Aukso pjūvis

Kitos reikšmės – Fi (reikšmės).

Fi (angl. Phi), dar vadinama aukso pjūviu arba dieviškąja proporcija – atkarpos dalyba į dvi dalis taip, kad didesniosios ir mažesniosios dalių santykis būtų lygus visos atkarpos ir didesniosios dalies santykiui. Tai skaičius, kurio reikšmė apytiksliai lygi 1,618.

Atsiradimo istorija

Amerikiečių matematikas Markas Baras graikų kalbos raidę Fi panaudojo aukso pjūviui išreikšti, pavartodamas savo skulptūrose aukso pjūvį taikiusio graikų skulptoriaus Fidijo vardo pirmąją raidę.

Euklidas knygoje „Pradmenys“ teigė, jog atkarpa AB padalinta į dalis turi santykį C : AB su AC kaip AC su CB. Nors Euklidas ir nevartojo šio termino, tai laikoma aukso pjūviu. Apibrėžimas pateikiamas VI knygoje, tačiau II knygoje yra formuluotė, 11 teorema, susijusi su plotais, kurie aiškinami apie atkarpos padalijimą aukso pjūvio proporcijomis. Dabar kai kurie istorikai mano, kad „Elementų“ II knyga aprėpia medžiagą, kurią iš pradžių studijavo Teodoras iš Kirėnės, o kiti šią medžiagą priskiria Pitagorui arba bent jau pitagoriečiams.

Daugelis galvoja, jog sakydamas „pjūvis“ Proklas turi omenyje „aukso pjūvį“. Žinoma, kad Eudoksas lankė Platono paskaitas, todėl visiškai pagrįsta manyti, jog jis galėjo nagrinėti šiose paskaitose iškeltus klausimus. Hefas savo Euklido „Elementų“ leidime rašo: „penkiakampio braižymas pritaikant lygiašonio trikampio metodą, susijusį su tuo, kas išdėstyta aukščiau, pitagoriečiams buvo žinomas, todėl drąsiai galime teigti, kad tai ir buvo aukso pjūvio tyrinėjimo pradžia.

apie 150 m. pr. m. e. rašė apie taisyklingą daugiasienį. Jis yra darbo, kuris buvo pavadintas XIV Euklido „Elementų“ knyga, nagrinėjančio į sferą įbrėžtus taisyklingus kūnus, autorius. Aukso pjūvis pradedamas taikyti išraiškose (brėžiniuose).

Iki tol aukso pjūvis, regis, buvo laikomas geometrijos savybe, ir nėra akivaizdaus įrodymo, jog kas nors būtų stengęsis skaičių susieti su pjūviu. Be abejo, jei AB ilgis yra 1, o AC = x, kai C dalina AB aukso pjūvio proporcija (santykiu), tuomet pritaikydami paprastą algebrą galime rasti x. Iš 1/x = x/(1 – x) gauname x² + x – 1 = 0, todėl x = (√5-1)/2.

Taigi aukso pjūvis yra 1/x = (√5 + 1)/2 = 1,6180339887498948482…

apskaičiavo apytikslius koeficientus (proporcijas), jis pateikė apytikslius penkiakampio ploto santykius su kvadrato plotu. Ptolemėjaus trigonometrinių lentelių dėka, bent jau apskritimų stygų atveju, buvo pradėti skaičiavimai. Jis išmatavo taisyklingo penkiakampio kraštinę kaip apibrėžto apskritimo spindulį.

Abu Kamilas pateikė panašias lygtis, sudarytas skirtingais būdais dalinant 10 (cm?) ilgio liniją. Du iš šių būdų susiję su aukso pjūviu, tačiau neaišku, ar Abu Kamilas suprato tai. Vis dėlto, Leonardas Fibonačis rašydamas kūrinį „Liber Abaci“ naudojosi daugybe arabiškų šaltinių, o viename iš jų buvo ir Abu Kamilo keliami klausimai. L. Fibonačis aiškiai parodė, jog jis suprato abiejų Abu Kamilo keliamų klausimų ryšį su aukso pjūviu. Kūrinyje „Liber Abaci“ jis pateikė tokiu būdu √125 -5 ir 15 – √125 aukso pjūviu padalintos 10 vienodų dalių liniją.

