Azərbaycan
Deutschland
Lietuva
Malta
ශ්රී ලංකාව
Türkmenistan
Türkiyə
Украина
Bertrano paradoksas arba Bertrano uždavinys yra problema su klasikine tikimybių teorijos interpretacija Paradoksas parod
Bertrano paradoksas
Bertrano paradoksas (arba Bertrano uždavinys) yra problema su klasikine tikimybių teorijos interpretacija. Paradoksas parodo, kad galima gauti skirtingus to paties tikimybių teorijos uždavinio atsakymus, jei atsitiktinį kintamąjį nusakantis mechanizmas nėra aiškiai suformuluotas. Uždavinys yra pavadintas jį suformulavusio matematiko vardu.
Uždavinys
Bertrano uždavinys formuluojamas taip: lygiakraštis trikampis (arba trikampis, kurio visos kraštinės yra lygios) yra įbrėžtas į apskritimą. Tarkime, kad yra atsitiktinai parenkama apskritimo styga. Kokia yra tikimybė, kad ta atsitiktinai parinkta styga yra ilgesnė už įbrėžto trikampio kraštinę?
Sprendimai
Bertranas šį uždavinį išsprendė trimis skirtingais ir, atrodytų, teisingais būdais, kurie pateikia skirtingus atsakymus:
Atsitiktinių stygos galų metodas
Atsitiktinai pasirenkame tašką apskritimo lanke (arba, kitaip tariant, pakraštyje) ir pasukame įbrėžtą trikampį taip, kad parinktas taškas sutaptų su viena iš jo viršūnių, kurią pažymime raide A. Atsitiktinai pasirenkame dar vieną apskritimo lanko tašką ir tuos du taškus sujungiame. Gauta styga bus ilgesnė tada ir tik tada, kai antrasis atsitiktinai parinktas taškas papuls į lanką tarp trikampio viršūnių B ir C. Kadangi šis lankas užima 1/3 apskritimo lanko ilgio, tikimybė, kad atsitiktinai parinkta styga bus ilgesnė už trikampio kraštinę, yra 1/3.
Atsitiktinio spindulio metodas
Atsitiktinai parenkame apskritimo spindulį ir pasukame trikampį taip, kad viena iš jo kraštinių būtų statmena parinktam spinduliui. Atsitiktinai parenkame tašką ant spindulio ir nubrėžiame stygą, kuriai parinktas spindulio taškas bus centru (ši styga spinduliui bus statmena). Tokia styga yra ilgesnė už įbrėžto trikampio kraštinę tada ir tik tada, kai atsitiktinai parinktas spindulio taškas yra arčiau apskritimo centro nei taškas, kuriame trikampis susikerta su spinduliu. Kadangi trikampio kraštinė dalija spindulį į dvi lygias dalis, tikimybė, kad atsitiktinai parinkta styga bus ilgesnė už trikampio kraštinę, yra lygi 1/2.
Atsitiktinio vidurio taško metodas
Atsitiktinai parenkame tašką bet kur apskritime ir nubrėžiame stygą, kuriai tas taškas bus viduriniu. Styga bus ilgesnė už įbrėžto trikampio kraštinę tada ir tik tada, kai ji pateks į apskritimą, kuris yra įbrėžtas į trikampį. Taip yra todėl, kad visos apskritimą liečiančios stygos yra vienodo ilgio, kuris yra lygus trikampio kraštinei, nes ji irgi yra apskritimą liečianti styga. Mažesniojo skritulio plotas yra keturis kartus mažesnis nei didesniojo skritulio, todėl tikimybė, kad atsitiktinai parinkta styga bus ilgesnė už trikampio kraštinę, yra lygi 1/4.
Skirtingų atsitiktinių stygos parinkimų vizualizacijos
Skirtumai tarp trijų pasirinkimo metodų gali būti parodyti brėžiniais, kurie sudaryti atsitiktinai parinkus didelį kiekį stygų nurodytais metodais. Styga yra unikaliai apibrėžiama nusakant jos vidurio tašką. Kiekvienas iš trijų aprašytų metodų sukuria skirtingą stygų vidurio taškų išsidėstymą skritulyje. Iš brėžinių matome, kad pirmuoju ir antruoju metodais parinktų stygų vidurio taškai yra pasiskirstę po skritulį netolygiai, o trečiuoju (atsitiktinio vidurio taško) metodu - tolygiai. Iš kitos pusės, iš žemiau pateiktų pačių atsitiktinai parinktų stygų grafikų galima matyti, kad antruoju (atsitiktinio spindulio) metodu parinktos stygos nuspalvina skritulį tolygiai, o trečiuoju ir pirmuoju metodu parinktos stygos - netolygiai.
