Natūralieji skaičiai

Natūralusis skaičius (ankstesnėje literatūroje galima rasti terminą natūrinis skaičius) – aibės dydis. Čia turima omeny netuščią baigtinę aibę, kuri sutinkama natūralioje gamtoje. Natūralieji skaičiai simboliškai žymimi skaitmenimis, pavyzdžiui, romėniškais skaitmenimis (vienas – „I“, penki – „V“) arba arabiškais skaitmenimis (vienas – „1“, penki – „5“).

Nulis galėtų būti priskirtas prie natūraliųjų skaičių, nes jis taip pat tam tikra prasme egzistuoja natūralioje gamtoje. Skaičiaus nulis užuomazgos aptinkamos jau senovės Indijos raštuose. Sanskrito kalba śūnyatā (Šūnjata) reiškia tuštumą, o simbolis pavadinimu śūnya buvo panaudotas žymėti nulį.

Natūraliųjų skaičių visuma, papildyta tuščios aibės dydžiu (nuliu), sudaro natūraliųjų skaičių aibę. Iš tiesų nėra visuotinio sutarimo dėl nulio įtraukimo į natūraliųjų skaičių aibę. Kartais sakoma, kad šią aibę sudaro tik skaičiai {1, 2, 3…}, kartais – kad neneigiami skaičiai {, 1, 2, 3…}. Pirmasis apibrėžimas yra tradicinis, o antrasis atsirado tik XIX a. Lietuvos mokyklose mokoma pirmojo, tradicinio apibrėžimo.

Žymėjimas

Natūraliųjų skaičių aibė matematikoje žymima raide N arba ${\displaystyle \mathbb {N} }$ (Unikodu rodoma kaip ℕ).

Tarp Lietuvos matematikų nėra nesutarimo dėl natūraliųjų skaičių aibės žymėjimo, nes beveik visi naudoja tokį (būtent šis žymėjimas naudojamas ir daugumoje užsienio matematikos knygų, bent jau anglų, rusų ir vokiečių kalbomis):

${\displaystyle \mathbb {N} =\{1,2,\ldots \}}$

Tam, kad būtų išvengta nesusipratimų dėl nulio įtraukimo arba neįtraukimo į aibę, viršuje arba apačioje kartais parašomas indeksas:

${\displaystyle \mathbb {N} ^{0}=\mathbb {N} _{0}=\{0,1,2,\ldots \}}$

${\displaystyle \mathbb {N} ^{*}=\mathbb {N} ^{+}=\mathbb {N} _{1}=\mathbb {N} _{>0}=\{1,2,\ldots \}.}$

Natūraliųjų skaičių aibė yra skaiti . Kitaip tariant, jos yra ℵ₀, begalinis.

Savybės

Aritmetinės savybės

Natūralieji skaičiai turi sudėties ir sandaugos kompozicijas, kurios pagal tam tikras taisykles kiekvienai aibės elementų porai priskiria trečią tos pačios aibės elementą:

• sudėtis: a + b = c,
• sandauga: a · b = c,

kur a, b ir c yra natūralieji skaičiai.

Sudėties (+) ir daugybos (·) veiksmai su natūraliaisiais skaičiais turi kelias aritmetinės savybes:

• Uždarumas: jei a ir b yra natūralieji skaičiai, tai a + b ir a · b taip pat yra natūralieji skaičiai.
• Asociatyvumas: jei a, b ir c yra natūralieji skaičiai, tai a + (b + c) = (a + b) + c ir a · (b · c) = (a · b) · c.
• Komutatyvumas: jei a ir b yra natūralieji skaičiai, tai a + b = b + a ir a · b = b · a.
• egzistavimas: jei a yra natūralusis skaičius, tai a + 0 = a ir a · 1 = a.
• Daugybos skirstymas sudėties atžvilgiu: jei a ir b yra natūralieji skaičiai, tai a · (b + c) = (a · b) + (a · c).

Dalyba be liekanos

Dalyba be liekanos natūraliųjų skaičių aibėje yra galima tik tada, kai egzistuoja toks natūralusis skaičius ${\displaystyle k}$, su kuriuo ${\displaystyle n=k*m}$. Tokiu atveju skaičius ${\displaystyle k}$ yra vadinamas skaičiaus ${\displaystyle n}$ dalikliu, o skaičius ${\displaystyle n}$ - skaičiaus ${\displaystyle k}$ kartotiniu.

Dalyba su liekana

, dar vadinama Euklido dalyba, yra vienas iš natūraliųjų skaičių dalinimo būdų, kuris užtikrina, kad visi operandai yra natūralieji skaičiai.

