Aibių sąjunga

Kitos reikšmės – Aibė (reikšmės).

Aibė – rinkinys kokių nors objektų, sujungtų į vienumą pagal kurį nors požymį. Aibės sąvoka yra viena pagrindinių sąvokų matematikoje. Elementariojoje matematikoje nagrinėjamos skaičių aibės: N - natūraliųjų skaičių aibė, Z - sveikųjų skaičių aibė, Q - racionaliųjų skaičių aibė, R - realiųjų skaičių aibė.

Aibių teorija, atsiradusi tik XIX a. gale, dabar yra viena reikšmingiausių matematikos dalių, pradedama mokyti dar pagrindinėje mokykloje.

Vikižodynas

Terminai

Aibės objektai vadinami elementais ar nariais. Paprastai aibės žymimos didžiosiomis raidėmis (A, B, C, ..). Dvi aibės yra lygios (A = B), jei abiejų aibių elementai sutampa.

Aibės, kurios turi pasikartojančių elementų vadinamos multiaibėmis.

Aibės dažniausiai apibūdinamos žodžiais arba formaliai:

A = {1, 2, 3}

B = {raudona, balta, mėlyna, žalia}

Aibių apibūdinimas nebūtinai turi sutapti, kad aibės būtų vadinamos lygios. Elementų eilės tvarka ar pasikartojimas taip pat neturi įtakos, t. y. {2, 4}, {4, 2} ir {2, 2, 4, 2} yra identiškos aibės, nes turi lygiai tokius pat elementus.

Jei aibė neturi nei vieno elemento, ji vadinama tuščia aibe ir žymima ø.

Aibė taip pat gali turėti begalinį elementų skaičių – pavyzdžiui, sveikųjų skaičių aibė.

Poaibis

Pagrindinis straipsnis – Poaibis.

Jei kiekvienas aibės A elementas yra ir aibės B elementas, aibė A yra aibės B poaibis ir tai žymima ${\displaystyle A\subseteq B}$.

Jei tenkinama sąlyga, kad aibė A nelygi B (tačiau, kai kurie aibės B elementai sutampa su aibės A elementais), tai griežtasis poaibis ir žymima ${\displaystyle A\subset B}$. Šiuo atveju B yra aibės A viršaibis.

Pavyzdžiai:

• Visų vyrų aibė yra griežtas ${\displaystyle (\subset )}$ visų žmonių aibės poaibis
• ${\displaystyle {\{1,3\}}\subset {\{1,2,3,4\}}}$
• ${\displaystyle {\{1,2,3,4\}}\subseteq {\{4,3,2,1\}}}$

Taip pat natūrali išvada, kad tuščia aibė yra bet kurios kitos aibės poaibis ir kad kiekviena aibė yra savo pačios poaibis:

• ${\displaystyle \emptyset \subset A}$
• ${\displaystyle A\subseteq A}$

Sąjunga

Aibių sąjunga tai lyg sudėtis – aibių sąjungos rezultatas yra aibė, kurioje yra visi jungiamųjų aibių elementai. Aibių A ir B sąjunga žymima A ∪ B.

Pavyzdžiai:

• {1, 2} ∪ {raudona, balta} = {1, 2, raudona, balta}
• {1, 2, žalia} ∪ {raudona, balta, žalia} = {1, 2, raudona, balta, žalia}
• {1, 2} ∪ {1, 2} = {1, 2}

Pagrindinės sąjungos savybės:

• A ∪ B   =   B ∪ A
• A  ${\displaystyle \subset }$  A ∪ B
• A ∪ A   =  A
• A ∪ ø   =  A

Sankirta

Aibių A ir B sankirta yra aibė, sudaryta iš elementų, esančių tiek A, tiek ir B aibėje. Sankirta žymima A ∩ B. Jei A ∩ B  =  ø, tai A ir B yra nesikertančios aibės.

Pavyzdžiai:

• {1, 2} ∩ {raudona, raudona} = ø
• {1, 2, žalia} ∩ {raudona, raudona, žalia} = {žalia}
• {1, 2} ∩ {1, 2} = {1, 2}

Pagrindinės sankirtos savybės:

• A ∩ B   =   B ∩ A
• A ∩ B   ${\displaystyle \subset }$   A
• A ∩ A   =   A
• A ∩ ø   =   ø

Skirtumas

Aibių A ir B skirtumas yra aibė, kurią sudaro elementai, esantys aibėje A, bet nesantys aibėje B. Aibių skirtumas žymimas A  \ B.

Šaltiniai

1. aibė. Visuotinė lietuvių enciklopedija (tikrinta 2023-11-07).
2. Vidmantas Pekarskas. Diferencialinis ir integralinis skaičiavimas. 1 dalis. – Kaunas: Technologija, 2005. – 18 p. ISBN 9986-13-416-1