Klasikinis paradokso sprendimas
Paradoksas rodo, kad tikimybių teorijos uždaviniuose visada reikia tiksliai apibrėžti, ką reiškia žodis „atsitiktinai“. Pasirodo, kad uždavinys turi gerai apibrėžtą atsakymą tik jei yra sukonkretinta, koks atsitiktinio pasirinkimo metodas yra naudojamas. Šiuo atveju uždavinyje nėra nurodytas joks unikalus stygų parinkimo metodas, todėl uždavinys neturi ir unikalaus teisingo sprendimo. Bertrano sprendimo metodų atsakymai kaip tik ir skiriasi dėl skirtingų parinkimo metodų ir jei uždavinyje nėra nurodyta daugiau sąlygų, nėra jokios priežasties vieną iš metodų laikyti geresniu ar teisingesniu už kurį nors kitą. Šis ir kiti klasikinės tikimybės paradoksai privertė matematikus suformuluoti griežtesnius tikimybės apibrėžimus.
Šaltiniai
- Jonas Kubilius - Tikimybių teorija ir matematinė statistika (Antras leidimas, 1996 m., Vilniaus Universiteto leidykla)
- Joseph Louis François Bertrand - Calcul des probabilités {1888 m.)
Autorius: www.NiNa.Az
Išleidimo data:
vikipedija, wiki, lietuvos, knyga, knygos, biblioteka, straipsnis, skaityti, atsisiųsti, nemokamai atsisiųsti, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, pictu, mobilusis, porn, telefonas, android, iOS, apple, mobile telefl, samsung, iPhone, xiomi, xiaomi, redmi, pornografija, honor, oppo, Nokia, Sonya, mi, pc, web, kompiuteris, Informacija apie Bertrano paradoksas, Kas yra Bertrano paradoksas? Ką reiškia Bertrano paradoksas?
Bertrano paradoksas arba Bertrano uzdavinys yra problema su klasikine tikimybiu teorijos interpretacija Paradoksas parodo kad galima gauti skirtingus to paties tikimybiu teorijos uzdavinio atsakymus jei atsitiktinį kintamajį nusakantis mechanizmas nera aiskiai suformuluotas Uzdavinys yra pavadintas jį suformulavusio matematiko vardu UzdavinysBertrano uzdavinys formuluojamas taip lygiakrastis trikampis arba trikampis kurio visos krastines yra lygios yra įbreztas į apskritima Tarkime kad yra atsitiktinai parenkama apskritimo styga Kokia yra tikimybe kad ta atsitiktinai parinkta styga yra ilgesne uz įbrezto trikampio krastine SprendimaiBertranas sį uzdavinį issprende trimis skirtingais ir atrodytu teisingais budais kurie pateikia skirtingus atsakymus Raudonos apskritimo stygos patenka į lanka tarp B ir C virsuniu todel yra ilgesnes uz trikampio krastine o melynos nepatenka į minetajį lanka tad yra trumpesnes Atsitiktiniu stygos galu metodas Atsitiktinai pasirenkame taska apskritimo lanke arba kitaip tariant pakrastyje ir pasukame įbrezta trikampį taip kad parinktas taskas sutaptu su viena is jo virsuniu kuria pazymime raide A Atsitiktinai pasirenkame dar viena apskritimo lanko taska ir tuos du taskus sujungiame Gauta styga bus ilgesne tada ir tik tada kai antrasis atsitiktinai parinktas taskas papuls į lanka tarp trikampio virsuniu B ir C Kadangi sis lankas uzima 1 3 apskritimo lanko ilgio tikimybe kad atsitiktinai parinkta styga bus ilgesne uz trikampio krastine yra 1 3 Atsitiktinio spindulio metodas Raudonos stygos arciau apskritimo centro nei trikampio ir spindulio susikirtimo taskas todel jos yra ilgesnes uz trikampio krastine Atsitiktinai parenkame apskritimo spindulį ir pasukame trikampį taip kad viena is jo krastiniu butu statmena parinktam spinduliui