Krypties koeficientas

Tiesės krypties koeficientas – skaičius, apibūdinantis tiesės kryptį ir nuolydį. Lietuviškuose šaltiniuose krypties koeficientas dažniausiai žymimas raide k (nuo žodžio koeficientas), o užsienio literatūroje – m.

• Tiesės kryptis nurodoma sakant, kad tiesė didėjanti, mažėjanti, horizontali arba vertikali.
  • Tiesė vadinama didėjančia, jei, einant iš kairės į dešinę, ji kyla viršun. Krypties koeficientas teigiamas, t. y. ${\displaystyle k>0}$.
  • Tiesė vadinama mažėjančia, jei, einant iš kairės į dešinę jį leidžiasi žemyn. Krypties koeficientas neigiamas, t. y. ${\displaystyle k<0}$.
  • Tiesė yra horizontali einant iš kairės į dešinę nei didėja, nei mažėja), kai krypties koeficientas lygus nuliui. Tokia funkcija būtų vadinama konstanta.
  • Kai tiesė yra vertikali, krypties koeficientas būna neapibrėžtas (žr. žemiau).
• Tiesės nuolydis, statumas, arba posvyris, yra krypties koeficientas moduliu (absoliučioji vertė). Kuo didesnė absoliučioji vertė, tuo tiesė statesnė.

Norint sužinoti krypties koeficientą, reikia apskaičiuoti „vertikalaus pokyčio“ ir „horizontalaus pokyčio“ tarp bet kurių dviejų skirtingų tiesės taškų santykį. „Vertikaliu pokyčiu“ vadinamas aukščių skirtumas tarp taškų y₁ ir y₂, kitaip tariant „vertikalus pokytis“ yra (y₂ − y₁) = Δy. „Horizontalus pokytis“ yra ilgių skirtumas tarp taškų x₁ ir x₂, t. y., (x₂ − x₁) = Δx.

Taigi matematiškai tiesės krypties koeficientą k galima užrašyti taip:

${\displaystyle k={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}.}$

Krypties koeficientas tiesiogiai naudojamas geografijoje (šlaitams, gradientams) ir civilinėje inžinerijoje. Remiantis trigonometrija, galima pastebėti, jog krypties koeficientas susijęs su nuolydžio kampu θ per tangento funkciją:

${\displaystyle k=\tan(\theta )\!}$

Taigi 45° didėjančios tiesės krypties koeficientas yra 1, o 45° mažėjančios –1.

Apibendrinant šį apibūdinimą, matematikos diferencialinio skaičiavimo atšaka, nurodo, kad kreivės krypties koeficientas tam tikrame taške yra liestinės krypties koeficientas tame pačiame taške.

Apibrėžimas

Koordinačių sistemoje, turinčioje x ir y ašis (Dekarto koordinačių sistema) tiesės krypties koeficientas dažniausia žymimas raide k ir yra apibrėžiamas kaip pokyčio ordinačių ašyje ir atitinkamo pokyčio abscisių ašyje tarp dviejų skirtingų tiesės taškų dalmuo. Šį apibrėžimą matematiškai galima pavaizduoti taip:

${\displaystyle k={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {{\text{vertikalus}}\,{\text{pokytis}}}{{\text{horizontalus}}\,{\text{pokytis}}}}.}$

(Graikų abėcėlės raidė delta, Δ, matematikoje naudojama nurodant skirtumą arba pokytį)

Jei duoti du tiesės taškai (x₁,y₁ ir x₂,y₂), tai jų pokytis X ašyje yra x₂ − x₁, o jų pokytis Y ašyje yra y₂ − y₁. Įstačius šias vertes į aukščiau pateiktą lygybę, gaunama formulė:

${\displaystyle k={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}.}$

Ši formulė negali būti naudojama vertikaliai linijai (linijai, lygiagrečiai Y ašiai), nes jos pokytis x ašyje yra nulis, o dalyba iš nulio yra neapibrėžtas reiškinys; tokios tiesės krypties koeficientas gali būti laikomas begaliniu, taigi vertikalios linijos krypties koeficientas yra neapibrėžtas.

