Beselio funkcija

Beselio funkcijos – kanoniniai Beselio diferencialinės lygties

${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}+(x^{2}-\alpha ^{2})y=0}$

sprendiniai bet kokiai realiai arba kompleksinei parametro ${\displaystyle \alpha }$ vertei. Labiausiai paplitę ir svarbūs daliniai atvejai, kai ${\displaystyle \alpha }$ yra sveikas skaičius n. Tada parametras ${\displaystyle \alpha }$ yra vadinamas Beselio funkcijos eile.

Beselio funkcijos pirmą kartą apibrėžtos matematiko Danielio Bernulio, o apibendrintos .

Beselio funkcija taikymuose

Beselio diferencialinė lygtis atsiranda matematinėje fizikoje, kuomet arba yra atskiriami kintamieji, lygtis užrašius arba koordinačių sistemose. Dėl šios priežasties Beselio funkcijos yra ypač svarbios daugelyje uždavinių. Spręsdami cilindrinės simetrijos uždavinius, susiduriame su su lyginės (α = n) eilės Beselio funkcijomis, tuo tarpu sferinėse koordinatėse sutinkamos pusinių (α = n + ½) eilių Beselio funkcijos. Pavyzdžiui

• Elektromagnetinė banga cilindriniame bangolaidyje.
• šilumos pernaša cilindriniame objekte.
• Nuosavų virpesių modos plonoje apskritiminėje membranoje (būgno plėvelė).
• Mie sklaidos uždaviniai.

Apibrėžimai

Kadangi Beselio funkcijos yra antros eilės diferencialinės lygties sprendiniai, egzistuoja dvi tarpusavyje tiesiškai nepriklausomos funkcijos. Priklausomai nuo aplinkybių, sprendinių poros yra skirtingai apibrėžiamos.

Pirmos rūšies Beselio funkcijos : J_α

Pirmos rūšies Beselio funkcijos, žymimos simboliu ${\displaystyle J_{\alpha }(x)}$, yra Beselio diferencialinės lygties sprendiniai, turintys baigtinę vertę koordinačių pradžios taške (${\displaystyle x=0}$) neneigiamoms sveiko skaičiaus ${\displaystyle \alpha }$ vertėms, ir diverguoja, kai koordinatė ${\displaystyle x}$ artėja prie nulio neigiamoms ir nelygioms sveikam skaičiui parametro ${\displaystyle \alpha }$ vertėms. Sprendinio tipas (t. y. sveikas skaičius arba nesveikas) funkcijos ${\displaystyle J_{\alpha }(x)}$ vertės yra apibrėžiamos žemiau. Šios funkcijos Teiloro eilutė taško ${\displaystyle x=0}$ aplinkoje užrašoma taip:

${\displaystyle J_{\alpha }(x)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{m!\Gamma (m+\alpha +1)}}{\left({\frac {x}{2}}\right)}^{2m+\alpha }}$

kur ${\displaystyle \Gamma (z)}$ yra Gama funkcija, faktorialo funkcijos apibendrinimas nesveikiems skaičiams. Beselio funkcijos grafikai atrodo panašiai į osciliuojančias sinuso ir kosinuso funkcijas, kurios slopsta proporcingai funkcijai 1/√x (taip pat žr. jų asimptotines formas žemiau) tolstant nuo koordinačių centro. Nors Beselio funkcijos šaknys, griežtai tariant, nėra periodinės, asimptotikoje jos sutampa su sinuso ir kosinuso funkcijų šaknimis. (Teiloro eilutės pavidalas byloja apie tai, kad ${\displaystyle -J_{1}(x)}$ yra funkcijos ${\displaystyle J_{0}(x)}$ išvestinė, analogiškai kaip ${\displaystyle -\sin(x)}$ yra funkcijos ${\displaystyle \cos(x)}$ išvestinė; bendru atveju, funkcijos ${\displaystyle J_{n}(x)}$ išvestinė gali būti išreikšta kaip funkcijų ${\displaystyle J_{n\pm 1}(x)}$ suma.)

Nesveikoms α vertėms, funkcijos ${\displaystyle J_{\alpha }(x)}$ ir ${\displaystyle J_{-\alpha }(x)}$ yra tiesiškai nepriklausomos, tuo būdu budamos vienintelė diferencialinės lygties sprendinių pora. Iš kitos pusės, sveikoms eilėms ${\displaystyle \alpha }$, galioja sekantis sąryšis:

${\displaystyle J_{-n}(x)=(-1)^{n}J_{n}(x).\,}$

Tai reiškia, kad du sprendiniai nėra tiesiškai nepriklausomi. Šiuo atveju, yra įvedama antros rūšies Beselio funkcija Y_α.

