Adiabatinis invariantas

Adiabatinis invariantas – fizikinis dydis, nekintantis vykstant lėtiems sistemos pokyčiams.

Adiabatinio invarianto sąvoka naudojama:

• Termodinamikoje
• Klasikinėje mechanikoje
• Kvantinėje mechanikoje

Termodinamika

Termodinamikoje adiabatiniu vadinamas procesas, vykstantis be šilumos mainų su aplinka. Tai lėtas procesas, užtrunkantis daug ilgiau nei . Adiabatiniame procese termodinaminę sistemą galima laikyti visose tarpinėse būsenose. Esant šioms sąlygoms termodinaminės sistemos entropija yra pastovi.

Adiabatinis idealiųjų dujų išsiplėtimas

Jei idealiųjų dujų tūris staiga padidėja, dujų temperatūra visiškai nepasikeičia, nes nepasikeičia molekulių vidutinis kvadratinis greitis ir su juo susieta molekulių vidutinė kinetinė energija, t. y. jos makroskopinis matas – temperatūra.

Tačiau jei idealiųjų dujų tūris didėja lėtai, kai idealių dujų būsenos lygtis galioja bet kuriuo laiko metu, dujų molekulių vidutinės kinetinė energijos nuostolis ${\displaystyle dE}$ lygus darbui ${\displaystyle dW}$ atliekant tūrio padidėjimą: ${\displaystyle dE=dW}$. Bet kokio proceso metu, elementarusis darbas ${\displaystyle dW=PW}$. Pasinaudojus idealiųjų dujų būsenos lygtimi, gauname:

${\displaystyle dW=PdV={Nk_{B}T \over V}dV}$

Čia

 ${\displaystyle P}$ – idealiųjų dujų slėgis ${\displaystyle R}$ – universalioji dujų konstanta ${\displaystyle v}$ – dujų kiekis moliais ${\displaystyle T}$ – absoliuti dujų temperatūra ${\displaystyle V}$ – tūris 

Jei dujos nėra šildomos, dujų molekulių energija sumažėja tokiu pačiu kiekiu.

Idealiom dujom:

${\displaystyle NC_{v}dT=dE}$

Čia

 ${\displaystyle C_{v}}$ - šiluma esant nekintamai talpai 

Kadangi:

${\displaystyle dE=-dW}$,

gauname:

${\displaystyle NC_{v}dT=-{N{k_{B}}T \over V}dV}$

Šią lygybę galima užrašyti taip:

${\displaystyle \,d(C_{v}N\log T)=-d(N\log V)}$

jei įvesti dydį

${\displaystyle \,S=C_{v}N\log T+N\log V}$,

arba supaprastinus

${\displaystyle \,S=N\log {\big (}T^{C_{V}}V{\big )}}$,

tai salyga ${\displaystyle dE=-dW}$ galima užrašyti taip:

${\displaystyle dS=0}$

Klasikinė mechanika

Klasikinėje mechanikoje, adiabatiniu vadinamas procesas kurio Hamiltonianas keičiasi daug lėčiau, nei mechaninės sistemos būdingas laikas. Tuomet adiabatiniu invariantu yra fazinio srauto tūris.

Tarkime, kad hamiltonianas lėtai kinta laike, pavyzdžiui, vien dimensinis harmoninis osciliatorius su kintančiu dažniu:

${\displaystyle H_{t}(p,x)={p^{2} \over 2m}+{m\omega (t)^{2}x^{2} \over 2}\,}$,

Čia

 ${\displaystyle m}$ – osciliatoriaus masė, ${\displaystyle x}$ – koordinatė, ${\displaystyle p}$ – impulsas, ${\displaystyle \omega (t)}$ – lėtai krentantis laike dažnis. 

Klasikinis veikimas ${\displaystyle J}$ yra fazinės trajektorijos apibrėžta sritis fazinėje erdvėje.

${\displaystyle J=\int _{0}^{T}p(t){dx \over dt}dt\,}$,

Čia

 ${\displaystyle T}$ – harmoninio osciliatoriaus svyravimo periodas. 

Kadangi ${\displaystyle J}$ yra judėjimo integralas. Kanoniškai sujungtinis kintamasis ${\displaystyle \theta }$ keičiasi laike taip, kaip ir hamiltonianas:

${\displaystyle {d\theta \over dt}={\partial H \over \partial J}=H'(J)\,}$

Taigi konstanta ${\displaystyle H'}$ gali buti naudojama keičiant laiko išvestines ${\displaystyle \theta }$ at constant ${\displaystyle J}$ nesikeičia. Deferencijuojant integralą ${\displaystyle J}$, atsižvelgiant į ${\displaystyle J}$, gaunamas dydis, kuris užfiksuoja ${\displaystyle H'}$:

${\displaystyle {dJ \over dJ}=1=\int _{0}^{T}{\bigg (}{\partial p \over \partial J}{dx \over dt}+p{\partial \over \partial J}{dx \over dt}{\bigg )}dt=H'\int _{0}^{T}{\bigg (}{\partial p \over \partial J}{\partial x \over \partial \theta }-{\partial p \over \partial \theta }{\partial x \over \partial J}{\bigg )}dt\,}$

Paskutinis integralas yra x ir y Puasono skliaustai. Dviejų kanoniškai sujungtų kintamųjų, tokių kaip x ir p Puasono sklaistais yra lygūs 1 bet kurioje kanoninėje koordinačių sistemoje, t. y.,

${\displaystyle 1=H'\int _{0}^{T}\{x,p\}dt=H'T\,}$

Kampinis kintamasis ${\displaystyle \theta }$ keičiasi taip pat, kaip ir ${\displaystyle J}$.

Harmoninio osciliatoriaus atveju, fazinės erdvės sritis esant pastoviai energijai ${\displaystyle E}$ yra elipsė:

${\displaystyle E={p^{2} \over 2m}+{m\omega ^{2}x^{2} \over 2}\,}$

Šios elipsės x – pusašis yra ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {2E/\omega ^{2}m}}}$, p – spindulys yra ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {2mE}}}$. Taigi, jei harmoninio osciliatoriaus svyravimai lėtai keičiasi tai, nei dažnis, nei energija nėra pastovūs dydžiai, tačiau jų santykis yra pastovus.

Kvantinė mechanika

Kvantinėje mechanikoje, adiabatiniu vadinamas procesas, kuris vyksta daug lėčiau nei charakteringas laikas, susietas su dažnių skirtumu tarp tikrinių energijos būsenų. Šiuo atveju, sistemos energijos būsena nekinta, taigi adiabatiniu invariantu yra kvantinis skaičius.

Senoji Kvantinė teorija

Senoji kvantinė teorija buvo formuluojama lyginant sistemos kvantinius skaičius su jos klasikiniais adiabatiniais invariantais. Tai sudarė Boro-Zomerfildo (Bohr-Sommerfeld) kvantavimo taisyklės pagrindą: kvantinis skaičius yra klasikinės orbitos brėžiamas plotas fazinėje erdvėje.

Po to, kai Plantas nustatė, kad Weino dėsnis gali būti taikomas visame net ir laibai žemų dažnių intervale ir gali būti susietas su klasikine tapatingų dalelių spinduliavimo teorija, fizikai panoro suprasti kvantinę ir kitų sistemų elgseną.

Planko spinduliuotės dėsnis teigia, kad bangų spinduliavimas, kaip ir harmoninio osciliatoriaus energijos pokytis, vyksta porcijomis, arba kvantais, kurių energija yra proporcinga dažniui:

${\displaystyle E=h\nu =\hbar \omega \,}$,

Čia

 ${\displaystyle h}$ - paprasta Planko konstanta, ${\displaystyle \hbar }$ - redukuotoji Planko konstanta, ${\displaystyle \nu }$ - dažnis, ${\displaystyle \omega }$ - ciklinis dažnis. 

Iš šios formulės seka, kad energijos ir dažnio santykis ${\displaystyle E/\nu }$ arba ${\displaystyle E}$/${\displaystyle \omega }$ yra nekintantis dydis, kuris gali būti interpretuojamas kaip adiabatinis invariantas.

A. Enšteinas, tęsdamas P. Debajaus (P. Debye) mintis, praplėtė kvantinės mechanikos sritį siūlydamas garso sklidimą ir sklaidą kietame kūne interpretuoti kaip kvantų sąveiką su harmoniniais osciliatoriais. Šis modelis paaiškino, kodėl specifinė kietojo kūno šiluma esant žemai temperatūrai priartėja prie nulio vietoj to, kad liktų nepakitusi ir lygi ${\displaystyle 3k_{B}}$ kaip seka iš kvantinės termodinamikos.

Solvay konferencijoje buvo iškeltas kitokios prigimties judėjimo kvantavimo klausimas. Hendrik Lorentz nusprendė panagrinėti kvantinę švytuoklę, kurios ilgis yra lėtai mažinamas, švytuoklės kvantinė būsena nepasikeistų, tačiau jos dažnis ir energija keičiasi.

Einšteinas papildė, kad lėtai mažinant švytuoklės ilgį dažnis ir energija kinta, tačiau jų santykis išlieka nekintamas. Tai analogiška Wein pastebėjimams, kad esant lėtam sienos judėjimui atsispindinčių bangų energijos ir dažnio santykis išlieka nekintamas.

Padaryta išvada, kad kvantiniai dydžiai turėtų būti invariantais.