Pavyzdžiai

Tarkime, kad tiesei priklauso taškai A (1; 2) ir B (13; 8). Krypties koeficientą galima sužinoti, dalinant y koordinačių skirtumą iš x koordinačių skirtumo:

${\displaystyle k={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {8-2}{13-1}}={\frac {6}{12}}={\frac {1}{2}}}$.

Krypties koeficientas yra teigiamas, taigi tiesė didėja; kadangi |k|<1, tiesė nėra labai stati (nuožulnumas <45°).

Kitas pavyzdys. Linija eina per taškus (4; 15) ir (3; 21). Jos krypties koeficientas:

${\displaystyle k={\frac {21-15}{3-4}}={\frac {6}{-1}}=-6.}$

Krypties koeficientas yra neigiamas, taigi tiesė mažėja; |k|>1, todėl tiesė gana nuožulni (nuožulnumas >45°).

Algebra ir geometrija

• Jei y yra nuo x, tai koeficientas prie kintamojo x yra nubrėžtos tiesės krypties koeficientas. Jeigu tiesės lygtis turi pavidalą

${\displaystyle y=kx+b\,}$

tai k yra krypties koeficientas.

• Jei žinomi tiesės krypties koeficientas ir taškas (x₁,y₁), esantis tiesėje, tai tiesės lygtis gali būti užrašoma naudojant formulę:

${\displaystyle y-y_{1}=k(x-x_{1}).\!}$

• Kai tiesė užrašoma pavidalu:

${\displaystyle ax+by+c=0\,}$

tai tiesės krypties koeficientas yra

${\displaystyle -{\frac {a}{b}}\;}$.

• Dvi tiesės yra tada ir tik tada, kai jų krypties koeficientai yra lygūs ir kai jos nėra sutampančios arba kai abi tiesės yra vertikalios ir turi neapibrėžtą krypties koeficientą. Dvi tiesės yra statmenos viena kitai, jei jų krypties koeficientų sandauga lygi –1 arba jei vienos jų krypties koeficientas yra 0, o kita yra vertikali.

• Kampas θ, esantis tarp -90° ir 90°, kurį tiesė sudaro su X ašimi yra susijęs su krypties koeficientu k:

${\displaystyle k=\tan(\theta )}$

ir

${\displaystyle \theta =\arctan(k)}$   (tai atvirkštinė tangento funkcija; daugiau skaitykite trigonometrija).

Jeigu k > 0, kampas θ yra smailusis, jeigu k < 0 - bukasis, kai k = 0 tiesė yra lygiagreti Ox ašiai.

Pavyzdžiai

Tarkime, kad tiesė eina per taškus (2; 8) ir (3; 20). Šios tiesės krypties koeficientas k yra

${\displaystyle {\frac {(20-8)}{(3-2)}}\;=12.\,}$

Žinodami tiesės krypties koeficientą ir tašką, priklausantį tai tiesei, galime užrašyti tiesės lygtį:

${\displaystyle y-8=12(x-2)=12x-24\,}$

arba:

${\displaystyle y=12x-16.\,}$

Kampas θ, kurį tiesė sudaro su X ašimi, yra lygus

${\displaystyle \theta =\arctan(12)\approx 85.2^{\circ }\,.}$

Kitas pavyzdys. Turime dvi tieses y = -3x + 1 and y = -3x – 2. Abiejų tiesių krypties koeficientai k= -3. Šios tiesės nėra sutampančios. Taigi jos yra lygiagrečios.

Turime dvi tieses y = -3x + 1 and y = ^x/₃ – 2. Pirmosios tiesės krypties koeficientas k₁ = -3. Antrosios tiesės krypties koeficientas k₂ = ¹/₃. Šių krypties koeficientų sandauga lygi -1. Taigi duotosios tiesės susikerta stačiu kampu.

