Gryno formulė

Buvo pasiūlyta šį straipsnį ar skyrių, kaip parašytą vadovėlio stiliumi, perkelti į Vikiknygas. Taip pat galite šį straipsnį pritaikyti Vikipedijai - perrašyti enciklopediniu stiliumi.

Gryno formulė nustato ryšį tarp dvilypio integralo ir kreivinio integralo antrojo tipo.

${\displaystyle \iint _{D}({\partial Q \over \partial x}-{\partial P \over \partial y})dxdy=\oint _{L}Pdx+Qdy.}$

čia integracijos kelias išilgai ${\displaystyle L}$ yra prieš laikrodžio rodyklę.

Pavyzdžiai

• Su Gryno formule apskaičiuosime kreivinį integralą ${\displaystyle \oint _{L}(x-y)dx+(x+y)dy,}$ kur L - apskritimas ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}.}$

Funkcijos ${\displaystyle P(x,y)=x-y,}$ ${\displaystyle Q(x,y)=x+y}$ ir ${\displaystyle {\partial P \over \partial y}=-1,\;{\partial Q \over \partial x}=1}$ netrūkios uždarame rate ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}.}$ Todėl pagal Gryno teoremą turime (${\displaystyle \rho ^{2}=R^{2},}$ ${\displaystyle \rho =R}$):

${\displaystyle \oint _{L}(x-y)dx+(x+y)dy=\iint _{D}[1-(-1)]dxdy=2\iint _{D}dxdy=2s=2\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{R}\rho d\rho =}$ ${\displaystyle =\int _{0}^{2\pi }\rho ^{2}|_{0}^{R}d\phi =R^{2}\int _{0}^{2\pi }d\phi =R^{2}\phi |_{0}^{2\pi }=2\pi R^{2}.}$

• Taikydami Gryno formulę, apskaičiuokime kreivinį integralą

${\displaystyle \int _{L}xydx+(x^{2}+y^{2})dy,}$ kai L - apskritimas ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=ax}$ (a>0), apeinamas teigiama kryptimi. Kadangi skritulyje ${\displaystyle x^{2}+y^{2}\leq ax}$ funkcijos ${\displaystyle P(x,y)=xy}$ ir ${\displaystyle Q(x,y)=x^{2}+y^{2}}$ bei jų dalinės išvestinės ${\displaystyle {\partial P \over \partial y}=x}$ ir ${\displaystyle {\partial Q \over \partial x}=2x}$ yra tolydžios, tai duotajam kreiviniam integralui galima taikyti Gryno formulę. Turime: ${\displaystyle \int _{L}xydx+(x^{2}+y^{2})dy=\iint _{D}(2x-x)dxdy=\iint _{D}xdxdy.}$ Dvilypį integralą pakeisime kartotiniu polinėje koordinačių sistemoje, turėdami galvoje, kad apskritimas apeinamas teigiama kryptimi (prieš laikrodžio rodykle). Tuomet kampas ${\displaystyle \phi }$ kinta nuo ${\displaystyle -{\pi \over 2}}$ iki ${\displaystyle {\pi \over 2}.}$ Vadinasi (${\displaystyle x=\rho \cos \phi ,}$ ${\displaystyle \rho ^{2}=a\rho \cos \phi ,}$ ${\displaystyle \rho =a\cos \phi }$), ${\displaystyle \int _{D}xdxdy=\iint _{D}\rho ^{2}\cos \phi d\rho d\phi =\int _{-{\pi \over 2}}^{\pi \over 2}\cos \phi d\phi \int _{0}^{a\cos \phi }\rho ^{2}d\rho =\int _{-{\pi \over 2}}^{\pi \over 2}\cos \phi {\rho ^{3} \over 3}|_{0}^{a\cos \phi }d\phi =}$ ${\displaystyle ={a^{3} \over 3}\int _{-{\pi \over 2}}^{\pi \over 2}\cos ^{4}\phi d\phi ={2a^{3} \over 3}\int _{0}^{\pi \over 2}\cos ^{4}\phi d\phi ={2a^{3} \over 3}\cdot {3!! \over 4!!}\cdot {\pi \over 2}={\pi a^{3} \over 8},}$ kur pasinaudojome dvigubu faktorialu.

