Euklidinis atstumas

Euklidinis atstumas – atkarpos tarp dviejų taškų ilgis Euklidinėje erdvėje. Šiam atstumui apskaičiuoti galima naudoti Pitagoro teoremą.

Atstumas tarp dviejų objektų, kurie nėra taškai, paprastai apibrėžiamas kaip mažiausias atstumas tarp taškų porų nuo šių dviejų objektų, pavyzdžiui, atstumas nuo taško iki tiesės. Kitose metrinėse erdvėse nagrinėjami kitokių rūšių, abstraktūs atstumai.

Euklidinis atstumas plokštumoje

Euklido plokštumoje, jei p = (p₁, p₂) ir q = (q₁, q₂) tada atstumas tarp šių taškų yra:

${\displaystyle d(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )={\sqrt {(q_{1}-p_{1})^{2}+(q_{2}-p_{2})^{2}}}.}$

Tai atitinka Pitagoro teoremą, kur statiniai yra atitinkamų taškų koordinačių skirtumai, o įžambinė yra atstumas.

Arba, jeigu taško p polinės koordinatės yra (r₁, θ₁) ir q yra (r₂, θ₂), tada atstumas tarp taškų yra:

${\displaystyle d(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )={\sqrt {r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})}}.}$

Euklidinis atstumas trimatėje erdvėje

Dviejų taškų ${\displaystyle P=(p_{x},p_{y},p_{z})}$ ir ${\displaystyle Q=(q_{x},q_{y},q_{z})}$ trimatėje erdvėje Euklidinis atstumas:

${\displaystyle {\sqrt {(p_{x}-q_{x})^{2}+(p_{y}-q_{y})^{2}+(p_{z}-q_{z})^{2}}}.}$

Euklidinis atstumas n-matėje erdvėje

Bendruoju atveju dviejų taškų ${\displaystyle n}$-matėje erdvėje ${\displaystyle P=(p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n})}$ ir ${\displaystyle Q=(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n})}$ Euklidinis atstumas yra:

${\displaystyle {\sqrt {(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+\cdots +(p_{n}-q_{n})^{2}}}={\sqrt {\sum _{k=1}^{n}{(p_{k}-q_{k})^{2}}}}.}$

Šaltiniai

1. Deza, M. M., Deza, E. Encyclopedia of Distances. – Fourth Edition. – Springer, 2016. – ISBN 978-3-662-52843-3. – doi:10.1007/978-3-662-52844-0., p. 103.

Taip pat skaitykite

• Vektoriaus norma