Azərbaycan  AzərbaycanDeutschland  DeutschlandLietuva  LietuvaMalta  Maltaශ්‍රී ලංකාව  ශ්‍රී ලංකාවTürkmenistan  TürkmenistanTürkiyə  TürkiyəУкраина  Украина
Pagalba
www.datawiki.lt-lt.nina.az
  • Pradžia

Matematinė indukcija lot inductio paskatinimas įvedimas matematinio įrodinėjimo metodas dažniausiai naudojamas kai reiki

Matematinė indukcija

  • Pagrindinis puslapis
  • Matematinė indukcija
Matematinė indukcija
www.datawiki.lt-lt.nina.azhttps://www.datawiki.lt-lt.nina.az

Matematinė indukcija (lot. inductio – paskatinimas, įvedimas) – matematinio įrodinėjimo metodas, dažniausiai naudojamas, kai reikia parodyti, kad koks nors teiginys yra teisingas visiems natūraliesiems skaičiams. Pirmas indukcijos etapas yra įrodyti, kad pirmasis teiginys iš begalinės teiginių sekos yra teisingas. Antrasis etapas yra įrodyti, kad jei vienas teiginys yra teisingas, tai ir kitas teiginys begalinėje sekoje yra teisingas. Taip yra parodoma, kad visi sekos teiginiai pradedant pirmu yra teisingi.

Matematinės indukcijos metodas gali būti ir praplėstas labiau apibendrintų sąvokų įrodymams. Tai vadinama . Ji yra naudojama matematinėje logikoje bei kompiuterių moksle ir yra glaudžiai susijusi su rekursija.

Matematinė indukcija neturėtų būti painiojama su indukciniu samprotavimo metodu, kuris yra kritikuojamas, nes jo rezultatais niekada negalima tvirtai pasitikėti. Matematinė indukcija yra, priešingai, griežtas ir patikimas įrodinėjimo metodas ir iš tikrųjų yra forma.

Manoma, kad 370 m. pr. m. e. Platono veikale „Parmenidas“ galima rasti ankstyvąjį matematinės indukcijos įrodymo pavyzdį.

Aprašymas

Paprasčiausia ir dažniausiai naudojama matematinės indukcijos forma įrodo, kad koks nors teiginys, kuriame yra natūralusis skaičius n yra teisingas visoms n reikšmėms. Tai yra padaroma dviem etapais:

  1. Įrodoma, kad teiginys yra teisingas, kai n = 0 arba n = 1. Tai padaroma vietoje n teiginyje įsistačius atitinkamai 0 arba 1 ir įrodžius gautą reiškinį.
  2. Įrodoma, kad jeigu teiginys yra teisingas kokiam nors natūraliajam skaičiui n, tai jis yra teisingas ir sekančiam natūraliajam skaičiui n + 1. Tai padaroma teiginyje vietoje n įsistatant n + 1 ir įrodant gautą reiškinį.

Tarkime, kad aprašytu būdu įrodėme kokį nors teiginį, pirmame etape įrodę, kad jis yra teisingas su n = 1. Tai reikštų, kad antrame etape įrodėme, jog reiškinys galioja ir su n + 1. Laikykime, kad čia n = 1. Tada n + 1 reikšmė yra n + 1 = 1 + 1 = 2. Taigi teiginys galioja skaičiumi 2 arba, kitaip tariant, kai n = 2. Kadangi teiginys yra teisingas su n = 2, tai jis yra teisingas ir su n + 1, kurio reikšmė šiuo atveju jau yra n + 1 = 2 + 1 = 3 . O kadangi teiginys teisingas su n = 3, tai dėl tos pačios priežasties jis yra teisingas ir su n = 4 ir t. t. iki begalybės.

Analogiška situacija yra su krintančiai domino kauliukais. Tarkime, kad turime ilgą domino kauliukų eilę ir žinome kad:

  1. Pirmas domino kauliukas nuvirs
  2. Nukritus bet kuriam domino kauliukui nukris ir jo kaimynas.

Galime būti tikri, kad galiojant šioms taisyklėms būtinai nuvirs visi domino kauliukai.

Pavyzdys

Šiame pavyzdyje matematinės indukcijos metodu bus įrodyta, kad teiginys

0+1+2+⋯+n=n(n+1)2{\displaystyle 0+1+2+\cdots +n={\frac {n(n+1)}{2}}}

galioja visiems natūraliesiems skaičiams n. Pavadinkime tai teiginiu P(n).

Pirmasis etapas

Reikia parodyti, kad teiginys yra teisingas, kai n = 0 (arba, kitaip tariant, įrodyti P(0)):

0=0⋅(0+1)2.{\displaystyle 0={\frac {0\cdot (0+1)}{2}}\,.}

Kairiosios rankos lygybės pusė yra tiesiog lygi 0.
Dešiniosios rankos lygybės pusėje turime reiškinį 0·(0 + 1)/2. Išsprendžiame jį:

0⋅(0+1)2=0⋅12=02=0{\displaystyle {\frac {0\cdot (0+1)}{2}}\,={\frac {0\cdot 1}{2}}\,={\frac {0}{2}}\,=0}

Kadangi abi lygybės pusės lygios nuliui, teiginys P(0) yra teisingas.

