Transcendentinis skaičius

Transcendentinis skaičius – realusis arba kompleksinis skaičius, kuris nėra algebrinis skaičius, t. y. negali būti polinomo lygties su racionaliais arba sveikaisiais koeficientais sprendinys:

${\displaystyle a_{n}x^{n}+\dots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0}$,

kur ${\displaystyle n}$ yra natūralusis skaičius ir koeficientai ${\displaystyle a_{i}}$ yra nelygūs nuliui racionalieji skaičiai.

Transcendentinis skaičius negali būti atvaizduotas arba kompleksinėje plokštumoje naudojant skriestuvą. Žinomiausi transcendentiniai skaičiai yra skaičius π ir skačius e. Yra labai sunku įrodyti, jog tam tikras skaičius yra transcendentinis.

Tačiau transcendentiniai skaičiai nėra reti, beveik visi realieji ir kompleksiniai skaičiai yra transcendentiniai, nes algebrinius skaičius galima suskaičiuoti, o transcendentinių skaičių yra nesuskaičiuojama begalybė.

Visi transcendentiniai skaičiai yra iracionalieji, bet ne visi iracionalieji skaičiai yra transcendentiniai. Pavyzdžiui, kvadratinė šaknis iš 2 ${\displaystyle ({\sqrt {2}})}$ – iracionalusis skaičius, bet būdamas lygties ${\displaystyle x^{2}-2=0}$ sprendiniu, jis nėra transcendentinis.

Pavyzdžiai

• π
• e
• ${\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}$
• ${\displaystyle \sin 1}$
• ${\displaystyle \ln a}$, jei ${\displaystyle a}$ yra racionalusis, teigiamas ir vienetui nelygus skaičius.

Istorija

Pirmasis žodį transcendentinis apibūdinti skaičiams panaudojo Gotfrydas Leibnicas, o savo 1682 m. veikale įrodė, kad funkcija ${\displaystyle \sin x}$ nėra algebrinė argumentui ${\displaystyle x}$.

Šaltiniai

1. „The 15 Most Famous Transcendental Numbers - Cliff Pickover“. sprott.physics.wisc.edu. Nuoroda tikrinta 2020-01-23.
2. Shidlovskii, Andrei B. (June 2011). Transcendental numbers. Walter de Gruyter. p. 1. ISBN 9783110889055.
3. Leibniz, Gerhardt & Pertz 1858, pp. 97–98.
4. Bourbaki 1994, p. 74.

Literatūra

• Leibniz, Gottfried Wilhelm; Gerhardt, Karl Immanuel; Pertz, Georg Heinrich (1858). Leibnizens mathematische Schriften. 5. A. Asher & Co. pp. 97–98.
• Bourbaki, Nicolas (1994). Elements of the History of Mathematics. Springer. ISBN 9783540647676.