Asimptotė

Asimptotė – tiesė vadinama kreivės ${\displaystyle y=f(x)}$ asimptote, jei kreivės taško M atstumas iki tiesės, judant taškui M kuria nors kreivės šaka į begalybę, artėja prie nulio.

1. Jei ${\displaystyle \lim _{x\to a+0(a-0)}f(x)}$ lygi ${\displaystyle +\infty }$ ar ${\displaystyle -\infty }$, tai x=a - vertikalioji asimptotė.
2. Jei ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty (-\infty )}f(x)=A,}$ tai tiesė y=A - horizontalioji asimptotė.
3. Jei ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty (-\infty )}{\frac {f(x)}{x}}=k(\not =0)}$, ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty (-\infty )}[f(x)-kx]=b,}$ tai tiesė y=kx+b - pasviroji asimptotė.

Ne kiekviena kreivė, turinti begalybėn tolstančią šaką, gali turėti asimptotę (pvz., parabolė asimptotės neturi.

Pavyzdžiai

• Rasime kreivės ${\displaystyle y={\frac {x^{2}+1}{x}}}$ asimptotes.

Funkcija ${\displaystyle {\frac {x^{2}+1}{x}}}$ neapibrėžta tik kai x=0, ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {x^{2}+1}{x}}=\infty ,}$ taigi jos grafikas turi vertikaliąją asimptotę x=0. Ieškosime pasvirųjų ir horizontaliųjų asimptočių. Kadangi

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{x}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{2}+1}{x^{2}}}=1(=k\not =0)}$

tai horizontalių asimptočių nėra. Kadangi

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }[f(x)-kx]=\lim _{x\to \infty }\left({\frac {x^{2}+1}{x}}-x\right)=0=b,}$

tai tiesė y=x yra pasviroji asimptotė abiem kreivės šakoms ir kai ${\displaystyle x\rightarrow +\infty ,}$ ir kai ${\displaystyle x\rightarrow -\infty .}$

• Rasime kreivės ${\displaystyle y={\frac {x^{3}}{1-x^{2}}}}$ asimptotes.

Kreivė turi dvi vertikaliasias asimptotes ${\displaystyle x=\pm 1}$, kadangi

${\displaystyle \lim _{x\to \pm 1}{\frac {x^{3}}{1-x^{2}}}=\infty .}$

Kadangi

${\displaystyle \lim _{x\to \pm \infty }{\frac {f(x)}{x}}=\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {x^{3}}{x(1-x^{2})}}=-1(=k),}$

${\displaystyle \lim _{x\to \pm \infty }[f(x)-kx]=\lim _{x\to \pm \infty }\left({\frac {x^{3}}{1-x^{2}}}+x\right)=\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {x}{1-x^{2}}}=0(=b),}$

tai tiesė y=-x yra pasviroji asimptotė.

• Raskime funkcijos ${\displaystyle y={\frac {-x^{2}-3x+2}{x+7}}}$ asimptotes.

Vertikalioji asimptotė - tiesė x=-7, nes ${\displaystyle \lim _{x\to -7\pm 0}y=\pm \infty .}$

Apskaičiuosime koeficientus:

${\displaystyle k=\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {-x^{2}-3x+2}{(x+7)\cdot x}}=\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {x^{2}(-x^{2}/x^{2}-3x/x^{2}+2/x^{2})}{x^{2}(x^{2}/x^{2}+7x/x^{2})}}={\frac {-1-0+0}{1+0}}=-1,}$

${\displaystyle b=\lim _{x\to \pm \infty }\left({\frac {-x^{2}-3x+2}{x+7}}-(-1)\cdot x\right)=\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {4x+2}{x+7}}=\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {x(4x/x+2/x)}{x(x/x+7/x)}}=\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {4+2/x}{1+7/x}}=4.}$ Todėl pasvirosios asimptotės lygtis tokia: ${\displaystyle y=-x+4.}$

• Raskime kreivės ${\displaystyle y={\frac {5x}{x-3}}}$ asimptotes.

Kadangi ${\displaystyle \lim _{x\to 3}{\frac {5x}{x-3}}=\infty ,}$ tai tiesė x=3 yra vertikalioji asimptotė. Kadangi ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {5x}{x-3}}=5,}$ tai tiesė y=5 yra horizontalioji asimptotė. Kadangi ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{x}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {5}{x-3}}=0,}$ tai pasvirųjų asimptočių nėra.

• Rasime kreivės ${\displaystyle y={\frac {x^{2}-6x+3}{x-3}}}$ asimptotes.

Kadangi ${\displaystyle \lim _{x\to 3}{\frac {x^{2}-6x+3}{x-3}}=\infty ,}$ tai x=3 yra vertikalioji asimptotė. Kadangi ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {x^{2}-6x+3}{x-3}}=\infty ,}$ tai horizontaliųjų asimptočių nėra. Raskime pasvirosios asimptotės koeficientus k ir b:

${\displaystyle k=\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{2}-6x+3}{x(x-3)}}=1,}$

${\displaystyle b=\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{2}-6x+3}{x-3}}-x=\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{2}-6x+3-x^{2}+3x}{x-3}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {-3x+3}{x-3}}=-3.}$

Pasviroji asimptotė yra ${\displaystyle y=x-3.}$

• Raskime funkcijos ${\displaystyle y={\frac {2x^{3}}{x^{2}-4}}}$ asimptotes.