Antrasis etapas

Reikia įrodyti, kad jeigu P(n) yra teisingas, tai ir P(n + 1) yra teisingas.

Visų pirma, reikia padaryti prielaidą, kad P(n) yra teisingas (kokiai nors neapibrėžtai reikšmei n). Po to reikia parodyti, kad tada ir teisingas yra ir P(n + 1), kurį galima išreikšti lygybe

0+1+2+⋯+n+(n+1)=(n+1)((n+1)+1)2{\displaystyle 0+1+2+\cdots +n+(n+1)={\frac {(n+1)((n+1)+1)}{2}}}

Pasinaudojus indukcijos hipoteze P(n) (kurią ir bandome įrodyti), kairiosios rankos lygybės pusę galima perrašyti iš

(0+1+2+⋯+n)+(n+1)=(n+1)((n+1)+1)2{\displaystyle (0+1+2+\cdots +n)+(n+1)={\frac {(n+1)((n+1)+1)}{2}}}

į

n(n+1)2+(n+1)=(n+1)((n+1)+1)2.{\displaystyle {\frac {n(n+1)}{2}}+(n+1)={\frac {(n+1)((n+1)+1)}{2}}\,.}


Šią lygybę galima įrodyti tokiais algebriniais veiksmais:

n(n+1)2+(n+1)=(n+1)(n2+1)=(n+1)(n2+22)=(n+1)(n+22)=(n+1)(n+2)2=(n+1)((n+1)+1)2.{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {n(n+1)}{2}}+(n+1)&=(n+1)\left({\frac {n}{2}}+1\right)\\&=(n+1)\left({\frac {n}{2}}+{\frac {2}{2}}\right)\\&=(n+1)\left({\frac {n+2}{2}}\right)\\&={\frac {(n+1)(n+2)}{2}}\\&={\frac {(n+1)((n+1)+1)}{2}}.\end{aligned}}}

Tai įrodo, kad teiginys P(n + 1) yra teisingas. Kadangi atlikti abu indukcijos etapai, įrodėme, kad teiginys P(n) yra teisingas visiems natūraliesiems skaičiams n, ką ir reikėjo padaryti.

Šaltiniai

  1. Acerbi, F. (2000-08-01). „Plato: Parmenides 149a7-c3. A Proof by Complete Induction?“. Archive for History of Exact Sciences. 55 (1): 57–76. doi:10.1007/s004070000020. ISSN 0003-9519.

Nuorodos

Vikižodynas
Laisvajame žodyne yra terminas Matematinė indukcija

Autorius: www.NiNa.Az

Išleidimo data: 28 Bir, 2025 / 04:11

vikipedija, wiki, lietuvos, knyga, knygos, biblioteka, straipsnis, skaityti, atsisiųsti, nemokamai atsisiųsti, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, pictu, mobilusis, porn, telefonas, android, iOS, apple, mobile telefl, samsung, iPhone, xiomi, xiaomi, redmi, pornografija, honor, oppo, Nokia, Sonya, mi, pc, web, kompiuteris, Informacija apie Matematinė indukcija, Kas yra Matematinė indukcija? Ką reiškia Matematinė indukcija?

