes o nuo Dzonsono kunu tuo kad siu sienas sudarantys taisyklingi daugiakampiai sudaro nevienodas virsunes Savoka vienodos virsunes paprastai reiskia kad bet kurioms dviem virsunems galima pritaikyti transformacija tinkancia visai figurai kad viena virsune sutapdintume su kita Kartais pasitenkinama reikalavimu kad sienos susieinancios vienoje virsuneje butu izometriskai susijusios su sienomis kurios susieina kitoje Sis apibrezimu skirtumas ypac svarbus kai kalbama apie pseudorombinį kuboktaedra tai unikalus iskilas briaunainis kurio taisyklingi sienu daugiakampiai vienodu budu susieina kiekvienoje virsuneje bet jis neturi globalios simetrijos pagal kuria kiekviena virsune butu galima sutapdinti su kitomis Remdamasis siuo faktu Branko Grunbaumas pasiule 2009 m terminologiskai skirti sias dvi briaunainiu seimas ir Archimedo briaunainius apibrezti kaip kiekvienoje virsuneje turincius vienoda virsunes plana įskaitant ir pseudorombinį kuboktaedra o tolygiuosius briaunainius apibrezti kaip turincius simetriskas virsunes vadinasi neapimancius pseudorombinio kuboktaedro ir kuriu yra dvisienes bendru atveju nelaikomos Archimedo briaunainiais nors jos ir atitinka tik ka pateikta apibrezima Taikant tokį apribojima turime tik baigtine aibe Archimedo kunu Visus juos isskyrus pseudorombinį kuboktaedra taikant Wythoff constructions galima sukurti is Platono kunu kuriems budinga tetraedrine oktaedrine ir ikosaedrine simetrija Pavadinimo kilmeSie briaunainiai pavadinti Archimedo vardu kuris aprase juos savo dabar jau prarastame veikale Bet sį veikala cituoja Papus Aleksandriskis kuris teigia kad Archimedas nurode 13 briaunainiu Renesanso periodu menininkai ir matematikai labai vertino grynas formas ir jas tyrinejo bei atrado is naujo Sias paieskas beveik galutinai uzbaige Johanas Kepleris kuris apibreze prizmes antiprizmes ir neiskilius briaunainius veliau imtus vadinti Kepleris tiketina atrado ir prailginta kvadratinį girobikupola pseudorombinį kuboktaedra bent viena karta jis tikrai paminejo kad yra 14 Archimedo briaunainiu Deja jo pateiktuose sarasuose yra tik 13 tolygiu briaunainiu o pirma aikvaizdu liudijima apie pseudorombinį kuboktaedra sutinkame 1905 metais Dunkano Somervilio Duncan Sommerville darbe KlasifikacijaIs viso yra 13 Archimedo briaunainiu pagal moderniausia apibrezima neįtraukiant pseudorombinio kuboktaedro arba pailgo staciakampio girobikupolo kaip jis neretai vadinamas 15 Archimedo briaunainiu jei dvieju enantiamorfisku briaunainiu veidrodinius atspindzius laikysime skirtingais kunais Lenteles virsunes plano langelyje įrasytos skaitines reiksmes rodo kokio tipo taisyklingi daugiakampiai susieina sioje virsuneje Pavyzdziui virsunes planoskaitines reiksmes 4 6 8 reiskia kad virsuneje susieina kvadratas sesiakampis ir astuoniakampis daugiakampiai surasomi pagal laikrodzio rodykle Pavadinimas Alternatyvus pavad Schlafli Coxeter Skaidrus Tankus Isklotine Virsunes planas Sienos Briaunos Virsunes Taskines simetr grupenupjautinis tetraedras 3 3 Animacija 3 6 6 8 4 trikampiai 4 sesiakampiai 18 12 Tdkuboktaedras rombtetratetraedras r 4 3 or rr 3 3 or Animacija 3 4 3 4 14 8 trikampiai 6 kvadratai 24 12 Ohnupjautinis kubas t 4 3 Animacija 3 8 8 14 8 trikampiai 6 astuoniakampiai 36 24 Ohnupjautinis oktaedras nupjautinis tetratetraedras t 3 4 or tr 3 3 or Animacija 4 6 6 14 6 kvadratai 8 sesiakampiai 36 24 Ohrombinis kuboktaedras mazasis rombinis kuboktaedras rr 4 3 Animacija 3 4 4 4 26 8 trikampiai 18 kvadratu 48 24 Ohnupjautinis kuboktaedras didysis rombinis kuboktaedras tr 4 3 Animacija 4 6 8 26 12 kvadratu 8 sesiakampiai 6 astuoniakampiai 72 48 Ohnusklembtas angl snub kubas nusklembtas kuboktaedras sr 4 3 Animacija 3 3 3 3 4 38 32 trikampiai 6 kvadratai 60 24 Oikosidodekaedras r 5 3 Animacija 3 5 3 5 32 20 trikampiu 12 penkiakampiu 60 30 Ihnupjautinis dodekaedras t 5 3 Animacija 3 10 10 32 20 trikampiu 12 desimtkampiu 90 60 Ihnupjautinis ikosaedras t 3 5 Animacija 5 6 6 32 12 penkiakampiu 20 sesiakampiu 90 60 Ihrombinis ikosidodekaedras mazasis rombinis ikosidodekaedras rr 5 3 Animacija 3 4 5 4 62 20 trikampiai 30 kvadratu 12 penkiakampiu 120 60 Ihnupjautinis ikosidodekaedras didysis rombinis ikosidodekaedras tr 5 3 Animacija 