Teiginių logika

Teiginių logika – matematinės logikos mokslo teorija, kurioje formaliosios kalbos simboliais bei loginėmis operacijomis nusakomi teiginiai. Išvedimo ir ekvivalencijos taisyklių sistema leidžia išvesti tam tikras formules, kurios vadinamos teoremomis, o tokie teiginiai yra interpretuojami kaip teisingi. Visa eilė formulių, kuri yra surašoma naudojantis šia sistema, yra vadinama išvedimu, o paskutinė iš jų yra teorema, kurios išvedimas ir yra laikomas teiginio teisingumo įrodymu. Teiginių logikos interpretaciją riboja teisingumo reikšmė, kuri dažniausiai būna arba teisinga, arba klaidinga.

Kitaip nei silogistikoje ir predikatų logikoje, teiginių logikoje paprastieji teiginiai laikomi neanalizuojamais – neskaidomi į juos sudarančius elementus.

Teiginių logikos samprata

Teiginio samprata

yra priimtina vadinti bet kurį sakinį, kuris yra arba klaidingas arba teisingas. Šiuo atveju teisingumas ar klaidingumas yra teiginio . Tačiau yra ir tokių sakinių, kurie nėra nei teisingi, nei klaidingi. Tai yra:

• Klausiamieji sakiniai: Ar gerai išsimiegojote?
• Skatinamieji sakiniai: Paduokite man šią knygą.

Sakiniai, kuriais reiškiamos žmogaus emocijos, , nesukelia pačiai logikai svarbių veiksnių. Būtent dėl šios priežasties jie nėra nei teisingi nei klaidingi. Bet tai neleidžia manyti, kad tokių sakinių yra negalima.

Gramatiniai sakiniai yra tik iš dalies priskiriami nei teisingiems, nei klaidingiems, nes ne visi iš jų tokiais gali būti. Teiginių logikoje teiginiais laikomi tokie gramatiniai tiesioginiai sakiniai, kuriuose yra tam tikri objektai arba jų nėra, taip pat kad objektai turi arba neturi tam tikrų . Tokie sakiniai gali būti ir klaidingi, ir teisingi, todėl yra teiginiai.

Teiginių logikoje teiginys nagrinėjamas kaip , nedaloma visuma, t. y. pats teiginys nėra dalomas į jokias sudėtines dalis. Taip pat yra skirstomas į paprastuosius teiginius (sudarytus iš vieno kintamojo) ir sudėtinius teiginius (mažiausiai iš kelių kintamųjų).

Kiekvieno teiginio žymėjimui yra naudojamos atskiros raidės: ${\displaystyle p}$, ${\displaystyle q}$, ${\displaystyle r}$, ${\displaystyle s}$ ir t. t. Pavyzdžiui, teiginį „atėjo pavasaris“ žymime kintamuoju ${\displaystyle p}$. O kitą teiginį „šiandien debesuota“ – kintamuoju ${\displaystyle q}$ ir t. t.

Teiginius galima neigti, jungti, atskirti, išvesti iš kitų esamų teiginių, atrasti jų ekvivalentiškumą. Šių operacijų ir sudaro teiginių logikos pagrindus.

Sudėtiniai teiginiai

Sudėtinis sakinys yra sudarytas iš kelių paprastų teiginių, kurie yra sujungti loginėmis jungtimis – loginėmis funkcijomis („ne“, „ir“, „arba“, “jei…, tai”, “jei ir tik jei…, tai”.)

Kitaip tariant, tai toks sakinys, kuris yra sudarytas iš dviejų ar daugiau narių. Taip pat yra skirstomas į įvykdomus arba dar kitaip įvardintinus – atsitiktinius, neįvykdomus bei tautologiškus.

• Įvykdomi (atsitiktiniai) teiginiai: išraiškos, kurių teisingumo lentelės pabaigoje (rezultate) reikšmės yra įvykdomos. Jos gali būti ir teisingos ir klaidingos.
• Neįvykdomi teiginiai: išraiškos, kurių teisingumo lentelės pabaigoje, priešingai nei įvykdomų teiginių, reikšmės yra vien tik klaidingos.
• Sudėtinis teiginys: tautologija. Tai toks sakinys, kuris yra teisingas vien dėl savo formos. Pavyzdžiui: „šis automobilis yra juodas arba netiesa, kad šis automobilis yra juodas“. Šiuo atveju, teiginys yra teisingas nepriklausomai nuo mašinos spalvos. tai vadinama ir argumentacijos klaida, kai teiginys yra išvedamas pats iš savęs. Tautologija susidaro kai visada priešingi teiginiai sujungiami logine operacija arba. Matematiškai tai užrašoma kaip: ${\displaystyle X\lor \neg X}$ (${\displaystyle X}$ arba ${\displaystyle ne-X}$, pavyzdžiui, ${\displaystyle a>0}$ arba ${\displaystyle a\leq 0}$).

