Azərbaycan  AzərbaycanDeutschland  DeutschlandLietuva  LietuvaMalta  Maltaශ්‍රී ලංකාව  ශ්‍රී ලංකාවTürkmenistan  TürkmenistanTürkiyə  TürkiyəУкраина  Украина
Pagalba
www.datawiki.lt-lt.nina.az
  • Pradžia

Geometrijoje įbrėžtinis kampas kampas apskritimo viduje kurio viršūnė yra apskritimo taškas o kraštinės kerta apskritimą

Įbrėžtinis kampas

  • Pagrindinis puslapis
  • Įbrėžtinis kampas
Įbrėžtinis kampas
www.datawiki.lt-lt.nina.azhttps://www.datawiki.lt-lt.nina.az

Geometrijoje įbrėžtinis kampas – kampas apskritimo viduje, kurio viršūnė yra apskritimo taškas, o kraštinės kerta apskritimą.

Lygiai taip pat įbrėžtinį kampą apibrėžia dvi apskritimo stygos, turinčios vieną bendrą tašką.

Kiekvienas įbrėžtinis kampas, kuris remiasi į apskritimo lanką, iki 180° papildo kitą įbrėžtinį kampą, kuris remiasi į likusį apskritimo lanką.

Įbrėžtinio kampo teorema susieja įbrėžtinio kampo dydį su centriniu kampu, jungiančiu tą patį lanką.

Įbrėžtinio kampo teorema yra 20 teiginys Euklido Pradmenų 3 tome.

Įbrėžtinio kampo teorema

Teiginys

Įbrėžtinio kampo teorema teigia, kad į apskritimą įbrėžtas kampas θ lygus pusei centrinio kampo 2θ, besiremiančio į tą patį lanką. Todėl kampas nesikeičia, kai jo viršūnė perkeliama į skirtingas apskritimo vietas.

Įrodymas

1. Įbrėžtiniai kampai, kai viena iš stygų yra skersmuo

Tegul O yra apskritimo centras, kaip parodyta diagramoje dešinėje. Pasirinkite du apskritimo taškus ir pavadinkite juos V ir A. Nubrėžkite tiesę VO ir pratęskite ją taip, kad ji kirstų apskritimą taške B, kuris būtų vienoje tiesėje su V. Nubrėžkite kampą, kurio viršūnė yra taškas V, o kraštinės eina per taškus A ir B.

Nubrėžkite liniją OA. Kampas BOA yra centrinis kampas, žymime θ. Tiesės OV ir OA yra apskritimo spinduliai, todėl jų ilgis yra vienodas. Vadinasi trikampis VOA yra lygiašonis, todėl kampas BVA (įbrėžtinis kampas) ir kampas VAO yra lygūs. Kiekvienas iš jų žymimas kaip ψ.

Kampai BOA ir AOV sudaro 180°, nes linija VB, einanti per O, yra tiesė. Todėl kampas AOV yra 180° − θ .

Yra žinoma, kad trys trikampio kampai sudaro 180°, tada trys trikampio VOA kampai yra:

180° − θ
ψ
ψ.

Iš to seka

2ψ+180∘−θ=180∘.{\displaystyle 2\psi +180^{\circ }-\theta =180^{\circ }.}

Atimame iš abiejų pusių

(180∘−θ){\displaystyle (180^{\circ }-\theta )}

gauname

2ψ=θ,{\displaystyle 2\psi =\theta ,}

kur θ yra centrinis kampas, o ψ yra įbrėžtinis kampas.

2. Įbrėžtiniai kampai su apskritimo centru jų viduje

Duotas apskritimas, kurio centras yra taške O, pasirinkite tris apskritimo taškus V, C ir D. Nubrėžkite linijas VC ir VD: kampas DVC yra įbrėžtinis kampas. Dabar nubrėžkite tiesę VO ir pratęskite ją už taško O taip, kad ji kirstų apskritimą taške E. Kampas DVC suformuoja apskritimo lanką DC.

Tarkime, kad šis lankas apima tašką E. Taškas E yra vienoje tiesėje su tašku V. Kampai DVE ir EVC taip pat yra įbrėžtiniai kampai, kadangi abu šie kampai turi vieną kraštinę, kuri eina per apskritimo centrą, todėl jiems galima pritaikyti teoremą iš aukščiau pateikto 1-ojo atvejo.

