Darbu integralas

Darbu (Darboux) sumos – dvi sąvokos, naudojamos apibrėžiant Rymano integralą. Šiomis sumomis apibrėžiamas ir Darbu integralas, kurio apibrėžimas lengvai išplečiamas iki . Sąvokas pirmą kartą panaudojo .

Apatinė Darbu suma

Tegul funkcija ${\displaystyle f(x)}$ apibrėžta intervale ${\displaystyle [a;b]}$. Šis intervalas suskaidomas tokiu būdu:

${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<\dots <x_{n-1}<x_{n}=b}$

Gautų intervalų ilgiai žymimi ${\displaystyle \delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1}}$. Jų iš viso yra ${\displaystyle n}$. Ilgiausio gabaliuko ilgis žymimas ${\displaystyle \Delta }$.

Toks intervalo skaidinys vadinamas ${\displaystyle T}$. Apibrėžiami tokie taškai:

${\displaystyle m_{i}=\inf _{[x_{i-1};x_{i}]}f(x)}$

T. y., kiekviename intervalo skaidinio gabaliuke surandama mažiausia funkcijos reikšmė. Sudaroma tokia suma:

${\displaystyle s(T)=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\Delta x_{i}}$.

Ši suma ir vadinama apatine Darbu suma, ji yra intervalo skaidinio ${\displaystyle T}$ funkcija, t. y. ji priklauso nuo to, kokiu būdu skaidomas intervalas ${\displaystyle [a;b]}$. Geometrinė apatinės Darbu sumos prasmė yra stačiakampių, besiremiančių į kreivinę trapeciją iš apačios, plotų suma. Šių stačiakampių pločiai priklauso nuo to, kaip skaidomas intervalas, t. y. nuo ${\displaystyle T}$.

Viršutinė Darbu suma

Viršutinė Darbu sumą apibrėžiama labai panašiai. Intervalas ${\displaystyle [a;b]}$ skaidomas tokiu pat būdu ir pasirenkami tokie taškai:

${\displaystyle M_{i}=\sup _{[x_{i-1};x_{i}]}f(x)}$

T.y. didžiausias funkcijos reikšmes kiekviename intervalo gabaliuke. Analogiškai sudaroma suma

${\displaystyle S(T)=\sum _{mn=1}^{n}M_{i}\Delta x_{i}}$.

Ši suma irgi priklauso nuo intervalo skaidymo būdo ${\displaystyle T}$. Geometriškai ji yra kreivinę trapeciją iš viršaus ribojančių stačiakampių plotų suma.

Darbu sumų savybės

Abi Darbu sumos pasižymi tokiomis savybėmis:

• ${\displaystyle S(T_{1})\geq s(T_{2})\;\forall T_{1},T_{2}}$, t. y., kad ir kaip bebūtų skaidomas intervalas, viršutinė suma visada bus ne mažesnė už apatinę.
• Pridėjus naujus skaidymo taškus prie esamo skaidinio, apatinė Darbu suma gali tik padidėti, o viršutinė – tik sumažėti.

Šios savybės yra akivaizdžios geometriškai.

Apibrėžiami ir tokie dydžiai:

${\displaystyle {\underline {I}}=\sup _{T}s(T)}$ – didžiausia įmanoma apatinė Darbu suma.

${\displaystyle {\overline {I}}=\inf _{T}S(T)}$ – mažiausia įmanoma viršutinė Darbu suma.

Šie dydžiai pasižymi tokiomis savybėmis:

• ${\displaystyle {\underline {I}}\leq {\overline {I}}}$
• ${\displaystyle \lim _{\Delta \rightarrow 0}s(T)={\underline {I}}}$ ir ${\displaystyle \lim _{\Delta \rightarrow 0}S(T)={\overline {I}}}$, t. y. gabaliukų ilgiams be galo mažėjant, atitinkamos sumos pasiekia savo mažiausią ir didžiausią įmanomas vertes.

Paskutinė savybė dar vadinama Darbu lema.

Šaltiniai

1. Rudin, W. (1976). Principles of Mathematical Analysis (3rd. edition). New York: McGraw-Hill. pp. 120–122. ISBN 007054235X.

Nuorodos

• Darboux Integral