Kelio ar geležinkelio šlaitas

Pagrindinis straipsnis – Šlaitas.

Kelio arba geležinkelio šlaitas inžinerijoje ir geografijoje yra susijęs su krypties koeficiento sąvoka, nes nurodo aukščio ir kelio santykį. Šlaito statumą galima nurodyti dviem būdais: kampu tarp kelio tiesės ir horizonto linijos (nuo 0° iki 90°) arba procentais.

Formulės, nurodančios, kaip laipsnius paversti procentais ir atvirkščiai:

${\displaystyle {\text{kampas}}=\arctan \left({\frac {\text{šlaitas}}{100\%}}\right)}$

ir

${\displaystyle {\mbox{šlaitas}}=100\%\cdot \tan({\mbox{kampas}}),\,}$

Kampas nurodomas laipsniais. Pavyzdžiui, 100% arba 1000‰ šlaitas turi 45° kampą.

Integralinis ir diferencialinis skaičiavimas

Krypties koeficientas yra viena pagrindinių diferencialinio skaičiavimo sąvokų. Netiesinių funkcijų kitimo tempas skirtingose kreivės vietose skiriasi. Funkcijos išvestinė tam tikrame taške yra tos funkcijos liestinės krypties koeficientas tame pačiame taške; todėl jis yra lygus funkcijos kitimo tempui tame taške.

Tarkime, kad Δx ir Δy yra atstumai (atitinkamai X ir Y ašyse) tarp dviejų kreivės taškų. Tuomet, pagal apibrėžimą, krypties koeficientas

${\displaystyle k={\frac {\Delta y}{\Delta x}}}$

yra krypties koeficientas. Tiesės atveju, kirstinė tarp dviejų jos taškų sutampa su pačia tiese, tačiau taip nėra su jokia kita kreive. Kreivės liestinės krypties koeficientas parodo liestinės, o kartu ir tos kreivės pasvirimą taške x = a.

Pavyzdžiui, kirstinės, kertančios kreivė y = x² taškuose (0; 0) ir (3; 9), krypties koeficientas yra 3.

Dviem taškams artėjant vienas prie kito taip, kad Δy ir Δx mažėtų, kreivės kirstinė tampa vis panašesnė į kreivės liestinę, o kirstinės krypties koeficientas artėja prie liestinės krypties koeficiento. Naudojant diferencialinį skaičiavimą galima nustatyti ribą, prie kurios artėja Δy/Δx, kai Δy ir Δx artėja prie nulio; ši riba yra tiksli liestinės krypties koeficiento vertė. Kai y priklauso nuo x, pakanka apskaičiuoti ribą, kai tik Δx artėja prie nulio. Taigi liestinės krypties koeficientas yra riba Δy/Δx, kai Δx artėja prie nulio. Ši riba vadinama išvestine:

${\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}}$

Jos vertė tam tikrame funkcijos taške yra liestinės tame pačiame taške krypties koeficientas.

Taip pat skaitykite

• Nuožulnioji plokštuma

Šaltiniai

1. Clapham, C.; Nicholson, J. (2009). Oxford Concise Dictionary of Mathematics, Gradient (PDF). Addison-Wesley. p. 348.
2. Greičiūtė, Roma; Miklienė, Danutė; Zigmuntavičienė, Danguolė (2013). Mokinio žinynas. Matematika. Vilnius: „Alma littera“. p. 47.
3. Weisstein, Eric W. „Slope“. MathWorld--A Wolfram Web Resource. Nuoroda tikrinta 2024-08-08.
4. Petrė Grebeničenkaitė, Erika Tumėnaitė. Matematikos korepetitorius namuose. – Kaunas: Šiaurės Lietuva, 2002. – 48 p. ISBN 9986-705-90-8
5. Autorių kolektyvas. Matematika. Vadovėlis XI klasei ir gimnazijų III klasei II dalis. – Kaunas: Šviesa, 2004. – 156 p. ISBN 5-430-03784-2

Šis straipsnis yra tapęs savaitės straipsniu.