Gama funkcija

Gama funkcija (žymima ${\displaystyle \Gamma (z)}$) matematikoje – faktorialo plėtinys, kuomet funkcijos apibrėžimo sritis ne tik sveikieji skaičiai. Gama funkcija yra apibrėžta visiems kompleksiniams skaičiams, išskyrus nulį ir neigiamus sveikus skaičius. Gama funkcija naudojama gama skirstinyje.

${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,\mathrm {d} t.\!}$

Pirmasis tokį pažymėjimą įvedė Andre-Mari Ležandras. Pirminis Eulerio gama funkcijos apibrėžimas buvo:

${\displaystyle \Gamma (z)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{z}n!}{\prod _{k=0}^{n}(z+k)}}.\!}$

Gama funkcija kaip ir faktorialas tenkina tokius pat rekursyvinius sąryšius:

${\displaystyle n!=n(n-1)!\,}$

${\displaystyle \Gamma (n+1)=n\Gamma (n)\,}$

Kartu su ${\displaystyle \Gamma (1)=1}$:

${\displaystyle \Gamma (1)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}dt=\lim _{k\rightarrow \infty }-e^{-t}|_{0}^{k}=-0-(-1)=1}$,

gama funkcija yra taip susijusi su faktorialu:

${\displaystyle \Gamma (n+1)=n\,\Gamma (n)=\cdots =n!\,\Gamma (1)=n!\,}$

Taip pat

${\displaystyle \left({\frac {1}{2}}\right)!={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}}$

ir bet kokį pusinį faktorialą galime užrašyti taip:

${\displaystyle \left(n+{\frac {1}{2}}\right)!={\sqrt {\pi }}\times \prod _{k=0}^{n}{2k+1 \over 2}.}$

Pavyzdžiui,

${\displaystyle 3.5!={\sqrt {\pi }}\cdot {1 \over 2}\cdot {3 \over 2}\cdot {5 \over 2}\cdot {7 \over 2}\approx 11.63.}$

Taikymas

• n – matės hipersferos tūris gali būti apskaičiuotas pasinaudojant gama funkcija:

${\displaystyle V_{n}={\pi ^{n/2}R^{n} \over \Gamma ((n/2)+1)}.}$