Todėl,

∠DVC=∠DVE+∠EVC.{\displaystyle \angle DVC=\angle DVE+\angle EVC.}

tada žymime

ψ0=∠DVC,{\displaystyle \psi _{0}=\angle DVC,}
ψ1=∠DVE,{\displaystyle \psi _{1}=\angle DVE,}
ψ2=∠EVC,{\displaystyle \psi _{2}=\angle EVC,}

taip kad

ψ0=ψ1+ψ2.(1){\displaystyle \psi _{0}=\psi _{1}+\psi _{2}.\qquad \qquad (1)}

Nubrėžkite linijas OC ir OD. Kampas DOC yra centrinis kampas, kaip ir kampai DOE ir EOC, ir

∠DOC=∠DOE+∠EOC.{\displaystyle \angle DOC=\angle DOE+\angle EOC.}

Žymime

θ0=∠DOC,{\displaystyle \theta _{0}=\angle DOC,}
θ1=∠DOE,{\displaystyle \theta _{1}=\angle DOE,}
θ2=∠EOC,{\displaystyle \theta _{2}=\angle EOC,}

taip kad

θ0=θ1+θ2.(2){\displaystyle \theta _{0}=\theta _{1}+\theta _{2}.\qquad \qquad (2)}

Iš 1-ojo atvejo žinome, kad θ1=2ψ1{\displaystyle \theta _{1}=2\psi _{1}} ir θ2=2ψ2{\displaystyle \theta _{2}=2\psi _{2}} . Sujungus šiuos rezultatus su (2) lygtimi, gauname

θ0=2ψ1+2ψ2=2(ψ1+ψ2){\displaystyle \theta _{0}=2\psi _{1}+2\psi _{2}=2(\psi _{1}+\psi _{2})}

todėl pagal (1) lygtį

θ0=2ψ0.{\displaystyle \theta _{0}=2\psi _{0}.}

3. Įbrėžtiniai kampai su apskritimo centru jų išorėje

Ankstesnis atvejis gali būti išplėstas, kad apimtų atvejį, kai įbrėžtinis kampo dydis yra skirtumas tarp dviejų įbrėžtinių kampų, kaip aptarta 1-ojoje šio įrodymo dalyje.

Duotas apskritimas, kurio centras yra taške O, pasirinkite tris apskritimo taškus V, C ir D. Nubrėžkite linijas VC ir VD: kampas DVC yra įbrėžtinis kampas. Dabar nubrėžkite tiesę VO ir pratęskite ją už taško O taip, kad ji kirstų apskritimą taške E. Kampas DVC suformuoja apskritimo lanką DC.

Tarkime, kad šis lankas neapima taško E. Taškas E yra vienoje tiesėje su V. Kampai EVD ir EVC taip pat yra įbrėžtiniai kampai, kadangi abu šie kampai turi vieną kraštinę, kuri eina per apskritimo centrą, jiems galima pritaikyti teoremą iš aukščiau pateikto 1-ojo atvejo.

Todėl,

∠DVC=∠EVC−∠EVD{\displaystyle \angle DVC=\angle EVC-\angle EVD}.

tada žymime

ψ0=∠DVC,{\displaystyle \psi _{0}=\angle DVC,}
ψ1=∠EVD,{\displaystyle \psi _{1}=\angle EVD,}
ψ2=∠EVC,{\displaystyle \psi _{2}=\angle EVC,}

taip kad

ψ0=ψ2−ψ1.(3){\displaystyle \psi _{0}=\psi _{2}-\psi _{1}.\qquad \qquad (3)}

Nubrėžkite linijas OC ir OD. Kampas DOC yra centrinis kampas, kaip ir kampai EOD ir EOC, ir

∠DOC=∠EOC−∠EOD.{\displaystyle \angle DOC=\angle EOC-\angle EOD.}

Žymime

θ0=∠DOC,{\displaystyle \theta _{0}=\angle DOC,}
θ1=∠EOD,{\displaystyle \theta _{1}=\angle EOD,}
θ2=∠EOC,{\displaystyle \theta _{2}=\angle EOC,}

taip kad

θ0=θ2−θ1.(4){\displaystyle \theta _{0}=\theta _{2}-\theta _{1}.\qquad \qquad (4)}

Iš 1-ojo atvejo žinome θ1=2ψ1{\displaystyle \theta _{1}=2\psi _{1}} ir tai θ2=2ψ2{\displaystyle \theta _{2}=2\psi _{2}} . Sujungus šiuos rezultatus su (4) lygtimi, gauname

θ0=2ψ2−2ψ1{\displaystyle \theta _{0}=2\psi _{2}-2\psi _{1}}

todėl pagal (3) lygtį,

θ0=2ψ0.{\displaystyle \theta _{0}=2\psi _{0}.}

Išvada

Pagal panašų teiginį kampas tarp stygos ir liestinės viename iš jos susikirtimo taškų yra lygus pusei centrinio kampo, kurį sudaro styga.

