Koši-Rymano sąlygos

Koši–Rymano sąlygos tai dviejų diferencialinių lygčių dalinėmis išvestinėmis sistema, apibrėžianti kompleksinio kintamojo holomorfinę (arba kitais žodžiais - analizinę) funkciją. Šią lygčių sistemą pirmą kartą užrašė Žanas Leronas Dalamberas 1752 metais. Kiek vėliau, 1797 metais, Leonardas Oileris susiejo šią sistemą su analizinėmis funkcijomis. 1814 metais Koši panaudojo jas konstruodamas savo funkcijų teoriją. 1851 metais šios lygtys buvo panaudotos ir Rymano disertacijoje vystant funkcijų teorijos pagrindus.

Koši-Rymano sąlygos tai yra dviejų diferencialinių lygčių sistema susiejanti kompleksinės funkcijos f(x + iy) = u(x,y) + iv(x,y) realiąją u(x,y) ir menamąją v(x,y) dalis:

(1a)	${\displaystyle {\dfrac {\partial u}{\partial x}}={\dfrac {\partial v}{\partial y}}}$
(1b)	${\displaystyle {\dfrac {\partial u}{\partial y}}=-{\dfrac {\partial v}{\partial x}}}$

Geometrinė Koši-Rymano sąlygų prasmė

Tarus, kad u(x,y) ir v(x,y) yra tam tikros kreivių šeimos, Koši-Rymano sąlygos atitinka konforminio atvaizdo apibrėžimui (konforminės funkcijos tai yra tokios funkcijos, kurios nekeičia kampų tarp kreivių u ir v).

Kompleksinis diferencijavimas

Tarkime, kad

${\displaystyle f(z)=u(z)+i\cdot v(z)}$

yra kompleksinio kintamojo z funkcija. Tuomet funkcijos f išvestinę taške z₀ apibrėšime kaip ribą:

${\displaystyle \lim _{\underset {h\in \mathbf {C} }{h\to 0}}{\frac {f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}}=f'(z_{0})}$

Jei ši riba egzistuoja, ją galime skaičiuoti išilgai realiosios arba išilgai menamosios ašies. Abiem atvejais tikėtumėmės kad jos turi sutapti. Taigi, artėdami prie jos išilgai realiosios ašies gausime:

${\displaystyle \lim _{\underset {h\in \mathbf {R} }{h\to 0}}{\frac {f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}}={\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{0}).}$

O artėdami prie jos išilgai menamosios ašies gauname:

${\displaystyle \lim _{\underset {h\in \mathbf {R} }{h\to 0}}{\frac {f(z_{0}+ih)-f(z_{0})}{ih}}={\frac {1}{i}}{\frac {\partial f}{\partial y}}(z_{0}).}$

f išvestinių lygybė išilgai abiejų ašių duoda mums kitokią Koši-Rymano sąlygų formuluotę:

${\displaystyle i{\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{0})={\frac {\partial f}{\partial y}}(z_{0}),}$

Fizikinė interpretacija

Tarkime, kad u ir v tenkina Koši-Rymano sąlygas ir gali būti užrašytos kaip vektorius

${\displaystyle {\bar {f}}={\begin{bmatrix}u\\-v\end{bmatrix}}}$

Tuomet Koši-Rymano sąlyga (1b) teigia, kad ${\displaystyle {\bar {f}}}$ yra besūkurinis laukas (jo rotorius lygus 0):

${\displaystyle {\frac {\partial (-v)}{\partial x}}-{\frac {\partial u}{\partial y}}=0.}$

Koši-Rymano sąlyga (1a) teigia, kad ${\displaystyle {\bar {f}}}$ yra solenoidinis laukas (jo divergencija lygi 0):

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial (-v)}{\partial y}}=0.}$

Kitais žodiais tariant, toks laukas yra be sūkurių, šaltinių ir sankaupų.

Trigonometrinė forma

Užrašant kompleksinę funkciją trigonometrinėje formoje z = r e^iθ, Koši-Rymano sąlygos bus

${\displaystyle {\partial u \over \partial r}={1 \over r}{\partial v \over \partial \theta },\quad {\partial v \over \partial r}=-{1 \over r}{\partial u \over \partial \theta }.}$

Arba tai gali būti pateikiama viena lygtimi dėl f išvestinės:

${\displaystyle {\partial f \over \partial r}={1 \over ir}{\partial f \over \partial \theta }.}$