Ploto apskaičiavimas

Plotui apskaičiuoti ploksčios srities naudojamos tokios formulės: ${\displaystyle D=\oint _{L}-ydx=\oint _{L}xdy={1 \over 2}\oint _{L}xdy-ydx.}$ Jos išvedamos šitaip:

${\displaystyle \iint _{D}({\partial Q \over \partial x}-{\partial P \over \partial y})dxdy=\oint _{L}Pdx+Qdy.}$

• Pritaikysim Gryno formulę apskaičiavimui srities D (ploksčios figūros ploto). Jei ${\displaystyle P(x,y)=-y,}$ ${\displaystyle Q(x,y)=0.}$ Tada ${\displaystyle {\partial P \over \partial y}=-1,\;{\partial Q \over \partial x}=0.}$ Pagal formulę turime:

${\displaystyle \iint _{D}(0+1)dxdy=\oint _{L}-ydx+0dy.}$ Integralas ${\displaystyle \iint _{D}dxdy}$ lygus paaviršiui srities D , todėl, ${\displaystyle D=\iint _{D}dxdy=-\oint _{L}ydx.}$

• Sakykime, ${\displaystyle P(x,y)=0,}$ ${\displaystyle Q(x,y)=x,}$ analoginiu budu randame, kad

${\displaystyle D=\oint _{L}xdy.}$

• Ir, pagaliau, paėmę funkcijas ${\displaystyle P(x,y)=-{1 \over 2}y,\;Q(x,y)={1 \over 2}x,}$ gauname formulę

${\displaystyle D=\iint _{D}({1 \over 2}+{1 \over 2})dxdy=\iint _{D}dxdy={1 \over 2}\oint _{L}xdy-ydx.}$

Pavyzdžiai

• Apskaičiuosime plotą apribotą elipse ${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}=1,}$ pagal formulę ${\displaystyle D=\oint _{L}xdy.}$ Panaudoję parametrinę lygtį elipsės: ${\displaystyle x=a\cos t,}$ ${\displaystyle y=b\sin t,}$ ${\displaystyle 0\leq t\leq 2\pi ,}$ ${\displaystyle dy=b\cos t,}$ gauname:

${\displaystyle D=\oint _{L}xdy=\int _{0}^{2\pi }a\cos tb\cos tdt={ab \over 2}\int _{0}^{2\pi }(1+\cos(2t))dt={ab \over 2}(2\pi +{\sin(2t) \over 2}|_{0}^{2\pi })=\pi ab.}$

Jėgos darbas

Jėgos darbas padarytas judant kreive plokštumoje apskaičiuojamas pagal formulę ${\displaystyle A=\int _{BC}Pdx+Qdy.}$ Jėgos darbas padarytas judant erdvine kreive apskaičiuojamas taip: ${\displaystyle A=\int _{BC}Pdx+Qdy+Rdz.}$

• Apskaičiuosime darbą jėgos ${\displaystyle F(x,y)}$ persikeliant materialiam taškui elipse teigiama kryptimi, jeigu jėga kiekviename taške (x; y) elipsės nukreipta į elipsės centrą ir pagal dydį lygi atstumui nuo taško (x; y) iki elipsės centro.

Pagal sąlyga, ${\displaystyle |F(x,y)|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}};}$ Jėgos F(x, y) koordinatės tokios: ${\displaystyle P=-x,}$ ${\displaystyle Q=-y}$ [ženklas "${\displaystyle -}$" paaiškinamas tuo, kad jėga nukreipta į tašką (0; 0)]. Pagal formulę turime ${\displaystyle A=-\oint _{L}xdx+ydy,}$ kur L - elipsė ${\displaystyle x=a\cos t,}$ ${\displaystyle y=b\sin t,}$ ${\displaystyle 0\leq t\leq 2\pi .}$ Todėl

${\displaystyle A=-\int _{0}^{2\pi }a\cos t(-a\sin t)dt+b\sin tb\cos tdt=-\int _{0}^{2\pi }(b^{2}-a^{2})\sin t\cos tdt=}$ ${\displaystyle ={a^{2}-b^{2} \over 2}\int _{0}^{2\pi }\sin(2t)dt={a^{2}-b^{2} \over 4}(-\cos(2t))|_{0}^{2\pi }=0.}$

Jei t keistusi nuo 0 iki ${\displaystyle {\pi \over 2},}$ integralas butu lygus ${\displaystyle {a^{2}-b^{2} \over 4}(-\cos(2t))|_{0}^{\pi \over 2}={a^{2}-b^{2} \over 2}.}$

Taip pat skaitykite

• Antrojo tipo kreivinis integralas
• Pilnųjų diferencialų integravimas
• Apibrėžtinis integralas