Vektorinė sandauga

Vektorinė sandauga (angl. cross product) – dvinarė vektorių operacija.

Vektorių a ir b vektorinė sandauga yra vektorius ${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} }$, kurio ilgis yra |a||b|sin φ, o kryptis statmena plokštumai α taip, kad, žiūrint iš vektoriaus ${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} }$ galo, vektorius a sukamas kampu φ prieš laikrodžio rodyklę sutampa su vektoriumi b.

Apibrėžimas

Dviejų vektorių a ir b vektorinė sandauga yra vektorius c, tenkinantis sąlygas:

1. ${\displaystyle \mathbf {c} \perp \mathbf {a} }$ ir ${\displaystyle \mathbf {c} \perp \mathbf {b} }$, t.y vektorius c yra statmenas vektorių a ir b plokštumai;
2. Vektoriaus c ilgis yra lygus lygiagretainio, kurio dvi gretimos kraštinės sutampa su vektoriais a ir b, plotui, t.y ${\displaystyle |\mathbf {c} |=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\sin \angle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}$;
3. Vektorius c nukreiptas taip, kad žiūrint iš jo galo, atrodytų, jog vektorius a, pasuktas mažiausiu kampu θ prieš laikrodžio rodyklės sukimosi kryptį, sutampa su vektoriaus b kryptimi.

Vektorinė sandauga yra žymima ${\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {a} \times \mathbf {b} }$ arba c = [a, b].

Dažnai sakoma, kad vektoriai a, b ir c, tenkinantys trečiąją sąlygą sudaro dešininį trejetą (sistemą). Dešininę sistemą galima pavaizduoti dešiniosios rankos pirštais: smilių nukreipus vektoriaus a kryptimi, o didijį pirštą - vektoriaus b kryptimi, nykštys rodys vektoriaus c kryptį (žr. paveiksliuką).

Vektorinės sandaugos apskaičiavimas

Erdvinėje koordinačių sistemoje abscisių, ordinačių ir aplikačių ašių ortai i, j ir k tenkina šias lygybes:

${\displaystyle \mathbf {i} \times \mathbf {j} =\mathbf {k} ;}$

${\displaystyle \mathbf {j} \times \mathbf {k} =\mathbf {i} ;}$

${\displaystyle \mathbf {k} \times \mathbf {i} =\mathbf {j} .}$

Naudojant šias lygybes galime apskaičiuoti vektorinę sandaugą, kai yra žinomos tu vektorių koordinates. Jeigu ${\displaystyle \mathbf {a} (a_{x},a_{y},a_{z})}$ ir ${\displaystyle \mathbf {b} (b_{x},b_{y},b_{z})}$, tai vektorinę sandaugą patogu skaičiuoti naudojant trečios eilės determinantą

${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\end{vmatrix}}=(a_{y}b_{z}-a_{z}b_{y};-(a_{x}b_{z}-a_{z}b_{x});a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x})}$

Savybės

Bet kurių nenulinių vektorių vektoriniai sandaugai būdingos šios savybės:

1. Antikomutatyvumas, t.y ${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =-\mathbf {b} \times \mathbf {a} }$;
2. Asociatyvumas daugybos iš skaliaro atžvilgiu. t.y ${\displaystyle \lambda (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=(\lambda \mathbf {a} )\times \mathbf {b} =\mathbf {a} \times (\lambda \mathbf {b} )}$
3. Distributyvumas vektorių sudėties atžvilgiu, t.y ${\displaystyle (\mathbf {a} +\mathbf {b} )\times \mathbf {c} =\mathbf {a} \times \mathbf {c} +\mathbf {b} \times \mathbf {c} }$
4. Vektorinė sandauga yra lygi nuliniam vektoriui tada ir tik tada, kai vektoriai a ir b yra kolinearūs, t.y ${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =\mathbf {0} }$ kai a || b
5. Tenkina Jacobi tapatybę, t.y ${\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )+\mathbf {b} \times (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )+\mathbf {c} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\mathbf {0} .}$

Taikymai

Vektorinė sandauga yra taikoma norint apskaičiuoti lygiagretainio arba trikampio, kurio dvi gretimos kraštinės sutampa su vektoriais a ir b, plotą. Tą galima padaryti naudojant formules:

${\displaystyle S_{lyg}=|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |}$

${\displaystyle S_{tr}={\frac {1}{2}}|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |}$

Taip pat galima apskaičiuoti aukštinės h_a, nuleistos į pagrindą a, ilgį. Formulė vienoda ir lygiagretainiui ir trikampiui ir atrodo taip:

${\displaystyle h_{a}={\frac {|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |}{|\mathbf {a} |}}}$

Vektorinė sandauga yra taikoma ne tik geometrijoje, tačiau ir algebroje. Tokio taikymo pavyzdys yra kvaternijonų daugyba.