Teiginių formalizacija

Pasinaudodami turima informacija ir žiniomis apie logines jungtis ir neigimą galime teiginį užrašyti loginių simbolių kalba, kitaip tariant formalizuoti jį užrašant naudojant žinomus loginius simbolius.

Visų pirma, formalizuojant teiginį svarbiausia susirasti paprastuosius teiginius, arba , kurie dažniausia susideda iš dviejų arba kelių žodžių (žinoma, kintamasis gali būti ir vienas žodis). Toliau ieškome loginių jungčių, kurios, kaip žinome, turi save išskiriančias teiginio jungtis, pavyzdžiui, jeigu; ir; arba; tai ir pan. Kintamieji pažymimi skirtingais simboliais ir išskiriami iš kitų kintamųjų, pavyzdžiui, vienas kintamasis žymimas ${\displaystyle p}$, kitas – ${\displaystyle q}$, sekantis – ${\displaystyle r}$, it t. t.

Dabar visą tai pritaikykime praktikoje, taigi formalizuokime vieną paprastą teiginį: „Jei pamoka baigsis, tai galėsime keliauti namo, arba nesibaigis ir namo keliauti negalėsime.“ Taigi, visų pirma nustatome kintamuosius: pirmasis – jei pamoka baigsis, antrasis – galėsime keliauti namo. Pirmąjį pažymėkime – ${\displaystyle p}$, antrajį – ${\displaystyle q}$, taip pat turime ir šių kintamųjų neiginius, kuriuos žymėsime taip pat, tik su neigimo ženklu – ${\displaystyle \neg }$. Toliau nustatome logines jungtis, kurios yra teiginyje: pirmoji yra implikacija, antroji – disjunkcija, trečioji – konjunkcija. Dabar apipavidalinkime visą tai loginiais simboliais ir užrašykime formulę. Šitaip atrodo mūsų formalizuotas teiginys, matome visas logines jungtis ir mūsų pažymėtus kintamuosius: ${\displaystyle (p\to q)\lor (\neg p\land \neg q)}$.

Simbolinio žymėjimo sistemos

Dėl logikos mokslo kūrėjų taikytų skirtingų simbolinio žymėjimo sistemų, yra visiškai prasminga pateikti bendrą jų vaizdą:

	Neigimas	Konjunkcija	Disjunkcija	Implikacija	Ekvivalencija
, Peirce’as	${\displaystyle p'}$	${\displaystyle p\cdot q}$	${\displaystyle p+q}$	${\displaystyle p\to q}$	${\displaystyle p\equiv q}$
, Russellas	${\displaystyle \sim p}$	${\displaystyle p\cdot q}$	${\displaystyle p\lor q}$	${\displaystyle p\supset q}$	${\displaystyle (p\equiv q)}$
Hilbertas	${\displaystyle {\overline {p}}}$	${\displaystyle p\And q}$	${\displaystyle p\lor q}$	${\displaystyle p\to q}$	${\displaystyle p\sim q}$
	${\displaystyle Np}$	${\displaystyle Kpq}$	${\displaystyle Apq}$	${\displaystyle Cpq}$	${\displaystyle Epq}$
Kiti	${\displaystyle \neg p}$	${\displaystyle p\land q}$

Lenkų logiko sukurta beskliaustė simbolika yra bene pati įdomiausia, nes joje išraiška ${\displaystyle (p\leftrightarrow q)\leftrightarrow [(p\to q)\land (q\to p)]}$ užrašoma ${\displaystyle EEpqKCpqCqp}$.

Samprotavimų pagrindimas teiginių logikos priemonėmis

Logikoje samprotavimą sudaro trys dalys:

• Prielaida – pradinis samprotavimo teiginys;
• Išvada – teiginys gaunamas iš prielaidų;
• Išvedimo taisyklė, leidžianti iš prielaidų padaryti išvadą.