Matematine indukcija lot inductio paskatinimas įvedimas matematinio įrodinejimo metodas dazniausiai naudojamas kai reikia parodyti kad koks nors teiginys yra teisingas visiems naturaliesiems skaiciams Pirmas indukcijos etapas yra įrodyti kad pirmasis teiginys is begalines teiginiu sekos yra teisingas Antrasis etapas yra įrodyti kad jei vienas teiginys yra teisingas tai ir kitas teiginys begalineje sekoje yra teisingas Taip yra parodoma kad visi sekos teiginiai pradedant pirmu yra teisingi Matematine indukcija primena grandinine krentanciu domino kauliuku reakcija jei nuverciame pirma kauliuka ir kiekvienas kauliukas nuvercia kita kauliuka tai visi kauliukai bus nuversti Matematines indukcijos metodas gali buti ir praplestas labiau apibendrintu savoku įrodymams Tai vadinama Ji yra naudojama matematineje logikoje bei kompiuteriu moksle ir yra glaudziai susijusi su rekursija Matematine indukcija neturetu buti painiojama su indukciniu samprotavimo metodu kuris yra kritikuojamas nes jo rezultatais niekada negalima tvirtai pasitiketi Matematine indukcija yra priesingai grieztas ir patikimas įrodinejimo metodas ir is tikruju yra forma Manoma kad 370 m pr m e Platono veikale Parmenidas galima rasti ankstyvajį matematines indukcijos įrodymo pavyzdį AprasymasPaprasciausia ir dazniausiai naudojama matematines indukcijos forma įrodo kad koks nors teiginys kuriame yra naturalusis skaicius n yra teisingas visoms n reiksmems Tai yra padaroma dviem etapais Įrodoma kad teiginys yra teisingas kai n 0 arba n 1 Tai padaroma vietoje n teiginyje įsistacius atitinkamai 0 arba 1 ir įrodzius gauta reiskinį Įrodoma kad jeigu teiginys yra teisingas kokiam nors naturaliajam skaiciui n tai jis yra teisingas ir sekanciam naturaliajam skaiciui n 1 Tai padaroma teiginyje vietoje n įsistatant n 1 ir įrodant gauta reiskinį Tarkime kad aprasytu budu įrodeme kokį nors teiginį pirmame etape įrode kad jis yra teisingas su n 1 Tai reikstu kad antrame etape įrodeme jog reiskinys galioja ir su n 1 Laikykime kad cia n 1 Tada n 1 reiksme yra n 1 1 1 2 Taigi teiginys galioja skaiciumi 2 arba kitaip tariant kai n 2 Kadangi teiginys yra teisingas su n 2 tai jis yra teisingas ir su n 1 kurio reiksme siuo atveju jau yra n 1 2 1 3 O kadangi teiginys teisingas su n 3 tai del tos pacios priezasties jis yra teisingas ir su n 4 ir t t iki begalybes Analogiska situacija yra su krintanciai domino kauliukais Tarkime kad turime ilga domino kauliuku eile ir zinome kad Pirmas domino kauliukas nuvirs Nukritus bet kuriam domino kauliukui nukris ir jo kaimynas Galime buti tikri kad galiojant sioms taisyklems butinai nuvirs visi domino kauliukai PavyzdysSiame pavyzdyje matematines indukcijos metodu bus įrodyta kad teiginys 0 1 2 n n n 1 2 displaystyle 0 1 2 cdots n frac n n 1 2 galioja visiems naturaliesiems skaiciams n Pavadinkime tai teiginiu P n Pirmasis etapas Reikia parodyti kad teiginys yra teisingas kai n 0 arba kitaip tariant įrodyti P 0 0 0 0 1 2 displaystyle 0 frac 0 cdot 0 1 2 Kairiosios rankos lygybes puse yra tiesiog lygi 0 Desiniosios rankos lygybes puseje turime reiskinį 0 0 1 2 Issprendziame jį 0 0 1 2 0 12 02 0 displaystyle frac 0 cdot 0 1 2 frac 0 cdot 1 2 frac 0 2 0 Kadangi abi lygybes puses lygios nuliui teiginys P 0 yra teisingas Antrasis etapas Reikia įrodyti kad jeigu P n yra teisingas tai ir P n 1 yra teisingas Visu pirma reikia padaryti prielaida kad P n yra teisingas kokiai nors neapibreztai reiksmei n Po to reikia parodyti kad tada ir teisingas yra ir P n 1 kurį galima isreiksti lygybe 0 1 2 n n 1 n 1 n 1 1 2 displaystyle 0 1 2 cdots n n 1 frac n 1 n 1 1 2 Pasinaudojus indukcijos hipoteze P n kuria ir bandome įrodyti kairiosios rankos lygybes puse galima perrasyti is 0 1 2 n n 1 n 1 n 1 1 2 displaystyle 0 1 2 cdots n n 1 frac n 1 n 1 1 2 į n n 1 2 n 1 n 1 n 1 1 2 displaystyle frac n n 1 2 n 1 frac n 1 n 1 1 2 Sia lygybe galima įrodyti tokiais algebriniais veiksmais n n 1 2 n 1 n 1 n2 1 n 1 n2 22 n 1 n 22 n 1 n 2 2 n 1 n 1 1 2 displaystyle begin aligned frac n n 1 2 n 1 amp n 1 left frac n 2 1 right amp n 1 left frac n 2 frac 2 2 right amp n 1 left frac n 2 2 right amp frac n 1 n 2 2 amp frac n 1 n 1 1 2 end aligned Tai įrodo kad teiginys P n 1 yra teisingas Kadangi atlikti abu indukcijos etapai įrodeme kad teiginys P n yra teisingas visiems naturaliesiems skaiciams n ka ir reikejo padaryti SaltiniaiAcerbi F 2000 08 01 Plato Parmenides 149a7 c3 A Proof by Complete Induction Archive for History of Exact Sciences 55 1 57 76 doi 10 1007 s004070000020 ISSN 0003 9519 NuorodosVikizodynas Laisvajame zodyne yra terminas Matematine indukcija

Naujausi straipsniai
  • Birželis 25, 2025

    Gėlių Slėnio nacionalinis parkas

  • Birželis 12, 2025

    Gėlininkystė

  • Birželis 23, 2025

    Gyslotinis dumblialaiškis

  • Birželis 27, 2025

    Gyslotiniai

  • Birželis 29, 2025

    Gynybos ministerija

www.NiNa.Az - Studija

    Susisiekite
    Kalbos
    Susisiekite su mumis
    DMCA Sitemap
    © 2019 nina.az - Visos teisės saugomos.
    Autorių teisės: Dadash Mammadov
    Nemokama svetainė, kurioje galima dalytis duomenimis ir failais iš viso pasaulio.
    Viršuje