Automorfizmas

Homomorfizmas matematikoje reiškia atvaizdį tarp dviejų algebrinių objektų (pvz., grupių, vektorinių erdvių), išsaugantį tų objektų struktūrą ir juose apibrėžtas operacijas (). Žodis homomorfizmas kilęs iš gr. homo, reiškiančio „tas pat“ ir morphi, reiškiančio „forma“. Nepainioti su terminu homeomorfizmas.

Populiarus įvadas

Algebra nagrinėja aibes su jose įvestomis operacijomis (kompozicijos dėsniais). Įdomiausi yra atvaizdžiai, kurie išsaugo tas operacijas. Tokie atvaizdžiai vadinami homomorfizmais (kartais tiesiog morfizmais, nors iš tiesų tai yra platesnis terminas).

Pavyzdžiui, panagrinėkime natūraliuosius skaičius ir sudėties operaciją. Atvaizdis (funkcija) f, kuri išsaugo sudėties operaciją turi turėti savybę: f(a + b) = f(a) + f(b). Tarkime, f(x) = 3x yra toks homomorfizmas, kadangi f(a + b) = 3(a + b) = 3a + 3b = f(a) + f(b). Šis homomorfizmas atvaizduoja natūraliuosius skaičius atgal į juos pačius.

Tačiau homomorfizmai nebūtinai turi būti atvaizdžiai tarp aibių su tokiomis pat operacijomis. Tarkim egzistuoja homomorfizmas tarp realiųjų skaičių su sudėties operacija ir tarp teigiamų realiųjų skaičių su daugybos operacija: f(a + b) = f(a) * f(b). Šiuo atveju apibrėžkime f, kaip eksponentinę funkciją f(x) = e^x. Tuomet 2 + 3 = 5 transformuojasi į e² * e³ = e⁵.

Ypatingai svarbi homomorfizmų savybė yra ta, kad jei vienoje aibėje yra (kitaip – ), jis visuomet yra atvaizduojamas į kitos aibės neutralųjį (vienetinį) elementą. Tarkim pirmame pavyzdyje f(0) = 0, o antrame f(0) = 1 (0 yra vienetas sudėčiai, 1 yra vienetas daugybai).

Jeigu aibėje yra keli kompozicijos dėsniai (tarkim sudėtis ir daugyba), tai homomorfizmas turėtų išsaugoti jas abi (antraip tai nebus homomorfizmas).

Apibrėžimas

Homomorfizmas tai yra atvaizdis iš vieno algebrinio objekto į kitą, išsaugantis struktūrą (tokią kaip vienetinis elementas, atvirkštiniai elementai) ir kompozicijos dėsnius.

Nagrinėkime dvi aibes ${\displaystyle X}$ ir ${\displaystyle Y}$ turinčias po vieną kompozicijos dėsnį ${\displaystyle (X,\cdot )\!\,}$, ${\displaystyle (Y,\circ )}$ tuomet homomorfizmas ${\displaystyle \phi :X\rightarrow Y}$ bus

${\displaystyle \phi (x_{1}\cdot x_{2})=\phi (x_{1})\circ \phi (x_{2})}$,

kur ${\displaystyle \cdot }$ yra kompozicijos dėsnis ${\displaystyle X}$, o ${\displaystyle \circ }$ kompozicijos dėsnis ${\displaystyle Y}$ aibėje.

Bendru atveju, esant kompozicijos dėsniui tarp n elementų homomorfizmas ${\displaystyle \phi :A\rightarrow B}$ tarp algebros objektų yra

${\displaystyle \phi (f_{A}(x_{1},\ldots ,x_{n}))=f_{B}(\phi (x_{1}),\ldots ,\phi (x_{n}))\,}$

kiekvienam kompozicijos dėsniui ${\displaystyle f}$ ir visiems ${\displaystyle x_{i}}$ iš aibės ${\displaystyle A}$.

Homomorfizmų tipai

Reikia pažymėti, kad homomorfizmas nieko nesako apie vienareikšmiškumą tarp abiejų aibių elementų. Jam nusakyti naudojami kiti terminai:

• Izomorfizmas yra homomorfizmas su bijekcijos savybe. Izomorfiški objektai yra visiškai vienodi struktūriniu požiūriu.

• Epimorfizmas yra homomorfizmas su siurjekcijos savybe.

• Monomorfizmas yra homomorfizmas su injekcijos savybe.

• Homomorfizmas objekto į save patį vadinasi endomorfizmas.

• Endomorfizmas, kuris yra ir izomorfizmas vadinasi automorfizmas.

Nuorodos

Monografija internete (anglų kalba):

• Burris, Stanley N., and H. P. Sankappanavar, H. P., 1981. A Course in Universal Algebra. Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2.