Logikos , atitinkančią išvedimo taisyklę, galima nustatyti formalizavus samprotavimą, pavyzdžiui, išraiška atitinkanti išvedimo taisyklę: ${\displaystyle {[(p\to q)\land p]\to q}}$, gaunama iš samprotavimo: 1 prielaida – jei dangus apsiniaukęs, tai lis; 2 prielaida – dangus apsiniaukęs. Išvada: vadinasi, lis.

Taip randame antecedento teigimo dėsnį. Samprotavimą sudaro mažiausiai viena prielaida. Jam taikant skirtingus logikos dėsnius, gaunamos įvairios išvados.

Loginės sekos principai

Plečkaitis formuluoja tokį loginės sekos apibrėžimą: Loginė seka yra taisyklingas sekmens išvedimas iš prielaidų. Loginės sekos principai:

• 1. Teisingos prielaidos suponuoja teisingą išvadą;
• 2. Teisingai išvadai gauti yra būtinas prielaidų teisingumas, nustatomas arba loginėmis priemonėmis;
• 3. Jei neaiškus prielaidų teisingumas, tai lygiai taip pat nėra aišku ar iš prielaidų daroma išvada yra teisinga;
• 4. Jei gaunama išvada klaidinga, vadinasi bent viena prielaida yra klaidinga;
• 5. Teisingą išvadą galima gauti ir iš klaidingų prielaidų (apibrėžtos aplinkybės suponuoja išimtį, kada teisinga išvada yra įmanoma tik esant teisingoms prielaidoms);
• 6. Visų išvadų žinojimas įmanomas tik siaurose samprotavimų eilėse.

Ne tik iš prielaidų galima ieškoti išvadų, bet kartu ir išvadų – prielaidų. Tai puikiai atsispindi formulėje: ${\displaystyle [(A1,A2,A3,...,An)\to C]\leftrightarrow [(A1\land A2\land A3\land ...\land An)\to C]}$.

Teiginių logikos dėsniai

Teiginių logikos dėsnių yra labai daug, toks didelis kiekis dėsnių parodo, jog mes, žmonės, turime daugybę loginių priemonių pažinti šiam pasauliui. Pradėkime vardinti nuo pačių svarbiausiųjų:

• Dvigubo neigimo dėsnis: ${\displaystyle \neg \neg p\leftrightarrow p}$
• Prieštaravimo dėsnis: ${\displaystyle \neg (p\land \neg p)}$
• Negalimo trečiojo dėsnis: ${\displaystyle p\lor \neg p}$
• Iš klaidingo teiginio seka bet kuris teisingas: ${\displaystyle p\to (\neg p\to q)}$
• taisyklės: ${\displaystyle \neg (p\to q)\leftrightarrow (\neg p\lor \neg q)}$, ${\displaystyle \neg (p\lor q)\leftrightarrow (\neg p\land \neg q)}$

Dabar prežvelgsime kitus teiginių logikos dėsnius:

