Metrinė erdvė

Metrinė erdvė matematikoje – aibė, kurioje apibrėžta atstumo tarp aibės elementų sąvoka (ji (atstumo sąvoka) kartais vadinama tiesiog metrika). Trimatė Euklidinė erdvė yra mums suprantamiausias metrinės erdvės pavyzdys. Euklidinė metrika tai yra atstumas tarp dviejų erdvės taškų (tiesės atkarpos, jungiančios du taškus, ilgis). Erdvės geometrija priklauso nuo pasirinkto metrikos apibrėžimo. Tokiu būdu mes galime sukonstruoti įdomias neeuklidines geometrijas, kokios yra naudojamos, pavyzdžiui, bendrojoje reliatyvumo teorijoje.

Metrinė erdvė leidžia įvesti tokias topologines sąvokas, kaip ir aibės, kurios leidžia sukonstruoti dar abstraktesnes topologines erdves.

Istorija

Metrinės erdvės struktūros sąvoką 1906 m. pirmą kartą apibrėžė nagrinėdamas aibes, kurių elementai yra funkcijos.

Apibrėžimas

Metrinė erdvė tai yra junginys (M,d), kur M yra aibė, o d yra M metrika, t. y. funkcija

${\displaystyle d:M\times M\rightarrow \mathbb {R} }$

tokia, kad

1. d(x, y) ≥ 0     (Neneigiamumas)
2. d(x, y) = 0   tik jei   x = y     (tapatumas)
3. d(x, y) = d(y, x)     (Simetrija)
4. d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)     (Trikampio nelygybė).

Funkcija d dar kartais vadinama atstumo funkcija arba tiesiog atstumu. Kai iš konteksto yra aišku, kokia metrika yra naudojama, d dažniausiai praleidžiamas ir metrinė erdvė žymima tiesiog M. Atsisakant vieno arba kelių metrinės erdvės apibrėžimo punktų galima gauti kitokias erdves.

Pirmasis apibrėžimas iš tiesų išplaukia iš likusių trijų:

2d(x, y) = d(x, y) + d(y, x) ≥ d(x,x) = 0.

Tačiau dauguma vadovėlių pateikia jį kaip metrinės erdvės apibrėžimo dalį. Dar kiti apibrėžimai reikalauja, kad aibė M nebūtų tuščia.

Metrinės erdvės kaip topologinės erdvės

Aplink kiekvieną metrinės erdvės M tašką x apibrėžiame r (>0) spindulio atvirą rutulį (aplinką) B (t. y. rutulio paviršius nepriklauso aibei), kuris yra M poaibis:

B(x; r) = {y iš M : d(x,y) < r}.

Visuma šių rutulių ir yra vadinama M topologija, o pati erdvė yra .

Aprėžtumas ir kompaktiškumas

Metrinė erdvė M vadinama aprėžta jei egzistuoja toks skaičius r, kuomet d(x,y) ≤ r visiems x ir y iš M. Mažiausia galima iš visų r verčių yra vadinama M skersmeniu. Jei aprėžtumas priklauso nuo metrikos, tai kompaktiškumas - nuo topologijos. Aibė K vadinama kompaktiška aibe arba kompaktu, jei kiekvienas jos atvirasis denginys turi baigtinį podangį. Kiekvienas kompaktas K - uždara ir aprėžta aibė.

Reikia pastebėti, kad visos baigtinės aibės yra aprėžtos, tačiau ne visos aprėžtos aibės yra baigtinės (pavyzdžiui, rutulio paviršius - aprėžta, bet begalinė taškų aibė).

Šaltiniai

1. metrinė erdvė(parengė Rimas Norvaiša). Visuotinė lietuvių enciklopedija (tikrinta 2024-02-05).

Nuorodos

• Dmitri Burago, Yu D. Burago, Sergei Ivanov, A Course in Metric Geometry, American Mathematical Society, 2001, ISBN 0-8218-2129-6.
• Victor Bryant, Metric Spaces: Iteration and Application, Cambridge University Press, ISBN 0-521-31897-1.
• Mícheál Ó Searcóid, Metric Spaces, Springer Undergraduate Mathematics Series, 2006, ISBN 1-84628-369-8
• Far and near – several examples of distance functions