Taikymas

Įbrėžtinio kampo teorema naudojama daugelyje elementariosios Euklidinės plokštumos geometrijos įrodymų. Atskiras teoremos atvejis yra Talio teorema, kuri teigia, kad kampas, kurį sudaro skersmuo, visada yra 90°, t. y. statusis. Dėl šios teoremos priešingų ciklinių keturkampių kampų suma yra 180°, ir atvirkščiai, bet kuris keturkampis, kuriam tai galioja, gali būti įbrėžtas į apskritimą.

Įbrėžtinių kampų teoremos elipsėms, hiperbolėms ir parabolėms

Įbrėžtinių kampų teoremos taip pat egzistuoja elipsėms, hiperbolėms ir parabolėms. Esminiai skirtumai yra kampo išmatavimai. (Kampu yra laikoma susikertančių linijų pora.)

  • Elipsė
  • Hiperbolė
  • Parabolė

Taip pat skaitykite

  • Centrinis kampas

Šaltiniai

  1. Hoffmann, Manfred (2007). Didysis matematikos žinynas formulės, taisyklės, teoremos, uždaviniai ir jų sprendimai. Kaunas. p. 217. ISBN 5-430-04814-3. OCLC 1185091387.{{cite book}}: CS1 priežiūra: location missing publisher (link)

Literatūra

  • Ogilvy, C. S. (1990). Excursions in Geometry. Dover. pp. 17–23. ISBN 0-486-26530-7.
  • Gellert W, Küstner H, Hellwich M, Kästner H (1977). The VNR Concise Encyclopedia of Mathematics. New York: Van Nostrand Reinhold. pp. 172. ISBN 0-442-22646-2.
  • Moise, Edwin E. (1974). Elementary Geometry from an Advanced Standpoint (2nd leid.). Reading: Addison-Wesley. pp. 192–197. ISBN 0-201-04793-4.

Nuorodos

  • Eric W. Weisstein, Inscribed Angle, MathWorld. (angl.)
  • Relationship Between Central Angle and Inscribed Angle (angl.)
  • Munching on Inscribed Angles (angl.)
  • Arc Central Angle (angl.)
  • Arc Peripheral (inscribed) Angle (angl.)
  • Arc Central Angle Theorem (angl.)
  • At bookofproofs.github.io Archyvuota kopija 2023-02-01 iš Wayback Machine projekto. (angl.)

Autorius: www.NiNa.Az

Išleidimo data: 17 Lie, 2025 / 10:22

vikipedija, wiki, lietuvos, knyga, knygos, biblioteka, straipsnis, skaityti, atsisiųsti, nemokamai atsisiųsti, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, pictu, mobilusis, porn, telefonas, android, iOS, apple, mobile telefl, samsung, iPhone, xiomi, xiaomi, redmi, pornografija, honor, oppo, Nokia, Sonya, mi, pc, web, kompiuteris, Informacija apie Įbrėžtinis kampas, Kas yra Įbrėžtinis kampas? Ką reiškia Įbrėžtinis kampas?

