Kreivumas

Kreivumas – bendras pavadinimas kiekybinių charakteristikų, nusakančių geometrinių objektų (kreivių, paviršių ir pan.) santykinį skirtumą nuo „plokščių“ ar „tiesių“ jų atitikmenų (tiesės, plokštumos ir pan.). Dažniausiai kreivumas apibrėžiamas kiekvienam objekto taškui.

Kreivis – kreivumo skaitinė reikšmė.

Plokštumos kreivės kreivumas

Plokštumos kreivės kreivumas taške P(x₀, y₀) yra dydis, atvirkščias kreivio apskritimo spinduliui tame taške. Jei kreivė Dekarto koordinačių sistemoje nusakyta lygtimi y = f(x), tai kreivumas apskaičiuojamas pagal formulę:

${\displaystyle \kappa (x,y)={\frac {y''}{(1+y'^{2})^{3/2}}}.}$

Tokiu atveju neretai naudojama aproksimacija:

${\displaystyle \kappa (x,y)\approx {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}.}$

Jei kreivė nusakoma parametrinėmis lygtimis x = p(t), y = r(t), tai kreivumas apskaičiuojamas pagal formulę:

${\displaystyle \kappa (x,y)={\frac {x'y''-y'x''}{(x'^{2}+y'^{2})^{3/2}}}.}$

Paviršių kreivumas

Tarkime, kad ${\displaystyle \Phi }$ yra glodus paviršius trimatėje euklidinėje erdvėje. Tegu ${\displaystyle p}$ – taškas paviršiuje ${\displaystyle \Phi }$, ${\displaystyle T_{p}}$ – ${\displaystyle \Phi }$ liečiančioji plokštuma taške ${\displaystyle p}$, ${\displaystyle n}$ – vienetinis normalinis vektorius (normalė) ${\displaystyle \Phi }$ taške ${\displaystyle p}$, o ${\displaystyle \pi _{e}}$ – plokštuma einanti per ${\displaystyle n}$ ir vektorių ${\displaystyle e}$, esantį ${\displaystyle T_{p}}$. Kreivė ${\displaystyle \gamma _{e}}$, gaunama kertantis plokštumai ${\displaystyle \pi _{e}}$ su nagrinėjamu paviršiumi ${\displaystyle \Phi }$, yra vadinama ${\displaystyle \Phi }$ pjūviu taške ${\displaystyle p}$ vektoriaus ${\displaystyle e}$ kryptimi. Skaliarinis dydis ${\displaystyle \kappa _{e}}$ yra normalinis paviršiaus ${\displaystyle \Phi }$ kreivumas ${\displaystyle e}$ kryptimi

${\displaystyle \kappa _{e}=k\cdot n}$

Čia ${\displaystyle \cdot }$ reiškia skaliarinę sandaugą, ${\displaystyle k}$ – kreivumo vektorius ${\displaystyle \gamma _{e}}$ taške ${\displaystyle p}$.

Bendru atveju, kiekviename paviršiaus taške yra dvi statmenos kryptys ${\displaystyle e_{1}}$ ir ${\displaystyle e_{2}}$, kuriomis kreivumas yra didžiausias ir mažiausias. Šios kryptys vadinamos pagrindinėmis arba normalinėmis. Kreivumą bet kokia kryptimi galima aprašyti Oilerio formule:

${\displaystyle \kappa _{e}=\kappa _{1}\cos ^{2}\alpha +\kappa _{2}\sin ^{2}\alpha }$,

kur ${\displaystyle \alpha }$ – kampas tarp krypties ir ${\displaystyle e_{1}}$, o ${\displaystyle \kappa _{1}}$ ir ${\displaystyle \kappa _{2}}$ yra normaliniai kreivumai ${\displaystyle e_{1}}$ ir ${\displaystyle e_{2}}$ kryptimis.

Galimi ir kitokie kreivumo apibrėžimai:

${\displaystyle H=\kappa _{1}+\kappa _{2}}$, (kartais ${\displaystyle {\frac {\kappa _{1}+\kappa _{2}}{2}}}$)

yra vadinamas vidutiniu paviršiaus kreivumu. O dydis

${\displaystyle K=\kappa _{1}\kappa _{2}}$

yra vadinamas paviršiaus Gauso kreivumas.