Bet kuris natūralusis skaičius a gali būti užrašytas kaip mažesnių už jį skaičių sandauga ir sudėtimi:

a=b·q+r, 0≤q<b,

kur visi operandai yra natūralieji skaičiai: b yra daliklis, q yra dalmuo ir r yra liekana. Liekana r visada yra mažesnė už daliklį b.

Toks natūralusis skaičius b, kuriam esant liekana r yra lygi nuliui, yra vadinamas skaičiaus a dalikliu. Pavyzdžiui, skaičiaus 6 dalikliai yra 1, 2, 3 ir 6, nes jiems esant dalmenys atitinkamai yra 6, 3, 2 ir 1, o liekana visais šiais atvejais yra lygi nuliui.

Algebrinės savybės

Natūraliųjų skaičių aibė, pagal algebrinę struktūrą, yra komutatyvus monoidas sudėties ir sandaugos kompozicijų atžvilgiais.

Poaibiai

Lyginiai skaičiai

Lyginiai skaičiai yra tie natūralieji skaičiai, kurie gali būti išreikšti kaip dviejų natūraliųjų skaičių sandauga, kurioje vienas dauginamasis yra skaičius du:

a = 2 · b, kur a yra lyginis skaičius, b yra natūralusis skaičius.

Nelyginiai skaičiai

Nelyginiai skaičiai yra tie natūralieji skaičiai, kurie negali būti išreikšti kaip dviejų natūraliųjų skaičių sandauga, kurioje vienas dauginamasis yra skaičius du.

Sudėtiniai skaičiai

Sudėtiniai skaičiai yra tie natūralieji skaičiai, kurie gali būti išreikšti kaip natūraliųjų skaičių sandauga, kurioje visi dauginamieji yra mažesni už tą skaičių:

a = b · c · …, kur a yra sudėtinis skaičius, b ir c yra natūralieji skaičiai, visi mažesni už a.

Pirminiai skaičiai

Pirminiai skaičiai yra tie natūralieji skaičiai, kurie negali būti išreikšti kaip natūraliųjų skaičių sandauga, kurioje visi dauginamieji yra mažesni už tą skaičių. Pirminiai skaičiai gali būti išreikšti tik viena sandauga:

a = 1 · a, kur a yra pirminis skaičius.

Tobulieji skaičiai

Tobulieji skaičiai yra tie natūralieji skaičiai, kurių daliklių (neįskaitant pačio skaičiaus) suma yra lygi tam skaičiui. Pavyzdžiui, skaičiaus 6 dalikliai, mažesni už patį skaičių, yra 1,2 ir 3, o šių daliklių suma yra lygi 6.

Sekos

Fibonačio skaičių seka

Fibonačio skaičiai yra natūraliųjų skaičių seka, kurioje kiekvienas sekos narys F_n+1 yra dviejų prieš jį einančių narių suma: F_n+1 = F_n + F_n-1. Du pirmieji sekos nariai yra F₀ = 0 ir F₁ = 1, taigi seka yra (0,1,1,2,3,5,8,…)

Pirminių skaičių seka

Pirminiai skaičiai, surikiuoti pagal dydį, sudaro pirminių skaičių seką (2,3,5,7,11,13,17,…).

Taip pat skaitykite

• Pirminis skaičius
• Sudėtinis skaičius
• Sveikasis skaičius
• Racionalusis skaičius
• Realusis skaičius

Šaltiniai

1. Plofker, Kim (2009). Mathematics in India. Princeton University Press. ISBN 9780691120676.
2. angl. Let P be a set of natural numbers; whenever convenient, it may be assumed that 0 in P. Weisstein, Eric W. „Natural Number“. mathworld.wolfram.com (anglų). Nuoroda tikrinta 2021-02-13.
3. Weisstein, Eric W. „N“. mathworld.wolfram.com (anglų). Nuoroda tikrinta 2021-02-13.
4. Weisstein, Eric W. „Cardinal Number“. mathworld.wolfram.com (anglų). Nuoroda tikrinta 2021-02-13.
5. „Kompozicija“. Terminai.lt - tarptautinių žodžių žodynas. Nuoroda tikrinta 2020 m. gruodžio 20 d..
6. Autorių kolektyvas. Matematika. Vadovėlis XI klasei ir gimnazijų III klasei I dalis. – Kaunas: Šviesa, 2004. – 67 p. ISBN 5-430-034739-7
7. Wilkins, David R. (2014). „Course MA2C03, Michaelmas Term 2014, Section 2: Abstract Algebra“ (PDF). Trinity College Dublin. Nuoroda tikrinta 2021 m. kovo 1 d..

Vikiknygos

Puslapis Vikiknygose –

Natūralusis skaičius