Atsitiktinai parenkame taska ant spindulio ir nubreziame styga kuriai parinktas spindulio taskas bus centru si styga spinduliui bus statmena Tokia styga yra ilgesne uz įbrezto trikampio krastine tada ir tik tada kai atsitiktinai parinktas spindulio taskas yra arciau apskritimo centro nei taskas kuriame trikampis susikerta su spinduliu Kadangi trikampio krastine dalija spindulį į dvi lygias dalis tikimybe kad atsitiktinai parinkta styga bus ilgesne uz trikampio krastine yra lygi 1 2 Atsitiktinio vidurio tasko metodas Raudonu liniju centras yra mazesniojo apskritimo viduje todel jos yra ilgesnes uz trikampio krastine Atsitiktinai parenkame taska bet kur apskritime ir nubreziame styga kuriai tas taskas bus viduriniu Styga bus ilgesne uz įbrezto trikampio krastine tada ir tik tada kai ji pateks į apskritima kuris yra įbreztas į trikampį Taip yra todel kad visos apskritima lieciancios stygos yra vienodo ilgio kuris yra lygus trikampio krastinei nes ji irgi yra apskritima liecianti styga Mazesniojo skritulio plotas yra keturis kartus mazesnis nei didesniojo skritulio todel tikimybe kad atsitiktinai parinkta styga bus ilgesne uz trikampio krastine yra lygi 1 4 Skirtingu atsitiktiniu stygos parinkimu vizualizacijosSkirtumai tarp triju pasirinkimo metodu gali buti parodyti breziniais kurie sudaryti atsitiktinai parinkus didelį kiekį stygu nurodytais metodais Styga yra unikaliai apibreziama nusakant jos vidurio taska Kiekvienas is triju aprasytu metodu sukuria skirtinga stygu vidurio tasku issidestyma skritulyje Is breziniu matome kad pirmuoju ir antruoju metodais parinktu stygu vidurio taskai yra pasiskirste po skritulį netolygiai o treciuoju atsitiktinio vidurio tasko metodu tolygiai Is kitos puses is zemiau pateiktu paciu atsitiktinai parinktu stygu grafiku galima matyti kad antruoju atsitiktinio spindulio metodu parinktos stygos nuspalvina skritulį tolygiai o treciuoju ir pirmuoju metodu parinktos stygos netolygiai Pirmuoju atsitiktiniu stygos galu metodu parinktu stygu vidurio taskai Antruoju atsitiktinio spindulio metodu parinktu stygu vidurio taskai Treciuoju atsitiktinio vidurio tasko metodu parinktu stygu vidurio taskai Pirmuoju metodu atsitiktinai parinktos stygos Antruoju metodu atsitiktinai parinktos stygos Treciuoju metodu atsitiktinai parinktos stygosKlasikinis paradokso sprendimasParadoksas rodo kad tikimybiu teorijos uzdaviniuose visada reikia tiksliai apibrezti ka reiskia zodis atsitiktinai Pasirodo kad uzdavinys turi gerai apibrezta atsakyma tik jei yra sukonkretinta koks atsitiktinio pasirinkimo metodas yra naudojamas Siuo atveju uzdavinyje nera nurodytas joks unikalus stygu parinkimo metodas todel uzdavinys neturi ir unikalaus teisingo sprendimo Bertrano sprendimo metodu atsakymai kaip tik ir skiriasi del skirtingu parinkimo metodu ir jei uzdavinyje nera nurodyta daugiau salygu nera jokios priezasties viena is metodu laikyti geresniu ar teisingesniu uz kurį nors kita Sis ir kiti klasikines tikimybes paradoksai priverte matematikus suformuluoti grieztesnius tikimybes apibrezimus SaltiniaiJonas Kubilius Tikimybiu teorija ir matematine statistika Antras leidimas 1996 m Vilniaus Universiteto leidykla Joseph Louis Francois Bertrand Calcul des probabilites 1888 m