4 6 10 62 30 kvadratu 20 sesiakampiu 12 desimtkampiu 180 120 Ihnusklembtas dodekaedras nusklembtas ikosidodekaedras sr 5 3 Animacija 3 3 3 3 5 92 80 trikampiu 12 penkiakampiu 150 60 I Pagal kai kuriuos pustaisyklingiu briaunainiu apibrezimus į sia seima įtraukiamas dar vienas briaunainis pseudorombinio kuboktaedro arba dar kitaip vadinamas pailgas staciakampis girobikupolas SavybesArchimedo kunu virsuniu skaicius apskaiciuojamas 720 dalijant is virsunes Kuboktaedras ir ikosidodekaedas yra turi viebodas briaunas ir priskiriami kvazitaisyklingiams briaunainiams Archimedo kunu dualai yra vadinami Katalano kunais Kartu su ir jie yra tokie kurie turi taisyklingas virsunes Chiraliskumas Nusklembtas angl snub kubas ir nusklembtas dodekaedras yra nes jie buna kairines ir desinines formos todel kuno trimatis pavidalas nesutampa su jo veidrodiniu atspindziu Kuno savybe tureti kairine ir desinine forma vadinama enantiomorfizmu o patys kunai gali buti vadinami enantiomorfais Taigi minetos dvi figuros nusklembtas kubas ir nusklembtas dodekaedras yra enantiomorfines arba tiesiog enantiomorfai Archimedo kunu konstravimasTaip pat skaitykite Tolygusis briaunainis Tarp atskiru Archimedo ir Platono kunu egzistuoja sarysiai kuriuos galima aptikti taikant bendras ju konstravimo pakopas Pradzioje Platono kunu virsunes Kad butu islaikoma simetrija pjovimo plokstuma turi buti statmena tiesei jungianciai virsune su briaunainio centru visos virsunes nupjaunamos vienodai Pagal tai kiek nupjaunama zr lentele zemiau susidaro įvairus Platono ir Archimedo kunai taip pat ir kitokie tarpiniai briaunainiai ir angl cantellation yra tokios operacijos kai briaunainio sienos tolinamos nuo jo centro visos sienos vienodu atstumu kad nebutu pazeista Platono kuno simetrija ir isgaubiant is ju iskilus kupolus Tempimas su pasukimu reiskia kad sienos dar ir pasukamos taip prie briaunu besisliejantys staciakampiai palaipsniui virsta trikampiais Paskutine cia taikoma konstravimo pakopa nupjauti kartu virsunes ir briaunas Kai tempimo metu nekeiciami pradiniai sienu matmenys sienos tiesiog tolinamos viena nuo briaunainio centro tokį tempima galima laikyti nupjovimu kai kartu pjaunamos virsunes ir briaunos islaikant tam tikra proporcija tarp kampo ir briaunu pokycio Archimedo kunu konstravimas SimetrijaPradinis kunas Operacija Simbolis p q Tetraedras 3 3 Kubas 4 3 Oktaedras 3 4 Dodekaedras 5 3 Ikosaedras 3 5 t t p q nupjautinis tetraedras nupjautinis kubas nupjautinis oktaedras nupjautinis dodekaedras nupjautinis ikosaedras r Konvejaus Ambo a r p q 2t Konvejaus Dual kis dk 2t p q nupjautinis tetraedras nupjautinis oktaedras nupjautinis kubas nupjautinis ikosaedras nupjautinis dodekaedras 2r Dualas d 2r p q tetraedras oktaedras kubas ikosaedras dodekaedras rr e rr p q Nusklembimas ir rektifikavimas sr s sr p q Kanteliacija su nupjovimu tr Konvejaus Bevel b tr p q Atkreipkite demesį į dualuma tarp kubo ir oktaedro bei tarp dodekaedro ir ikosaedro O taip pat į tai kad tetraedrine simetrija turi tik vienas Archimedo kunas is dalies del to kad tetraedras yra dualus pats sau IsnasosGrunbaum 2009 Field J Rediscovering the Archimedean Polyhedra Piero della Francesca Luca Pacioli Leonardo da Vinci Albrecht Durer Daniele Barbaro and Johannes Kepler Archive for History of Exact Sciences 50 1997 227 Malkevitch 1988 p 85 Siems Conway aus įvestiems angliskiems terminams nepavyksta rasti terminologiniu lietuvisku atitikmenu tikrinta 2015 m angliskai zr 1 SaltiniaiJayatilake Udaya 2005 m kovo men Calculations on face and vertex regular polyhedra Mathematical Gazette 89 514 76 81 Grunbaum Branko 2009 An enduring error Elemente der Mathematik 64 3 89 101 doi 10 4171 EM 120 Reprinted in Pitici Mircea ed 2011 The Best Writing on Mathematics 2010 Princeton University Press p 18 31 Williams Robert 1979 The Geometrical Foundation of Natural Structure A Source Book of Design Dover Publications Inc ISBN 0 486 23729 X Malkevitch Joseph 1988 Milestones in the history of polyhedra in Senechal M amp Fleck G Shaping Space A Polyhedral Approach Boston Birkhauser p 80 92 Pugh Anthony 1976 Polyhedra A visual approach California University of California Press Berkeley ISBN 0 520 03056 7 2 skyrius