Iš pirmykštės funkcijos apibrėžimo aišku, kad, jei funkcija bent turi vieną pirmykštę, tai jų yra be galo daug, o jos skiriasi tik konstanta. Visų funkcijos pirmykščių funkcijų aibė { F ( x ) + C | C ∈ ( − ∞ , + ∞ ) } {\displaystyle \lbrace F(x)+C\;|\;C\in (-\infty ,+\infty )\rbrace } neapibrėžtiniu integralu ir žymima:
∫ f ( x ) d x = F ( x ) + C . {\displaystyle \int f(x){\mathsf {d}}x=F(x)+C.} Čia:
x {\displaystyle x} f ( x ) {\displaystyle f(x)} funkcija ;d x {\displaystyle dx} diferencialas ;f ( x ) d x {\displaystyle f(x)dx} F ( x ) {\displaystyle F(x)} f ( x ) {\displaystyle f(x)} pirmykščių funkcijų ;C {\displaystyle C} konstanta .Matyti, kad integravimas yra uždavinys, atvirkščias diferenciavimui : integralas naikina diferencialą ir atvirkščiai.
Istorija Neapibrėžtinį integralą 1694 m. apibrėžė G. V. Leibnicas pirmą kartą panaudojęs laisvąją konstantą C.
Iš neapibrėžtinio integralo apibrėžimo išplaukiančios savybės:
( ∫ f ( x ) d x ) ′ = f ( x ) ; {\displaystyle \left(\int f(x){\mathsf {d}}x\right)'=f(x);} d ∫ f ( x ) d x = f ( x ) d x ; {\displaystyle {\mathsf {d}}\int f(x){\mathsf {d}}x=f(x){\mathsf {d}}x;} ∫ d F ( x ) = F ( x ) + C ; {\displaystyle \int {\mathsf {d}}F(x)=F(x)+C;} ∫ ( f ( x ) + g ( x ) ) d x = ∫ f ( x ) d x + ∫ g ( x ) d x . {\displaystyle \int (f(x)+g(x)){\mathsf {d}}x=\int f(x){\mathsf {d}}x+\int g(x){\mathsf {d}}x.}
∫ 0 ⋅ d x = C {\displaystyle \int 0\cdot dx=C} ∫ 1 ⋅ d x = x + C {\displaystyle \int 1\cdot dx=x+C} ∫ x m d x = x m + 1 m + 1 + C {\displaystyle \int x^{m}\;dx={\frac {x^{m+1}}{m+1}}+C} ∫ 1 x d x = ln | x | + C {\displaystyle \int {\frac {1}{x}}\;dx=\ln |x|+C} ∫ a x d x = a x ln a + C {\displaystyle \int a^{x}\;dx={\frac {a^{x}}{\ln a}}+C} ∫ e x d x = e x + C {\displaystyle \int e^{x}\;dx=e^{x}+C} ∫ sin x d x = − cos x + C {\displaystyle \int \sin x\;dx=-\cos x+C} ∫ cos x d x = sin x + C {\displaystyle \int \cos x\;dx=\sin x+C} ∫ d x 1 − x 2 = arcsin x + C = − arccos x + C {\displaystyle \int {\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}=\arcsin x+C=-\arccos x+C} ∫ d x 1 − x 2 = 1 2 ln | 1 + x 1 − x | + C {\displaystyle \int {\frac {dx}{1-x^{2}}}={\frac {1}{2}}\ln |{\frac {1+x}{1-x}}|+C}
∫ 2 x d x = 2 ∫ x d x = 2 x 1 + 1 1 + 1 + C = x 2 + C {\displaystyle \int 2x\;{\mathsf {d}}x=2\int x\;{\mathsf {d}}x=2{\frac {x^{1+1}}{1+1}}+C=x^{2}+C} ( x 2 + C ) ′ = 2 x + 0 = 2 x {\displaystyle \left(x^{2}+C\right)'=2x+0=2x}
Sudėtingesni pavyzdžiai (be įrodymų):
∫ d x x 2 − 9 = 1 6 ln x − 3 x + 3 + C . {\displaystyle \int {\frac {{\mathsf {d}}x}{x^{2}-9}}={\frac {1}{6}}\ln {\frac {x-3}{x+3}}+C.}
∫ cos x d x 2 + cos 2 x = ∫ cos x d x 2 + 1 − 2 sin 2 x = 1 2 ∫ d ( 2 sin x ) 3 − 2 sin 2 x = 1 2 arcsin 2 sin x 3 + C . {\displaystyle \int {\frac {\cos x\;{\mathsf {d}}x}{\sqrt {2+\cos 2x}}}=\int {\cos x\;dx \over {\sqrt {2+1-2\sin ^{2}x}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\int {d({\sqrt {2}}\sin x) \over {\sqrt {3-2\sin ^{2}x}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\arcsin {\frac {{\sqrt {2}}\sin x}{\sqrt {3}}}+C.} ∫ d x ( 9 − x 2 ) 3 = x 9 9 − x 2 + C . {\displaystyle \int {\frac {{\mathsf {d}}x}{\sqrt {{\left(9-x^{2}\right)}^{3}}}}={\frac {x}{9{\sqrt {9-x^{2}}}}}+C.}
Taip pat skaitykite vikipedija, wiki, enciklopedija, knyga, biblioteka, straipsnis, skaityti, nemokamas atsisiuntimas, informacija apie Neapibrėžtinis integralas, Kas yra Neapibrėžtinis integralas? Ką reiškia Neapibrėžtinis integralas?