Ši teiginių grandis A. Zomerfildo (Sommerfield) buvo išplėtota iki bendros teorijos: mechaninės sistemos kvantinis skaičius yra adiabatinis sistemos invariantas. Kadangi adiabatinis invariantas harmoniniame osciliatoriuje yra sveikas skaičius, bendra sąlyga yra:

${\displaystyle \int pdq=nh\,}$

Čia

 ${\displaystyle p}$ – apibendrintas mechaninės sistemos impulsas, 

Ši sąlyga buvo senosios kvantinės teorijos pagrindas, kuri galėjo nuspėti atominių sistemų kokybinę elgseną. Tačiau ši A. Zomerfeldo teorija yra netiksli: esant mažiems kvantiniams skaičiams, ji duoda nuokrypį nuo eksperimento, nes painioja klasikinius ir kvantinius aspektus. Tačiau tai buvo naudingas žingsnis (Pvz., klasikinės trajektorijos ir kvantinių šuolių sąvokos), pusiaukelėje į naująją kvantinę teoriją.

Plazmos fizika

Plazmos fizikoje išskiriami trys judančių įkrautų dalelių adiabatiniai inavariantai

Pirmasis adiabatinis invariantas, μ

Magnetinis besisukančios dalelės momentas, kaip santykis „skersinės“ kinetinės energijos ir magnetinio lauko indukcijos ${\displaystyle B}$

${\displaystyle \mu ={\frac {{\frac {1}{2}}mv_{\perp }^{2}}{B}}}$,

Čia

 ${\displaystyle v_{\perp }}$ - dalelės greičio projekcija, statmena magnetinio lauko indukcijos krypčiai 

yra judėjimo konstanta(kol nesikeičia santykinis dalelės krūvis q / m). Faktiškai, jis yra nekintamas visose skleidinio ${\displaystyle \omega /\omega _{c}}$ eilėse. Taigi, magnetinis momentas beveik nekinta, net artėjant prie ciklotroninio dažnio (${\displaystyle \omega _{c}}$).

Yra keletas svabių situacijų, kuriose magnetinis momentas nėra pastovus:

• : Kai μ yra konstanta, „skerinė“ dalelės energija yra proporcinga ${\displaystyle B}$, taigi dalelės gali būti „šildomos“ didinant ${\displaystyle B}$, tačiau tai yra vienkartinė galimybė, kadangi laukas negali būti didinamas neribotą laiką. Kita vertus, jei susidūrimo dažnis yra didesnis nei siurblio dažnis, μ daugiau nėra pastovus. Pavyzdžiui, susidūrimai leidžia vykti savaiminiam šilimui, kadangi „skersinė“ energijagali pereiti į „išilginę“ energiją.
• : Jei ${\displaystyle B}$ yra virpinamas ciklotrono dažniu, adiabatinio nekintamumo sąlyga yra paleidžiama ir šildymas tampa įmanomas. Pavyzdžiui, indukuotas elektrinis laukas sukasi kartu su kai kuriomis dalelėmis ir nuolat jas greitina.
• : Magnetinis laukas susikirtimo taško centre išnyksta, taigi ciklotoninis dažnis automatiškai tampa mažesnis, nei bet kokio pokyčio laipsnis. Taigi magnetinis momentas nėra pastovus ir dalelės santykis lengvai sklaidomas.

Antras adiabatinis invariantas, J

Dalelės, esančios magnetiniame veidrodyje ilgumos invariantas,

${\displaystyle J=\int _{a}^{b}v_{\|}\,ds}$,

Čia

 ${\displaystyle v}$ - išilginė magnetinio lauko vektoriaus greičio projekcija. 

kur integralas yra tarp dviejų sukimosi taškų, taip pat yra adiabatinis invariantas. Tai, pavyzdžiui, garantuoja, kad dalelė judėdama žemės magnetosferoje visada grįš prie tos pačios magnetinio lauko jėgos linijos. Adiabatinė sąlyga yra negaliojanti kintamo laiko magnetiniam siurbimui, kur magnetinio veidrodžio ilgis yra vibruojamas skirtingu dažniu, kas sąlygoja vidinį šildymą.

Trečiasis adiabatinis invariantas, Φ

Bendras magnetinis srautas Φ, apimantis lėtai judantį paviršių, yra trečiasis adiabatinis invariantas, susijęs su periodišku veidrodyje esančių dalelių judėjimu, vykstančiu aplink sistemos ašį. Kadangi, šis lėtas judėjimas santykinai yra lėtas, Φ dažnai nėra pastovus dydis naudojamas taikymuose.

Šaltiniai

• Yourgrau, Wolfgang; Stanley Mandelstam (1979). Variational Principles in Dynamics and Quantum Theory. New York: Dover. ISBN 0-486-63773-5. §10
• Pauli, Wolfgang (1973). Charles P. Enz (red.). Pauli Lectures on Physics Vol. 4. Cambridge, Mass: MIT Press. ISBN 0-262-66035-0. pp. 85-89

Nuorodos

• lecture notes on the second adiabatic invariant
• lecture notes on the third adiabatic invariant