• Suprastinimo dėsnis: ${\displaystyle (p\land p)\leftrightarrow p}$, ${\displaystyle (p\lor p)\leftrightarrow p}$. Šis paprasčiausias suprastinimo dėsnis yra skirtas išvengti pasikartojimų ir betikslio tuščiažodžiavimo, tų pačių minčių išsakymo ir pan.
• Išskaidymo dėsnis: Šis dėsnis yra išvedamas, taikant disjunkcijos ir implikacijos taisykles. ${\displaystyle p\leftrightarrow [(p\land q)\lor (p\land \neg q)]}$, ${\displaystyle p\leftrightarrow [(p\lor q)\land (p\lor \neg q)]}$. Žodinės dėsnių išraiškos būtų tokios, pirmojo: ${\displaystyle p}$ ekvivalentus teiginiui ${\displaystyle p}$ ir ${\displaystyle q}$ arba ${\displaystyle p}$ ir ${\displaystyle ne-q}$. Antrojo: ${\displaystyle p}$ ekvivalentus teiginiui ${\displaystyle p}$ arba ${\displaystyle q}$ ir ${\displaystyle p}$ arba ${\displaystyle ne-q}$. Taigi, šie dėsniai mums parodo, jog prie teiginio ${\displaystyle p}$ galime prijungti bet kurį kitą teiginį nepakeisdami jo reikšmės. Remdamiesi griežtosios disjunkcijos taisyklėmis gauname dėsnį: ${\displaystyle [(p\veebar q)\land p]\to \neg q}$. Taigi, reikšmė: jei gali būti teisingas tik ${\displaystyle p}$ arba tik ${\displaystyle q}$ nustatyta, kad ${\displaystyle p}$ teisingas, kai ${\displaystyle q}$ klaidingas.
• Antecedento dėsnis: ${\displaystyle [(p\to q)\land p]\to q}$. Šis dėsnis sako, jeigu mūsų implikacija ${\displaystyle p\to q}$ teisinga, taip pat ir mūsų antecedentas yra teisingas, tai ir mūsų konsekventas taip pat teisingas.
• Konsekvento neigimo dėsnis: ${\displaystyle [(p\to q)\land \neg q]\to \neg p}$. Jei mūsų implikacija yra teisinga ir konsekventas klaidingas, tai antecedentas yra taip pat kladingas.
• Implikacijos pereinamumas: ${\displaystyle [(p\to q)\land (q\to r)]\to (p\to r)}$. Matome, kaip implikacija pereina iš sudėtingesnės formos į parastesnę: jei iš ${\displaystyle p}$ seka ${\displaystyle q}$ ir iš ${\displaystyle q}$ seka ${\displaystyle r}$, tai iš ${\displaystyle p}$ seka ${\displaystyle r}$.
• Prieštaravimo išvedimas: ${\displaystyle (p\to \neg p)\to \neg p}$. Jei iš mūsų teiginio ${\displaystyle p}$ seka jo neiginys ${\displaystyle ne-p}$, tai tada šis neiginys yra teisingas. Šis loginė išraiška yra labai svarbi, kadangi ji mums padeda išspręsti, aišku logiškai, laisvės paradoksą. (Laisvės paradoksas – kai neribota laisvė ima pati sau prieštarauti, todėl ją reikia suvaržyti, apribori. Jei sakysime, jog viskas yra leistina, tai leisime sau neigti teiginį, kad viskas yra leistina. Ir jei galime neigti, jog viskas yra leistina, tai iš to galime daryti išvada, jog viskas nėra leistina.) Todėl šioje išraiškoje šis paradoksas yra laisvai išsprendžiamas logiškai.
• Antecedentų dėsnis: ${\displaystyle [(p\to r)\land (q\to r)]\to [(p\lor q)\to r]}$. Taigi, jei iš ${\displaystyle p}$ seka ${\displaystyle r}$ ir iš ${\displaystyle q}$ seka ${\displaystyle r}$, tai iš ${\displaystyle p}$ arba ${\displaystyle q}$ seks ${\displaystyle r}$. Taigi, matome, jog sujungus antecedentus mes gauname, tai jog iš mūsų teiginys ${\displaystyle r}$ seks iš vieno iš mūsų turimų teiginių.
• Konsekventų jungimo dėsnis: ${\displaystyle [(p\to q)\land (p\to r)]\to [p\to (q\land r)]}$. Jeigu, iš ${\displaystyle p}$ seka ${\displaystyle q}$ ir iš ${\displaystyle p}$ ir ${\displaystyle r}$, tai iš ${\displaystyle p}$ seka ${\displaystyle q}$ ir ${\displaystyle r}$. Kai sujungsime konsekventus, tai mes gausime, jog iš teiginio ${\displaystyle p}$ seks tiek teiginys ${\displaystyle q}$, tiek teiginys ${\displaystyle r}$.

Sudėtinio teiginio teisingumo reikšmės nustatymas

Sudėtinio teiginio teisingumas priklauso nuo jį sudarančio paprastųjų teiginių (${\displaystyle p}$, ${\displaystyle q}$, ${\displaystyle r}$ ir pan.) teisingumo. Taigi, jei mes žinome, jog paprastieji teiginiai yra teisingi, taip mes galime teigti, jog sudėtinis teiginys yra taip pat teisingas, nes naudojant konjunkcijos, disjunkcijos ir kitų loginių jungčių taisykles, mes galime nustatyti ar paprastieji teiginiai teisingi, tokiu būdu galėsime įrodyti, jog ir sudėtinis teiginys teisingas.

Tarkime, turime teiginį ${\displaystyle (p\lor q)\leftrightarrow (r\to s)}$, kuriame ${\displaystyle p}$ yra teisingas (t), ${\displaystyle q}$ – taip pat teisingas, ${\displaystyle r}$ – klaidingas (k), o ${\displaystyle s}$ – teisingas. Dabar pakeiskime teisingas reikšmes raide – t, o klaidingas – k. Dabar mūsų teiginys atrodys šitaip: ${\displaystyle (t\lor t)\leftrightarrow (k\to t)}$.