Geometrijoje įbreztinis kampas kampas apskritimo viduje kurio virsune yra apskritimo taskas o krastines kerta apskritima Įbreztinis kampas 8 yra lygus pusei centrinio kampo 28 besiremiancio į ta patį apskritimo lanka 28 Kampas 8 nesikeicia kai jo virsune juda aplink apskritima Lygiai taip pat įbreztinį kampa apibrezia dvi apskritimo stygos turincios viena bendra taska Kiekvienas įbreztinis kampas kuris remiasi į apskritimo lanka iki 180 papildo kita įbreztinį kampa kuris remiasi į likusį apskritimo lanka Įbreztinio kampo teorema susieja įbreztinio kampo dydį su centriniu kampu jungianciu ta patį lanka Įbreztinio kampo teorema yra 20 teiginys Euklido Pradmenu 3 tome Įbreztinio kampo teoremaTeiginys Fiksuotu tasku A ir B atveju tasku M aibe plokstumoje kuriai lygus kampas AMB a yra apskritimo lankas Matas AOB kur O yra apskritimo centras yra 2 a Įbreztinio kampo teorema teigia kad į apskritima įbreztas kampas 8 lygus pusei centrinio kampo 28 besiremiancio į ta patį lanka Todel kampas nesikeicia kai jo virsune perkeliama į skirtingas apskritimo vietas Įrodymas 1 Įbreztiniai kampai kai viena is stygu yra skersmuo Pirmasis atvejis Tegul O yra apskritimo centras kaip parodyta diagramoje desineje Pasirinkite du apskritimo taskus ir pavadinkite juos V ir A Nubrezkite tiese VO ir prateskite ja taip kad ji kirstu apskritima taske B kuris butu vienoje tieseje su V Nubrezkite kampa kurio virsune yra taskas V o krastines eina per taskus A ir B Nubrezkite linija OA Kampas BOA yra centrinis kampas zymime 8 Tieses OV ir OA yra apskritimo spinduliai todel ju ilgis yra vienodas Vadinasi trikampis VOA yra lygiasonis todel kampas BVA įbreztinis kampas ir kampas VAO yra lygus Kiekvienas is ju zymimas kaip ps Kampai BOA ir AOV sudaro 180 nes linija VB einanti per O yra tiese Todel kampas AOV yra 180 8 Yra zinoma kad trys trikampio kampai sudaro 180 tada trys trikampio VOA kampai yra 180 8 ps ps Is to seka 2ps 180 8 180 displaystyle 2 psi 180 circ theta 180 circ Atimame is abieju pusiu 180 8 displaystyle 180 circ theta gauname 2ps 8 displaystyle 2 psi theta kur 8 yra centrinis kampas o ps yra įbreztinis kampas 2 Įbreztiniai kampai su apskritimo centru ju viduje Antrasis atvejis Duotas apskritimas kurio centras yra taske O pasirinkite tris apskritimo taskus V C ir D Nubrezkite linijas VC ir VD kampas DVC yra įbreztinis kampas Dabar nubrezkite tiese VO ir prateskite ja uz tasko O taip kad ji kirstu apskritima taske E Kampas DVC suformuoja apskritimo lanka DC Tarkime kad sis lankas apima taska E Taskas E yra vienoje tieseje su tasku V Kampai DVE ir EVC taip pat yra įbreztiniai kampai kadangi abu sie kampai turi viena krastine kuri eina per apskritimo centra todel jiems galima pritaikyti teorema is auksciau pateikto 1 ojo atvejo Todel DVC DVE EVC displaystyle angle DVC angle DVE angle EVC tada zymime ps0 DVC displaystyle psi 0 angle DVC ps1 DVE displaystyle psi 1 angle DVE ps2 EVC displaystyle psi 2 angle EVC taip kad ps0 ps1 ps2 1 displaystyle psi 0 psi 1 psi 2 qquad qquad 1 Nubrezkite linijas OC ir OD Kampas DOC yra centrinis kampas kaip ir kampai DOE ir EOC ir DOC DOE EOC displaystyle angle DOC angle DOE angle EOC Zymime 80 DOC displaystyle theta 0 angle DOC 81 DOE displaystyle theta 1 angle DOE 82 EOC displaystyle theta 2 angle EOC taip kad 80 81 82 2 displaystyle theta 0 theta 1 theta 2 qquad qquad 2 Is 1 ojo atvejo zinome kad 81 2ps1 displaystyle theta 1 2 psi 1 ir 82 2ps2 displaystyle theta 2 2 psi 2 Sujungus siuos rezultatus su 2 lygtimi gauname 80 2ps1 2ps2 2 ps1 ps2 displaystyle theta 0 2 psi 1 2 psi 2 2 psi 1 psi 2 todel pagal 1 lygtį 80 2ps0 displaystyle theta 0 2 psi 0 3 Įbreztiniai kampai su apskritimo centru ju isoreje Treciasis atvejis Ankstesnis atvejis gali buti isplestas kad apimtu atvejį kai įbreztinis kampo dydis yra skirtumas tarp dvieju įbreztiniu kampu kaip aptarta 1 ojoje sio įrodymo dalyje Duotas apskritimas kurio centras yra taske O pasirinkite tris apskritimo taskus V C ir D Nubrezkite linijas VC ir VD kampas DVC yra įbreztinis kampas Dabar nubrezkite tiese