Unitarioji matrica

Unitarioji matrica – kompleksinė kvadratinė matrica U, kurios kompleksiškai jungtinė ir transponuota matrica U^∗ yra jai atvirkštinė.

${\displaystyle U^{*}U=UU^{*}=I,}$

čia I yra vienetinė matrica. Fizikoje, kvantinėje mechanikoje Ermitinė jungtinė matrica paprasta žymima durklo pavidalo simboliu . Tuomet ankstesnė lygybė užrašoma

${\displaystyle U^{\dagger }U=UU^{\dagger }=I.}$

Unitariosios matricos analogas realiųjų skaičių aibėje yra ortogonalioji matrica. Unitariosios matricos svarbios kvantinėje mechanikoje, kadangi nekeičia normos.

Savybės

Baigtinio rango unitarioji matrica ${\displaystyle U}$:

• Bet kokiems dviem kompleksiniams vektoriams ${\displaystyle x}$ ir ${\displaystyle y}$, daugyba iš ${\displaystyle U}$ nekeičia skaliarinės sandaugos; tai yra, ${\displaystyle Ux\cdot Uy=x\cdot y}$.
• ${\displaystyle U}$ yra normalioji matrica (${\displaystyle A^{*}A=AA^{*}}$. Skirtingai nuo unitariosios matricos ši sandauga nebūtinai lygi vienetinei matricai)
• ${\displaystyle U}$ yra diagonalizuojama matrica, tai yra ${\displaystyle U}$ gali būti išskaidyta

${\displaystyle U=VDV^{*}\;}$

čia ${\displaystyle V}$ yra unitarioji, o ${\displaystyle D}$ yra diagonalioji ir kartu unitarioji matrica.

• ${\displaystyle \left|\mathrm {det} (U)\right|=1}$.
• Tikriniai vektoriai visada ortogonalūs.
• ${\displaystyle U}$ gali būti užrašyta U = exp(iH) , kur ${\displaystyle e}$ žymi matricos eksponentę, ${\displaystyle i}$ yra menamasis vienetas, o ${\displaystyle H}$ yra Ermito matrica.

Matricos ${\displaystyle X}$ eksponentė gali būti parašyta:

${\displaystyle \exp(X)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {X^{k}}{k!}}.}$

• Tiek unitariosios matricos stulpeliai, tiek eilutės sudaro ortonormuotą (ortogonalią ir normuotą) bazę.
• Matricos tikrinės vertės išsidėsčiusios ant vienetinio apskritimo.

Bet kokiam neneigiamam sveikam skaičiui n, aibė visų n x n unitariųjų matricų daugybos atžvilgiu sudaro grupę, vadinamą U(n).

Bet kuri kvadratinė matrica su vienetine yra dviejų unitarinių matricų vidurkis.

Jei unitariosios matricos ${\displaystyle A}$ determinantas lygus vienetui, ji vadinama specialiąja unitariąja matrica.

Aibė visų specialiųjų unitariųjų matricų, kurių rangas ${\displaystyle n}$ daugybos atžvilgiu sudaro specialiąją unitariąją grupę, žymimą ${\displaystyle SU(n)}$. Grupės ${\displaystyle SU(2)}$ ir ${\displaystyle SU(3)}$ vaidina svarbų vaidmenį kvantinėje mechanikoje ir elementariųjų dalelių fizikoje.

Šaltiniai

1. Li, Chi-Kwong; Poon, Edward (2002). „Additive decomposition of real matrices“. Linear and Multilinear Algebra. 50 (4): 321–326. doi:10.1080/03081080290025507. S2CID 120125694.