Taigi, pirmoji dalis yra disjunkcija, todėl taikysime disjunkcijos teisingumo taisykles: ${\displaystyle t\lor t}$ – pagal griežtosios disjunkcijos teisingumo reikalavimą, šitoks teiginys būtų neteisingas, bet disjunkcijos simbolis neturi brūkšnio, taigi čia – silpnoji disjunkcija, o jos teisingumo reikalavimai nustato, jog jeigu abu arba bent vienas disjunkcijos narys teisingas, tai disjunkcija yra teisinga.

Toliau seka implikacija: ${\displaystyle (k\to t)}$, o pasak implikacijos mes žinome, jog ji yra teisinga tada, kai abu teisingi, arba antecedentas klaidingas, o konsekventas teisingas. Šiuo atveju, mūsų antecedentas (${\displaystyle r}$ yra klaidingas), o konsekventas (${\displaystyle s}$ – teisingas), taigi mūsų implikacijos reikšmė yra teisinga.

Jungtis tarp disjunkcijos ir implikacijos yra ekvivalencija: ${\displaystyle (t\lor t)\leftrightarrow (k\to t)}$, o ekvivalencija bus teisinga tik tada, kai abu nariai turės tas pačias teisingumo . Dabar pakeisime tiek disjunkcijos, tiek implikacijos narius jų teisingumo reikšmėmis ir pažiūrėkime, kaip atrodo mūsų ekvivalencija: ${\displaystyle t\leftrightarrow t}$. Tiek silpnoji disjunkcija, tiek implikacija yra teisingos, todėl mūsų ekvivalencija yra taip pat teisinga, todėl dabar mes galime teigti, jog šis teiginys teisingas.

Sudėtinių teiginių neigimas

Įmanomas ne tik paprastųjų, bet ir sudėtinių teiginių , o yra tapačios: konjunkcijos neigimas: ${\displaystyle \neg (p\land q)}$, disjunkcijos neigimas: ${\displaystyle \neg (p\lor q)}$, implikacijos neigimas: ${\displaystyle \neg (p\to q)}$, ekvivalencijos neigimas: ${\displaystyle \neg (p\leftrightarrow q)}$. Tačiau visos sudėtinio teiginio neigimas nėra tapatus atskirų jį sudarančių teiginių neigimui, pavyzdžiui, ${\displaystyle \neg (p\land q)}$ nėra tas pats, kas ${\displaystyle (\neg p\land \neg q)}$, t. y. netiesa, kad ${\displaystyle p}$ ir ${\displaystyle q}$ kartu yra teisingi nereiškia to paties, kaip ${\displaystyle ne-p}$ ir ${\displaystyle ne-q}$ kartu. Šitai galime patikrinti matricų metodu:

p	q	p ⋀ q	¬(p ⋀ q)	¬p ⋀ ¬q
t	t	t	k	k
t	k	k	t	k
k	t	k	t	k
k	k	k	t	t

Kaip matome, trečiojo ir ketvirtojo stulpelio reikšmės loginiuose pasauliuose yra skirtingos, todėl sudėtiniai teiginiai ${\displaystyle [\neg (p\land q)]}$ ir ${\displaystyle (\neg p\land \neg q)}$ nėra tapatūs, , todėl nėra ekvivalentūs. Lygiai taip pat yra ir su disjunkcija, t. y. jos neigimas ${\displaystyle [\neg (p\lor q)]}$ nėra ekvivalentus jos atskirų narių neigimo disjunkcijai ${\displaystyle (\neg p\lor \neg q)}$. Šitai galime patikrinti matricų metodu:

p	q	p ⋁ q	¬(p ⋁ q)	¬p ⋁ ¬q
t	t	t	k	k
t	k	t	k	t
k	t	t	k	t
k	k	k	t	t

Kaip matome, trečiojo ir ketvirtojo stulpelio reikšmės loginiuose pasauliuose yra skirtingos, todėl sudėtiniai teiginiai ${\displaystyle [\neg (p\lor q)]}$ ir ${\displaystyle (\neg p\lor \neg q)}$ nėra tapatūs, lygiaverčiai, todėl nėra ekvivalentūs. Tačiau turėtume pastebėti, jog lygindami šias matricų lenteles gauname visiškai kitokias ekvivalencijas: ${\displaystyle [(\neg p\lor \neg q)\leftrightarrow \neg (p\land q)]}$ ir ${\displaystyle [(\neg p\land \neg q)\leftrightarrow \neg (p\lor q)]}$. Tai yra vienos iš ekvivalencijos taisyklių, kurias aptarsime kiek vėliau, pavyzdys:

p	q	¬p ⋀ ¬q	¬(p ⋁ q)	¬p ⋁ ¬q	¬(p ⋀ q)
t	t	k	k	k	k
t	k	k	k	t	t
k	t	k	k	t	t
k	k	t	t	t	t