L. Pačiolis parašė „Divina proportione“ („Dieviška proporcija“) – taip jis vadino aukso pjūvį. Šioje knygoje yra sukaupti su aukso pjūviu susiję Euklido ir kitų šaltinių rezultatai. Jis teigė (net nesistengdamas įrodyti ar pateikti nuorodą), kad aukso pjūvis negali būti racionalus. Jis taip pat patvirtina kūrinyje „Liber Abaci“ pateiktus rezultatus, susijusius su aukso pjūviu padalintos 10 (cm) ilgio linijos atkarpų ilgiais.

Kardanas, Bombelli ir kiti savo tekstuose kėlė klausimus, kaip gauti aukso pjūvį pritaikant kvadratines lygtis. Stebinanti informacija aptinkama 1509 m. Pačiolio Euklido „Elementų“ leidimo kopijoje. Kažkas yra parašęs pastebėjimą, kuris aiškiai patvirtina, kad jie žinojo, jog gretutinių narių pjūvis Fibonačio sekoje linkęs panašėti į aukso pjūvio skaičių. Pirmasis žinomas dešimtainis aukso pjūvio apskaičiavimas užfiksuotas 1597 m. Tiubingeno universitete Michaelio Maestlino parašytame laiške jo buvusiam studentui Kepleriui.

Gretutinių narių dalmenų (koeficientų) Fibonačio sekoje panašėjimas į aukso pjūvį paprastai priskiriamas Simsonui, kuris rezultatą pateikė 1753 m. Bendras ankstyvųjų autorių vartotas terminas buvo „kraštutinis dalijimas ir vidutinė proporcija“ (division in extreme and mean ratio). Pačiolis netrukus pradėjo taikyti terminą „dieviškoji proporcija“, o kai kurie vėlesnieji autoriai, tokie kaip Ramusas ir Klavijus irgi ėmė juo naudotis. Klavijus taip pat vartojo terminą „proporcingai padalinta“, panašių išsireiškimų yra ir kitų matematikų darbuose. Naudotas ir terminas „vientisoji proporcija“. Dabar taikomi terminai yra auksinė proporcija, aukso pjūvio skaičius (auksinis skaičius) arba aukso pjūvis. Šie terminai yra modernūs, nes jie atsirado vėliau, nei bet kuris aukščiau aptartas darbas.

Fibonačio seka itin paprastai sudaryta. Kiekvienas narys yra dviejų ankstesnių narių suma, pradedant nuo 0 ir 1. 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 …

Pastaraisiais šimtmečiais dauguma žmonių manė, kad skaičius Fi, geriau žinomas kaip dieviška proporcija arba aukso pjūvis, proporcijų atžvilgiu yra balanso ir grožio standartas. Fi reikšmė – 1,618033988… arba riba, link kurios krypsta bet kurių dviejų Fibonačio sekos elementų proporcija. 1202 m. L. Fibonačis suformulavo uždavinį apie triušių dauginimąsi. Uždavinio pradžioje turime triušiukų porelę, kuri atsives po porą jauniklių kas mėnesį. Kiekviena jauniklių pora, sulaukusi dviejų mėnesių, atsiveda jauniklių porelę ir t. t. Taigi antro mėnesio gale mes jau turime 2 poras, t. y. 1 pora (senoji porelė) + 1 pora (jaunoji porelė) = 2 poros. Trečio mėnesio gale – 3 poros: senoji pora susilauks dar porą triušiukų. Ketvirto mėnesio gale – 5 poros: senoji susilauks dar porelės, bet ir jaunoji jau galės atsivesti triušiukų. Taigi jau turime penkias triušiukų poreles. Tęsiant skaičiavimus, galima suskaičiuoti, kiek bus porelių pasibaigus pirmiems metams – 144.

Taigi galima būtų užrašyti kiekvieno mėnesio triušių skaičių : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,… Ši skaičių seka, kurioje kiekvienas skaičius yra prieš tai einančių dviejų skaičių suma, yra vadinama Fibonačio skaičių seka. Gretimų skaičių santykis, t. y. antrąjį skaičių padalinus iš pirmojo, yra apytiksliai lygus 1,618 arba skaičiui Fi.

