Vektorinė erdvė

Vektorinė erdvė arba tiesinė erdvė – vektorių aibė su joje apibrėžtomis sudėties ir daugybos iš skaliarinio dydžio operacijomis, tenkinančiomis tam tikras, žemiau išvardintas aksiomas. Vektorinės erdvės yra pagrindiniai tiesinės algebros studijų objektai, naudojami matematikoje, moksle ir inžinerijoje.

Pačios paprasčiausios vektorinės erdvės yra dvimatės arba trimatės Euklido erdvės. Šiose erdvėse vektoriai aprašomi skaičių poromis arba trejetais ir dažnai apibūdinami kaip geometriniai vektoriai, su dydžiu ir kryptimi, vaizduojami kaip strėlės. Šie vektoriai gali būti sudedami naudojant lygiagretainio taisyklę (vektorių sudėtis) arba dauginami iš sveikų skaičių. Šių operacijų metu geometrinių vektorių elgsena pasiūlo vektorių elgsenos modelį daug abstraktesnėse vektorių erdvėse, kurioms nėra būtina turėti geometrinę interpretaciją. Pavyzdžiui, (realūs) polinomai suformuoja vektorinę erdvę.

Vektorinės erdvės pirminės sąvokos – plokštuma arba trimatė erdvė su koordinačių sistema pirmą kartą apie 1636 m. nagrinėjo Renė Dekartas ir Pjeras Ferma, o vektorinės erdvės dabartinę sampratą 1888 m. pradėjo vartoti italų matematikas .

Formalus apibrėžimas

Tarkime, kad F yra laukas (pavyzdžiui, realieji arba kompleksiniai skaičiai), kurio elementai yra skaliarai.

Vektorinė erdvė virš lauko F yra toliau pateiktas aksiomas tenkinanti aibė V kartu su apibrėžtomis binarinėmis operacijomis:

• Vektorių sudėtis: V × V → V, žymima v + w, kur v, w ∈ V.
• Daugyba iš skaliaro: F × V → V, žymima av, kur a ∈ F and v ∈ V.

Tiesinėje erdvėje galioja šios aksiomos:

1. Vektorių sudėtis yra asociatyvi:

   ${\displaystyle \forall \mathbf {u} ,\mathbf {v} ,\mathbf {w} \in V:\mathbf {u} +(\mathbf {v} +\mathbf {w} )=(\mathbf {u} +\mathbf {v} )+\mathbf {w} .}$

2. Vektorių sudėtis yra komutatyvi:

   ${\displaystyle \forall \mathbf {v} ,\mathbf {w} \in V:\mathbf {v} +\mathbf {w} =\mathbf {w} +\mathbf {v} .}$

3. Vektorių sudėčiai egzistuoja vienetinis elementas:

   ${\displaystyle \exists \mathbf {0} \in V:\mathbf {v} +\mathbf {0} =\mathbf {v} ,\forall \mathbf {v} \in V.}$

4. Vektorių sudėtis turi priešingąjį elementą:

   ${\displaystyle \forall \mathbf {v} \in V,\exists \mathbf {w} \in V:\mathbf {v} +\mathbf {w} =0.}$

5. Vektorių sumos daugyba iš skaliaro yra :

   ${\displaystyle \forall a\in F,\forall \mathbf {v} ,\mathbf {w} \in V:a(\mathbf {v} +\mathbf {w} )=a\mathbf {v} +a\mathbf {w} .}$

6. Vektoriaus daugyba iš skaliarų sumos yra distributyvi:

   ${\displaystyle \forall a,b\in F,\forall \mathbf {v} \in V:(a+b)\mathbf {v} =a\mathbf {v} +b\mathbf {v} .}$

7. Daugyba iš skaliaro yra suderinama su skaliarų daugyba:

   ${\displaystyle \forall a,b\in F,\forall \mathbf {v} \in V:a(b\mathbf {v} )=(ab)\mathbf {v} .}$

8. Daugybai iš skaliaro egzistuoja vienetinis elementas:

   ${\displaystyle \exists 1\in F:1\mathbf {v} =\mathbf {v} ,\forall \mathbf {v} \in V.}$

Galima pažymėti, kad septintoji aksioma neteigia asociatyvumo, nes daugyba iš skaliaro (b v) ir skaliarų daugyba (ab) yra skirtingos operacijos.

Kai kurie šaltiniai įtraukia dar dvi aksiomas:

1. V yra uždara vektorių sudėčiai:

   ${\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V\Rightarrow \mathbf {u} +\mathbf {v} \in V.}$

2. V yra uždara skaliarų daugybai:

   ${\displaystyle a\in F,\mathbf {v} \in V\Rightarrow a\mathbf {v} \in V.}$

Tačiau paprastai laikoma, kad šios aksiomos yra numanomos iš operacijų apibrėžimų.

Elementarios savybės

Yra keletas savybių, kurios įrodomos naudojant minėtas aksiomas:

• Nulinis vektorius 0 ∈ V yra unikalus:

  ${\displaystyle \exists \mathbf {0_{1}} ,\mathbf {0_{2}} \in V,\forall \mathbf {v} \in V:\mathbf {0_{1}} +\mathbf {v} =\mathbf {v} ,\mathbf {0_{2}} +\mathbf {v} =\mathbf {v} \Rightarrow \mathbf {0_{1}} =\mathbf {0_{2}} =\mathbf {0} .}$

• Nulinio vektoriaus daugybos iš bet kokio skaliaro rezultatas yra nulinis vektorius:

  ${\displaystyle \forall a\in F:a\mathbf {0} =\mathbf {0} .}$

• Bet kokio vektoriaus daugybos iš nulio rezultatas yra nulinis vektorius:

  ${\displaystyle \forall \mathbf {v} \in V:0\mathbf {v} =\mathbf {0} .}$

• Nenulinio vektoriaus daugybos iš nenulinio skaliaro rezultatas negali būti nulinis vektorius:

  ${\displaystyle \forall \mathbf {v} \in V,\forall a\in F:a\mathbf {v} =\mathbf {0} \Leftrightarrow a=0\lor \mathbf {v} =\mathbf {0} .}$

• Vektorius, priešingas duotajam (−v) yra unikalus:

  ${\displaystyle \exists \mathbf {v} ,\mathbf {w_{1}} ,\mathbf {w_{2}} \in V:\mathbf {v} +\mathbf {w_{1}} =\mathbf {0} ,\mathbf {v} +\mathbf {w_{2}} =\mathbf {0} \Rightarrow \mathbf {w_{1}} =\mathbf {w_{2}} =-\mathbf {v} .}$

• Vektoriaus daugybos iš neigiamo vienetinio skaliaro rezultatas yra vektorius, priešingas pradiniam:

  ${\displaystyle \forall \mathbf {v} \in V:(-1)\mathbf {v} =-\mathbf {v} .}$

• Minuso ženklas daugyboje iš skaliaro gali būti perkeliamas laisvai:

  ${\displaystyle \forall a\in F,\forall \mathbf {v} \in V:a(-\mathbf {v} )=(-a)\mathbf {v} =-(a\mathbf {v} ).}$

Šaltiniai

1. vektorinė erdvė(parengė Petras Vaškas). Visuotinė lietuvių enciklopedija (tikrinta 2024-02-03).