VO ir prateskite ja uz tasko O taip kad ji kirstu apskritima taske E Kampas DVC suformuoja apskritimo lanka DC Tarkime kad sis lankas neapima tasko E Taskas E yra vienoje tieseje su V Kampai EVD ir EVC taip pat yra įbreztiniai kampai kadangi abu sie kampai turi viena krastine kuri eina per apskritimo centra jiems galima pritaikyti teorema is auksciau pateikto 1 ojo atvejo Todel DVC EVC EVD displaystyle angle DVC angle EVC angle EVD tada zymime ps0 DVC displaystyle psi 0 angle DVC ps1 EVD displaystyle psi 1 angle EVD ps2 EVC displaystyle psi 2 angle EVC taip kad ps0 ps2 ps1 3 displaystyle psi 0 psi 2 psi 1 qquad qquad 3 Nubrezkite linijas OC ir OD Kampas DOC yra centrinis kampas kaip ir kampai EOD ir EOC ir DOC EOC EOD displaystyle angle DOC angle EOC angle EOD Zymime 80 DOC displaystyle theta 0 angle DOC 81 EOD displaystyle theta 1 angle EOD 82 EOC displaystyle theta 2 angle EOC taip kad 80 82 81 4 displaystyle theta 0 theta 2 theta 1 qquad qquad 4 Is 1 ojo atvejo zinome 81 2ps1 displaystyle theta 1 2 psi 1 ir tai 82 2ps2 displaystyle theta 2 2 psi 2 Sujungus siuos rezultatus su 4 lygtimi gauname 80 2ps2 2ps1 displaystyle theta 0 2 psi 2 2 psi 1 todel pagal 3 lygtį 80 2ps0 displaystyle theta 0 2 psi 0 Įbreztinio kampo teoremos įrodymo animacija Didysis trikampis įbreztas į apskritima yra padalintas į tris mazesnius trikampius kurie visi yra lygiasoniai nes ju dvi krastines yra apskritimo spinduliai Kiekvieno lygiasonio trikampio kampai prie pagrindo yra lygus ir yra puse 180 atemus virsunes kampa apskritimo centre Sudejus siuos lygiasonius pagrindo kampus gaunama įbreztinio kampo teorema kur ps displaystyle psi yra puse centrinio kampo 8 displaystyle theta Isvada Pagal panasu teiginį kampas tarp stygos ir liestines viename is jos susikirtimo tasku yra lygus pusei centrinio kampo kurį sudaro styga TaikymasĮbreztinio kampo teorema naudojama daugelyje elementariosios Euklidines plokstumos geometrijos įrodymu Atskiras teoremos atvejis yra Talio teorema kuri teigia kad kampas kurį sudaro skersmuo visada yra 90 t y statusis Del sios teoremos priesingu cikliniu keturkampiu kampu suma yra 180 ir atvirksciai bet kuris keturkampis kuriam tai galioja gali buti įbreztas į apskritima Įbreztiniu kampu teoremos elipsems hiperbolems ir parabolemsĮbreztiniu kampu teoremos taip pat egzistuoja elipsems hiperbolems ir parabolems Esminiai skirtumai yra kampo ismatavimai Kampu yra laikoma susikertanciu liniju pora Elipse Hiperbole ParaboleTaip pat skaitykiteCentrinis kampasSaltiniaiHoffmann Manfred 2007 Didysis matematikos zinynas formules taisykles teoremos uzdaviniai ir ju sprendimai Kaunas p 217 ISBN 5 430 04814 3 OCLC 1185091387 a href wiki C5 A0ablonas Cite book title Sablonas Cite book cite book a CS1 prieziura location missing publisher link LiteraturaOgilvy C S 1990 Excursions in Geometry Dover pp 17 23 ISBN 0 486 26530 7 Gellert W Kustner H Hellwich M Kastner H 1977 The VNR Concise Encyclopedia of Mathematics New York Van Nostrand Reinhold pp 172 ISBN 0 442 22646 2 Moise Edwin E 1974 Elementary Geometry from an Advanced Standpoint 2nd leid Reading Addison Wesley pp 192 197 ISBN 0 201 04793 4 NuorodosEric W Weisstein Inscribed Angle MathWorld angl Relationship Between Central Angle and Inscribed Angle angl Munching on Inscribed Angles angl Arc Central Angle angl Arc Peripheral inscribed Angle angl Arc Central Angle Theorem angl At bookofproofs github io Archyvuota kopija 2023 02 01 is Wayback Machine projekto angl

Naujausi straipsniai
  • Liepa 19, 2025

    Klaipėdos Tauralaukio progimnazija

  • Liepa 19, 2025

    Klaipėdos traukinių stotis

  • Liepa 19, 2025

    Klaipėdos 8-oji vidurinė mokykla

  • Liepa 19, 2025

    Klaipėdos žiemos uostas

  • Liepa 19, 2025

    Klaipėdos Šv. Kazimiero bažnyčia

www.NiNa.Az - Studija

    Susisiekite
    Kalbos
    Susisiekite su mumis
    DMCA Sitemap
    © 2019 nina.az - Visos teisės saugomos.
    Autorių teisės: Dadash Mammadov
    Nemokama svetainė, kurioje galima dalytis duomenimis ir failais iš viso pasaulio.
    Viršuje