T dvilypumas

T-dvilypumas – tam tikra simetrija tarp mažų ir didelių atstumų superstygų teorijoje. Tai vienas iš stigų dvilypumų, leidusių susieti skirtingas teorijas.

T-dvilypumas

Įvadas

Paprasčiausiam T-dvilypumo paaiškinimui reikia supaprastinti 10 matmenų erdvėlaikį (9 erdvės matmenys ir 1 laiko) prisirišant tik prie vieno iš tų matmenų. Tad laikom, kad vienas iš 9 erdvės matmenų suformuoja R spindulio apskritimą. T. y. keliavimas šiuo matmeniu atstumu ${\displaystyle L=2\pi R\!}$ (formulė, išreiškianti apskritimo ilgį) nuveda prie tos pačios vietos, kur pradėjai kelionę.

Tokiu apskritimu judanti dalelė turės kvantuotą sveikais daugikliais, proporcingais 1/R, judesio kiekį. Šis tam tikras n-tos eilės (n - sveikas skaičius) būsenos dalelės judesio momentas įeina į suminę dalelės energija per sąryšį n/R. Dalelės masės kvadratas (apsiribosim juo, nes energijos išraiškos sudėtingesnės) užrašomas formule:

${\displaystyle m_{n}^{2}={\frac {n^{2}}{R^{2}}}.}$

Invariantiškumas

Dabar grįžkime prie stygų. Styga taip pat gali keliauti šiuo apskritimu, o įnašas į stygos masę yra toks pat, kaip pateiktas dalelei. Tačiau gali daryti tai, ko negali dalelė – apsivyti apie šį apskritimą. Skaičius, nurodantis, kiek kartų styga apsiveja apskritimą, vadinamas vijos skaičiumi arba vijos moda (pažymėkim w). Vijų moda taip pat turi būti kvantuota, t. y. jos eilė keičiasi minimalią vertę dauginant iš sveiko skaičiaus n. Stygą dar apibūdina įtempimas - energija, tenkanti ilgio vienetui. Todėl styga turi energijos ir būdama išsitempusi apie mūsų įvestą apskritiminį matmenį. Apvijimo energijos ${\displaystyle E_{w}}$ indėlis į suminę stygos energiją yra lygus stygos įtempimui ${\displaystyle T_{stygos}}$, padaugintam iš viso apsivijusios stygos ilgio. Šios apsivijusios stygos ilgis - įvesto R spindulio apskritimo ilgis (perimetras), padaugintas iš vijų skaičiaus w, kuriuo styga apsisukusi apie apskritimą, t. y.:

${\displaystyle T_{stygos}={\frac {1}{2\pi L_{s}^{2}}},}$

${\displaystyle E_{w}=2\pi wRT_{stygos}={\frac {wR}{L_{s}^{2}}}}$.

kur

${\displaystyle L_{s}\,}$ – konstanta, vadinama fundamentiniu stygos ilgiu ir nurodanti stygų teorijų mastelį.

Taigi suminis kiekvienos n modos uždaros stygos masės kvadratas:

${\displaystyle m^{2}={\frac {n^{2}}{R^{2}}}+{\frac {w^{2}R^{2}}{\alpha ^{\prime 2}}}+...,}$

kur

vietoj daugtaškio yra narys, nusakantis vibracinių modų, sužadintų stygoje kairinio ir dešininio judėjimo kryptimis, indėlis,

${\displaystyle \alpha '=L_{s}^{2}}$

Užrašyta formulė yra (nekintanti transformacijų metu) pagal šiuos pakeitimus:

${\displaystyle R\leftrightarrow {\frac {\alpha '}{R}},\quad n\leftrightarrow w}$

Kitaip sakant, mes galime sukeisti spindulį R su ${\displaystyle {\frac {\alpha '}{R}}}$ tuo atveju, jei sukeičiame vijos modas w su kvantuotomis judesio kiekio modomis n. Šis pakeitimas ir yra T-dvilypumo pagrindas.

Teorijos išvados

Reikia pastebėti, jog jei mūsų įvesto supaprastinimo spindulys R yra daug mažesnis už stygos mastelį ${\displaystyle L_{s}}$, tai po vijos ir judesio kiekio modų pakeitimo spindulys tampa žymiai didesnis už ${\displaystyle L_{s}}$,t. y. vijos ir judesio kiekio modų pakeitimas sukeičia atstumų skalę su didelių atstumų skale. Taigi dėl T-dvilypumo skirtumas tarp didelių ir mažų atstumų tampa neaiškus: jei stygos judesio kiekio modos požiūriu kažkas atrodo kaip didelis atstumas, tai stygos vijos modos požiūriu tai atrodo kaip labai mažas atstumas.

Dvilypumo susietos superstygų teorijos

T-dvilypumo atradimas leido susieti šias superstygų teorijas:

• IIA tipo superstygų teoriją su IIB tipo superstygų teorija,
• stygų teoriją su stigų teorija.

Tai reiškia, jog jei mes aptartu būdu supaprastinsime IIA ir IIB tipo stygų teorijų erdvėlaikius, įvesdami apskritiminius matmenis su R spinduliu IIA tipo teorijai ir 1/R spinduliu IIB tipo teorijai, tai atitinkamai sukeitus spindulius bei vijos modas su judesio kiekiais, sukeisime teorijas vietomis.

Pabaigai reikia priminti, jog grįžus į normalų superstygų teorijų 10 matmenų erdvėlaikį, pagal apibrėžimą styga masės neturi. Stygų T-dualumas taip pat įrodomas ir didesnių matmenų erdvėlaikiuose, pvz., 9, 10 ar 11-oje matmenų M-teorijoje.

Taip pat skaitykite

• Stygų dvilypumas
• Supersimetrija

Šaltiniai

1. A. Giveon, M. Porrati, E. Rabinovici. „Target Space Duality in String Theory“, Physics Report, 244, 1994.
2. John Schwarz. „Introduction to Superstring Theory Archyvuota kopija 2019-07-08 iš Wayback Machine projekto.“, 2000.
3. The Official String Theory Web Site: „How are string theories related? Archyvuota kopija 2007-10-15 iš Wayback Machine projekto.“.
4. C. M. Hull, P. K. Townsend. „Unity of Superstring Dualities“, Nuclear Physiscs B 438 tomas, 1994.