Savybės

Fi tenkina lygybes

${\displaystyle \phi ^{2}=\phi +1,\ \phi -1={\frac {1}{\phi }},\ \phi ^{3}={\frac {\phi +1}{\phi -1}}}$

Nesunkiai galima nustatyti tikrąją Fi reikšmę:

${\displaystyle \phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1,61803398874989484\dots }$

Kur aptinkamas skaičius Fi

Šis skaičius yra naudojamas meno darbuose, pavyzdžiui, Leonardui da Vinčiui irgi buvo žinoma ši proporcija, tai galima įžvelgti jo darbuose „Vitruvijaus žmogus“ arba „Mona Liza“. Taip pat jį galima aptikti žmogaus kūne, nagrinėjant kaulų struktūros proporcijas. Pavyzdžiui, išmatavus atstumą nuo viršugalvio iki grindų ir nuo bambos iki grindų, pamatysime, kad šių skaičių santykis yra lygus skaičiui fi. Tokį pat atsakymą gausime, išmatavę atstumą nuo peties iki pirštukų ir padalinę jį iš atstumo, kurį rasime, išmatavę atstumą nuo alkūnės iki pirštų galiukų. Suskaičiavę atstumus nuo klubų iki grindų ir nuo kelio iki grindų, rasime, jog šių atstumų santykis taip pat bus lygus skaičiui fi ir t. t. Muzika yra paremta 8 natų oktava, o pianine tai atspindi 8 balti ir 5 juodi klavišai (iš viso 13). Gamtoje šį skaičių galima atrasti įvairiais pavidalais. Jis akivaizdžiai matosi tiek ramunės žiedlapiuose, tiek DNR . Šį skaičių galima taip pat pastebėti penkiakampėje žvaigždėje. Jos linijos susikirtimo taške pasidalija į dvi atkarpas, kurių santykis atitinka skaičių fi. Taigi šį skaičių galima aptikti daug kur Visatoje.

1876 m. estetikos srityje atliktas intriguojantis eksperimentas. Daugybės atsitiktinai pasirinktų žmonių buvo paprašyta estetiškai įvertinti skirtingų matmenų stačiakampius. Daugiau nei 75 procentai žmonių pasirinko vienodus tam tikrų matmenų stačiakampius. Kokia tokio pasirinkimo priežastis? Eksperimentą atliko Fečneris (1970 m., Huntley), norėdamas patikrinti Leonardo da Vinčio hipotezę, jog aukso proporcijas atspindintys matmenys yra patraukliausi žmogaus akiai. Eksperimentas patvirtino jo mintį: pirmiausiai buvo pasirinkti „auksiniai“ stačiakampiai.

Nėra išlikusių graikų architektų žymiausių šventyklų ir pastatų (tokių kaip Panteonas) projektų duomenų. Todėl mes nežinome, ar savo architektūriniuose projektuose jie sąmoningai taikė aukso pjūvį. Nuostabu tai, jog aukso pjūvis yra proporcija, kartas nuo karto pasireiškianti gamtoje, ypač geometrijoje, taip pat tam tikrose žmogaus kūno proporcijose.

Aukso proporcija istorijoje išgarsėjo dėl savo estetinių ypatybių, ir yra teigiama, kad Antikinės Graikijos architektūrai didelę įtaką darė jos taikymas.

Įdomu pastebėti, jog [Wang, J. Rec. Matematika, 26] skaičius 666 susijęs su aukso proporcija! (jei stačiakampis turi savybę atkirtus dalį jo ploto išsaugoti pradines proporcijas, tuomet šio stačiakampio proporcijos yra aukso proporcijos. Taip pat aukso pjūvis, kadangi n tampa didelis, yra Fibonačio sekos gretutinių skaičių proporcijos riba). Aukso pjūvį pažymėję t, gausime tokią lygybę, kurioje kampai išreikšti laipsniais: sin(666) = cos(6•6•6) = -t/2 Ši lygybė gali būti puikiai išreikšta taip: t = – (sin(666) + cos(6•6•6))

Šaltiniai

1. Algirdas Ambrazas, Vaclovas Čiočys, Algimantas Mačiulis. Aukso pjūvis, harmoninis santykis. Visuotinė lietuvių enciklopedija, T. II (Arktis-Beketas). – Vilnius: Mokslo ir enciklopedijų leidybos institutas, 2002. 219 psl.

Vikiteka: Fi – vaizdinė ir garsinė medžiaga