Tiesės ${\displaystyle x=\pm 2}$ yra vertikaliosios asimptotės, nes

${\displaystyle \lim _{x\to \pm 2}{\frac {2x^{3}}{x^{2}-4}}=\infty .}$

Kadangi ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {2x^{3}}{x^{2}-4}}=\infty ,}$ tai horizontaliųjų asimptočių nėra. Kadangi

${\displaystyle k=\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {y}{x}}=\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {2x^{2}}{x^{2}-4}}=2,\qquad b=\lim _{x\to \pm \infty }(y-2x)=\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {8x}{x^{2}-4}}=0,}$

tai tiesė ${\displaystyle y=2x}$ yra pasviroji asimptotė.

• Rasime kreivės ${\displaystyle y={\frac {x^{3}}{2(x+1)^{2}}}}$ asimptotes.

Kadangi ${\displaystyle \lim _{x\to -1\pm 0}y=-\infty ,}$ tai tiesė ${\displaystyle x=-1}$ yra vertikalioji asimptotė. Kadangi ${\displaystyle \lim _{x\to \pm \infty }y=\pm \infty ,}$ tai horizontaliųjų asimptočių nėra.

${\displaystyle k=\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {f(x)}{x}}=\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {x^{2}}{2(x+1)^{2}}}={\frac {1}{2}},}$

${\displaystyle b=\lim _{x\to \pm \infty }[f(x)-kx]=\lim _{x\to \pm \infty }\left[{\frac {x^{3}}{2(x+1)^{2}}}-{\frac {1}{2}}x\right]={\frac {1}{2}}\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {x^{3}-x(x^{2}+2x+1)}{(x+1)^{2}}}=}$

${\displaystyle ={\frac {1}{2}}\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {-2x^{2}-x}{(x+1)^{2}}}=-1.}$

Vadinasi, kreivė turi pasvirąją asimptotę ${\displaystyle y={\frac {1}{2}}x-1.}$

• Raskime kreivės ${\displaystyle y={\frac {x^{2}}{\sqrt {x^{2}-1}}}}$ asimptotes.

${\displaystyle \lim _{x\to \pm 1\pm 0}f(x)=\infty ,}$ todėl tiesės ${\displaystyle x=-1}$ ir ${\displaystyle x=1}$ yra vertikaliosios asimptotės. Kadangi

${\displaystyle k=\lim _{x\to +\infty }{\frac {f(x)}{x}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {x}{\sqrt {x^{2}-1}}}=1,}$

${\displaystyle b=\lim _{x\to +\infty }[f(x)-kx]=\lim _{x\to +\infty }\left({\frac {x^{2}}{\sqrt {x^{2}-1}}}-x\right)=\lim _{x\to +\infty }{\frac {x(x-{\sqrt {x^{2}-1}})}{\sqrt {x^{2}-1}}}=}$

${\displaystyle =\lim _{x\to +\infty }{\frac {x(x^{2}-(x^{2}-1))}{{\sqrt {x^{2}-1}}(x+{\sqrt {x^{2}-1}})}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {1}{{\sqrt {x^{2}-1}}(1+{\sqrt {1-1/x^{2}}})}}=0,}$

tai tiesė ${\displaystyle y=x}$ yra pasviroji asimptotė. Be to

${\displaystyle k=\lim _{x\to -\infty }{\frac {f(x)}{x}}=\lim _{x\to -\infty }{\frac {x}{\sqrt {x^{2}-1}}}=-1;}$

${\displaystyle b=\lim _{x\to -\infty }[f(x)-kx]=\lim _{x\to -\infty }\left({\frac {x^{2}}{\sqrt {x^{2}-1}}}-(-1)\cdot x\right)=\lim _{x\to -\infty }{\frac {x(x+{\sqrt {x^{2}-1}})}{\sqrt {x^{2}-1}}}=}$

${\displaystyle =\lim _{x\to -\infty }{\frac {x}{{\sqrt {x^{2}-1}}(x-{\sqrt {x^{2}-1}})}}=\lim _{x\to -\infty }{\frac {-|x|}{{\sqrt {x^{2}-1}}(-|x|-{\sqrt {x^{2}-1}})}}=}$

${\displaystyle =\lim _{x\to -\infty }{\frac {|x|}{{\sqrt {x^{2}-1}}(|x|+{\sqrt {x^{2}-1}})}}=\lim _{x\to -\infty }{\frac {1}{{\sqrt {x^{2}/x^{2}-1/x^{2}}}(|x|+{\sqrt {x^{2}-1}})}}=0,}$ todėl ir tiesė ${\displaystyle y=-x}$ yra pasviroji asimptotė.