Beselio integralai

Yra įmanoma apibrėžti Beselio funkcija sveikoms eilėms ${\displaystyle n}$, kaip integralą:

${\displaystyle J_{n}(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cos(n\tau -x\sin \tau )\,\mathrm {d} \tau .}$

Tokiame pavidale šią funkciją pirmą kartą užrašė Beselis ir iš šio apibrėžimo buvo išvestos pirmosios funkcijos savybės.

Egzistuoja ir kitas integralinis atvaizdavimas:

${\displaystyle J_{n}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }e^{-\mathrm {i} \,(n\tau -x\sin \tau )}\,\mathrm {d} \tau .}$

Saryšis su Lagero polinomais

Egzistuoja formulė, siejanti Beselio funkcija su Lagero polinomais bei laisvai pasirinktu parametru ${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\frac {J_{\alpha }(x)}{\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}}={\frac {e^{-t}}{\Gamma (\alpha +1)}}\sum _{i=0}{\frac {L_{i}^{(\alpha )}\left({\frac {x^{2}}{4t}}\right)}{i+\alpha \choose i}}{\frac {t^{i}}{i!}}.}$

Antros rūšies Beselio funkcijos Y_α

Antros rūšies Beselio funkcija yra žymima Y_α(x) ir yra sprendinių pora, užbaigianti funkcijų šeimą. Šios funkcijos įgija begalinės vertės ties koordinačių pradžia (x = 0).

Y_α(x) yra kartais vadinama Noimano funkcija ir tekstuose žymima N_α(x). Nesveikoms eilėms α, funkcija siejasi su pirmos rūšies funkcija J_α(x) sąryšiu:

${\displaystyle Y_{\alpha }(x)={\frac {J_{\alpha }(x)\cos(\alpha \pi )-J_{-\alpha }(x)}{\sin(\alpha \pi )}}.}$

Kuomet eilė n yra sveikas skaičius, funkcija yra apibrėžiama radus nesveiko skaičiaus α ribą, kuomet jis artėja prie sveiko skaičiaus 'n':

${\displaystyle Y_{n}(x)=\lim _{\alpha \to n}Y_{\alpha }(x),}$

Riba yra apskaičiuojama ir jos integralinis atvaizdavimas yra

${\displaystyle Y_{n}(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin(x\sin \theta -n\theta )d\theta -{\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\left[e^{nt}+(-1)^{n}e^{-nt}\right]e^{-x\sinh t}dt.}$

Tais atvejais, kai α yra nesveikas skaičius, Y_α(x) apibrėžimas nėra būtinas, kadangi ji yra priklausoma nuo pirmos rūšies funkcijos. Iš kitos pusės, kuomet α yra sveikas skaičius, Y_α(x) yra antras tiesiškai nepriklausomas Beselio diferencialinės lygties sprendinys, todėl ir šiai funkcijai galioja sąryšis:

${\displaystyle Y_{-n}(x)=(-1)^{n}Y_{n}(x).\,}$

Hankelio funkcijos: H_α

Kita svarbi galimybė apibrėžti dvi nepriklausomas Beselio diferencialinės lygties sprendinių šeimas yra Hankelio funkcijos H_α⁽¹⁾(x) ir H_α⁽²⁾(x), apibrėžiamos kaip:

${\displaystyle H_{\alpha }^{(1)}(x)=J_{\alpha }(x)+iY_{\alpha }(x)}$

${\displaystyle H_{\alpha }^{(2)}(x)=J_{\alpha }(x)-iY_{\alpha }(x)}$

kur i yra menamas vienetas. Šios tiesinės kombinacijos taip pat yra vadinamos trečios rūšies Beselio funkcijomis; jos yra du tiesiškai nepriklausomi Beselio diferencialinės lygties sprendiniai. Hankelio pirmos ir antros rūšių funkcijos fizikoje yra naudojamos aprašyti nuo koordinačių pradžios tolstančias ir artėjančias cilindrines bangas, atitinkamai, kurios gaunamos išsprendus .

