Fibonačio skaičių seka

Fibonačio skaičių seka – sveikųjų skaičių seka {F_n}, nusakoma taip: F₀ = 0, F₁ = 1, F_n+1 = F_n + F_n-1. Seka prasideda šiais skaičiais: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377. Kiekvienas šios sekos skaičius lygus dviejų prieš jį einančių skaičių sumai.

Fibonačio seką 1202 m. atrado viduramžių matematikas Leonardas Pizietis (vadinamas Fibonačio vardu).

Binė formulė

Binė lygtis nusako F_n tokia funkcija:

${\displaystyle F_{n}={\frac {\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}}{\sqrt {5}}}={\frac {\phi ^{n}-(-\phi )^{-n}}{\phi -(-\phi )^{-1}}}}$,

kur ${\displaystyle \phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ – dydis, vadinamas harmoniniu santykiu ar aukso pjūviu.

Fibonačio sekos savybės

Santykis ${\displaystyle {\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}}$ konverguoja į aukso pjūvį ${\displaystyle \phi }$: ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}=\phi }$.