Ermito polinomai yra apibrėžiami arba sąryšiu
H n ( x ) = ( − 1 ) n e x 2 / 2 d n d x n e − x 2 / 2 {\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}/2}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}/2}\,\!} ("tikimybiniai Ermito polinomai" ), arba kartais kitu sąryšiu
H n ( x ) = ( − 1 ) n e x 2 d n d x n e − x 2 {\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}\,\!} ("fizikiniai Ermito polinomai" ). Šie du apibrėžimai nėra tiksliai vienodi, vienas yra kito mastelio keitimas
H n f i z ( x ) = 2 n / 2 H n t i k ( 2 x ) . {\displaystyle H_{n}^{\mathrm {fiz} }(x)=2^{n/2}H_{n}^{\mathrm {tik} }({\sqrt {2}}\,x).\,\!} Tradiciškai matematikoje naudojamas pirmas apibrėžimas, kadangi
1 2 π e − x 2 / 2 {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-x^{2}/2}} yra tikimybės tankio funkcija normaliam skirstiniui su tikėtina vertė 0 ir standartiniu nuokrypiu 1.
Pirmi vienuolika Ermito polinomu, apibrėžtų pagal tikimybių teorijoje naudojamą apibrėžimą:
H 0 ( x ) = 1 {\displaystyle H_{0}(x)=1\,} H 1 ( x ) = x {\displaystyle H_{1}(x)=x\,} H 2 ( x ) = x 2 − 1 {\displaystyle H_{2}(x)=x^{2}-1\,} H 3 ( x ) = x 3 − 3 x {\displaystyle H_{3}(x)=x^{3}-3x\,} H 4 ( x ) = x 4 − 6 x 2 + 3 {\displaystyle H_{4}(x)=x^{4}-6x^{2}+3\,} H 5 ( x ) = x 5 − 10 x 3 + 15 x {\displaystyle H_{5}(x)=x^{5}-10x^{3}+15x\,} H 6 ( x ) = x 6 − 15 x 4 + 45 x 2 − 15 {\displaystyle H_{6}(x)=x^{6}-15x^{4}+45x^{2}-15\,} H 7 ( x ) = x 7 − 21 x 5 + 105 x 3 − 105 x {\displaystyle H_{7}(x)=x^{7}-21x^{5}+105x^{3}-105x\,} H 8 ( x ) = x 8 − 28 x 6 + 210 x 4 − 420 x 2 + 105 {\displaystyle H_{8}(x)=x^{8}-28x^{6}+210x^{4}-420x^{2}+105\,} H 9 ( x ) = x 9 − 36 x 7 + 378 x 5 − 1260 x 3 + 945 x {\displaystyle H_{9}(x)=x^{9}-36x^{7}+378x^{5}-1260x^{3}+945x\,} H 10 ( x ) = x 10 − 45 x 8 + 630 x 6 − 3150 x 4 + 4725 x 2 − 945 {\displaystyle H_{10}(x)=x^{10}-45x^{8}+630x^{6}-3150x^{4}+4725x^{2}-945\,} ir pirmi vienuolika Ermito polinomu, apibrėžtų pagal fizikoje (kvantinėje mechanikoje ) naudojamą apibrėžimą:
H 0 ( x ) = 1 {\displaystyle H_{0}(x)=1\,} H 1 ( x ) = 2 x {\displaystyle H_{1}(x)=2x\,} H 2 ( x ) = 4 x 2 − 2 {\displaystyle H_{2}(x)=4x^{2}-2\,} H 3 ( x ) = 8 x 3 − 12 x {\displaystyle H_{3}(x)=8x^{3}-12x\,} H 4 ( x ) = 16 x 4 − 48 x 2 + 12 {\displaystyle H_{4}(x)=16x^{4}-48x^{2}+12\,} H 5 ( x ) = 32 x 5 − 160 x 3 + 120 x {\displaystyle H_{5}(x)=32x^{5}-160x^{3}+120x\,} H 6 ( x ) = 64 x 6 − 480 x 4 + 720 x 2 − 120 {\displaystyle H_{6}(x)=64x^{6}-480x^{4}+720x^{2}-120\,} H 7 ( x ) = 128 x 7 − 1344 x 5 + 3360 x 3 − 1680 x {\displaystyle H_{7}(x)=128x^{7}-1344x^{5}+3360x^{3}-1680x\,} H 8 ( x ) = 256 x 8 − 3584 x 6 + 13440 x 4 − 13440 x 2 + 1680 {\displaystyle H_{8}(x)=256x^{8}-3584x^{6}+13440x^{4}-13440x^{2}+1680\,} H 9 ( x ) = 512 x 9 − 9216 x 7 + 48384 x 5 − 80640 x 3 + 30240 x {\displaystyle H_{9}(x)=512x^{9}-9216x^{7}+48384x^{5}-80640x^{3}+30240x\,} H 10 ( x ) = 1024 x 10 − 23040 x 8 + 161280 x 6 − 403200 x 4 + 302400 x 2 − 30240 {\displaystyle H_{10}(x)=1024x^{10}-23040x^{8}+161280x^{6}-403200x^{4}+302400x^{2}-30240\,}
Taip pat skaitykite