Su prieš tai paminėto sąryšio pagalba, jos gali būti išreikštos:

${\displaystyle H_{\alpha }^{(1)}(x)={\frac {J_{-\alpha }(x)-e^{-\alpha \pi i}J_{\alpha }(x)}{i\sin(\alpha \pi )}}}$

${\displaystyle H_{\alpha }^{(2)}(x)={\frac {J_{-\alpha }(x)-e^{\alpha \pi i}J_{\alpha }(x)}{-i\sin(\alpha \pi )}}}$

jei α yra sveikas skaičius, yra būtina skaičiuoti ribą. Sekantys sąryšiai yra teisingi nepriklausomai nuo to, ar α yra sveikas, ar ne:

${\displaystyle H_{-\alpha }^{(1)}(x)=e^{\alpha \pi i}H_{\alpha }^{(1)}(x)}$

${\displaystyle H_{-\alpha }^{(2)}(x)=e^{-\alpha \pi i}H_{\alpha }^{(2)}(x)}$

Modifikuotos Beselio funkcijos : I_α, K_α

Beselio funkcijų apibrėžimai yra teisingi ir kompleksinėms argumento vertėms, kas reiškia, jog įmanoma apibrėžti funkcijas nuo menamo argumento x. Šiuo atveju, Beselio diferencialinės lygties sprendiniai yra vadinami pirmos ir antros rūšies modifikuotomis Beselio funkcijomis (kartais hiperbolinėmis Beselio funkcijomis):

${\displaystyle I_{\alpha }(x)=i^{-\alpha }J_{\alpha }(ix)\!}$

${\displaystyle K_{\alpha }(x)={\frac {\pi }{2}}{\frac {I_{-\alpha }(x)-I_{\alpha }(x)}{\sin(\alpha \pi )}}={\frac {\pi }{2}}i^{\alpha +1}H_{\alpha }^{(1)}(ix)\!}$

Šios funkcijos įgyja realias vertes realioms argumento x vertėms. Funkcijos I_α(x) skleidinys eilute todėl yra panašus į funkcijos J_α(x) skleidimą eilute, bet be besikeičiančio (−1)^m daugiklio.

I_α(x) ir K_α(x) yra nepriklausomų funkcijų pora, atitinkanti modifikuotą Beselio diferencialinę lygtį:

${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}-(x^{2}+\alpha ^{2})y=0.}$

Skirtingai nuo paprastų Beselio funkcijų, kurios yra osciliuojančios funkcijos, I_α ir K_α yra eksponentiškai augančios ir slopstančios funkcijos, atitinkamai. Kaip ir paprastoji Beselio funkcija J_α, funkcija I_α artėja prie nulio, kai x = 0 ir α > 0, bei yra baigtinė, kai x = 0 ir α = 0. Analogiškai, K_α diverguoja ties x = 0.

Sferinės Beselio funkcijos : j _n, y _n

Sprendžiant sferinėse koordinatėse , radialinę priklausomybę aprašanti lygtis yra:

${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+2x{\frac {dy}{dx}}+[x^{2}-n(n+1)]y=0.}$

Du tiesiškai nepriklausomi šios lygties sprendiniai yra vadinami sferinėmis Beselio funkcijomis j_n ir y_n, jos siejasi su paprastomis BEselio funkcijomis J_n ir Y_n sąryšiu:

${\displaystyle j_{n}(x)={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{n+1/2}(x),}$

${\displaystyle y_{n}(x)={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}Y_{n+1/2}(x)=(-1)^{n+1}{\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{-n-1/2}(x).<math>y_{n}}$ taip pat žymima ${\displaystyle n_{n}}$ arba _n; kai kurie autoriai vadina šias funkcijas sferinėmis Neumano funkcijomis.

Sferinės Beselio funkcijos gali būti užrašomos:

${\displaystyle j_{n}(x)=(-x)^{n}\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)^{n}\,{\frac {\sin x}{x}},}$

${\displaystyle y_{n}(x)=-(-x)^{n}\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)^{n}\,{\frac {\cos x}{x}}.}$

Pirmoji sferinė Beselio funkcija ${\displaystyle j_{0}(x)}$ yra taip pat žinoma kaip nenormuota . Kelios pirmosios sferinės Beselio funkcijos yra:

${\displaystyle j_{0}(x)={\frac {\sin x}{x}}}$

${\displaystyle j_{1}(x)={\frac {\sin x}{x^{2}}}-{\frac {\cos x}{x}}}$

${\displaystyle j_{2}(x)=\left({\frac {3}{x^{2}}}-1\right){\frac {\sin x}{x}}-{\frac {3\cos x}{x^{2}}},}$

ir

${\displaystyle y_{0}(x)=-j_{-1}(x)=-\,{\frac {\cos x}{x}}}$

${\displaystyle y_{1}(x)=j_{-2}(x)=-\,{\frac {\cos x}{x^{2}}}-{\frac {\sin x}{x}}}$

${\displaystyle y_{2}(x)=-j_{-3}(x)=\left(-\,{\frac {3}{x^{2}}}+1\right){\frac {\cos x}{x}}-{\frac {3\sin x}{x^{2}}}.}$

Taip pat egzistuoja sferiniai Hankelio funkcijų analogai:

${\displaystyle h_{n}^{(1)}(x)=j_{n}(x)+iy_{n}(x)}$

${\displaystyle h_{n}^{(2)}(x)=j_{n}(x)-iy_{n}(x).}$

Egzistuoja paprasti glausti sąryšiai tarp pusinės eilės Beselio funkcijų ir trigonometrinių funkcijų, dėl šios priežasties tokie pat sąryšiai egzistuoja ir tarp pusinės eilės Beselio funkcijų ir sveikos eilės sferinių Beselio funkcijų. Teigiamiems sveikiems skaičiams n galioja:

${\displaystyle h_{n}^{(1)}(x)=(-i)^{n+1}{\frac {e^{ix}}{x}}\sum _{m=0}^{n}{\frac {i^{m}}{m!(2x)^{m}}}{\frac {(n+m)!}{(n-m)!}}}$

ir ${\displaystyle h_{n}^{(2)}}$ yra kompleksiškai jungtinis dydis (realioms ${\displaystyle x}$ vertėms). Iš čia seka, kaip pavyzdys, kad ${\displaystyle j_{0}(x)=\sin(x)/x}$ ir ${\displaystyle y_{0}(x)=-\cos(x)/x}$, ir t. t.

Asimptotika

Beselio funkcijos turi sekančią asimptotines formas neneigiamiems α. Mažoms argumento vertėms ${\displaystyle 0<x\ll {\sqrt {\alpha +1}}}$, gauname:

${\displaystyle J_{\alpha }(x)\rightarrow {\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}$

${\displaystyle Y_{\alpha }(x)\rightarrow \left\{{\begin{matrix}{\frac {2}{\pi }}\left[\ln(x/2)+\gamma \right]&{\mbox{if }}\alpha =0\\\\-{\frac {\Gamma (\alpha )}{\pi }}\left({\frac {2}{x}}\right)^{\alpha }&{\mbox{if }}\alpha >0\end{matrix}}\right.}$

kur ${\displaystyle \gamma }$ yra Oilerio-Maskeronio konstanta (0.5772…), o ${\displaystyle \Gamma }$ pažymi gama funkciją. Dideliems argumentams ${\displaystyle x\gg |\alpha ^{2}-1/4|}$, funkcijos tampa:

${\displaystyle J_{\alpha }(x)\rightarrow {\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}\cos \left(x-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}$

${\displaystyle Y_{\alpha }(x)\rightarrow {\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}\sin \left(x-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right).}$

(Kai α=1/2 šios formulės yra tikslios; žr. sferinių Beselio funkcijų skyrelį.) Asimptotinės formos kitiems Beselio funkcijų tipams seka tiesiai iš aukščiau užrašytų sąryšių. Pavyzdžiui, dideliems ${\displaystyle x\gg |\alpha ^{2}-1/4|}$, modifikuotos Beselio funkcijos užsirašo:

${\displaystyle I_{\alpha }(x)\rightarrow {\frac {1}{\sqrt {2\pi x}}}e^{x},}$

${\displaystyle K_{\alpha }(x)\rightarrow {\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}e^{-x}.}$

kuomet mažoms argumento vertėms ${\displaystyle 0<x\ll {\sqrt {\alpha +1}}}$, jos tampa:

${\displaystyle I_{\alpha }(x)\rightarrow {\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}$

${\displaystyle K_{\alpha }(x)\rightarrow \left\{{\begin{matrix}-\ln(x/2)-\gamma &{\mbox{if }}\alpha =0\\\\{\frac {\Gamma (\alpha )}{2}}\left({\frac {2}{x}}\right)^{\alpha }&{\mbox{if }}\alpha >0.\end{matrix}}\right.}$

Taip pat skaitykite

• Gauso funkcija
• Beselio pluoštas

Šaltiniai

1. Friedrich Wilhelm Bessel: Untersuchung des Theils der planetarischen Störungen, welcher aus der Bewegung der Sonne entsteht. In: Abhandlungen der Berliner Akademie der Wissenschaften 1824, Math. Classe, S. 1–52, Berlin 1826.