Panašiai yra ir su implikacijos neigimu: ${\displaystyle [\neg (p\to q)\leftrightarrow (p\land \neg q)]}$, skaitome: išraiška “Netiesa, kad iš ${\displaystyle p}$ seka ${\displaystyle q}$” ekvivalentiška išraiškai “${\displaystyle p}$ ir ${\displaystyle ne-q}$”. Patikrinkime matricų metodu ir matome, kad gauname tautologiją, vadinasi, išraiškos yra tapačios:

p	q	p ⋀ ¬q	¬(p → q)	¬(p → q) ~ (p ⋀ ¬ q)
t	t	k	k	t
t	k	t	t	t
k	t	k	k	t
k	k	k	k	t

Galiausiai, lygiai ta pati situacija yra ir su ekvivalencijos neigimu. Prisimenant, jog ekvivalencija yra implikacija į abi puses, paneikime vieną iš jų: ${\displaystyle {\neg (p\leftrightarrow q)\leftrightarrow [(p\to q)\to \neg (q\to p)]}}$, skaitome: išraiška “Netiesa, kad ${\displaystyle p}$ ekvivalentus ${\displaystyle q}$” lygiaverti išraiškai “Jei iš ${\displaystyle p}$ seka ${\displaystyle q}$, tai netiesa, kad iš ${\displaystyle q}$ seka ${\displaystyle p}$”. Patikrinkime matricų metodu ir matome, kad gauname tautologiją, vadinasi, išraiškos yra tapačios:

p	q	¬(p ~ q)	p → q	¬(q → p)	(p → q) → ¬(q → p)	¬(p ~ q) ~ [(p → q) → ¬(q → p)]
t	t	k	t	k	k	t
t	k	t	k	k	t	t
k	t	t	t	t	t	t
k	k	k	t	k	k	t

Loginės operacijos

Loginis neigimas

Į loginio įeina konjunkcija bei disjunkcija. Loginis neigimas reiškiamas žodeliais „ne“, „netiesa, kad…“, „nėra“, „klaidinga, kad…“. Pavyzdžiu galime naudoti sakinį „ant stalo stovi taurė“. Neigimą išreikšime taip:

1. Ant stalo nestovi taurė.
2. Netiesa, kad ant stalo stovi taurė.
3. Klaidinga, kad ant stalo stovi taurė.

Logikoje neigimas žymimas įvairiai (žr. Simbolinio žymėjimo sistemos), tačiau šiame pavyzdyje teiginys „ant stalo stovi taurė“ žymimas ${\displaystyle p}$, tai neigiamasis – „ant stalo nestovi taurė“ bus žymimas ${\displaystyle \neg p}$.

Tokiu tikslu yra sudaroma loginio neigimo lentelė, dar kitaip vadinama , kurioje žymimos reikšmės t (teisinga) arba k (klaidinga).

p	¬p
t	k
k	t

Iš lentelės matome, jei pradinis teiginys ${\displaystyle p}$ teisingas, tai jo neigimas ${\displaystyle \neg p}$ – klaidingas, ir atvirkščiai.

Dvigubas neigimas

Taip pat esti ir dvigubo neigimo dėsnis, kuris yra užrašomas lentele:

p	¬p	¬¬p	p~¬¬p
t	k	t	t
k	t	k	t

Iš matricos matome, kad išraiška ${\displaystyle \neg \neg p\leftrightarrow p}$ visais atvejais teisinga. Trigubas neigimas lygiavertis neigimui.

Konjunkcija

Konjunkciniu teiginiu vadinamas sudėtinis teiginys, sudarytas iš kelių paprastų teiginių, sujungtų logine jungtimi „ir“.

Taip pat visi teiginiai yra skirstomi į paprastus bei sudėtinius.

• Paprastu teiginiu vadinsime teiginį, kuris yra neskaidomas į jokius kitus teiginius. Jo teisingumas nustatomas ne loginiu būdu, o stebėjimu, patyrimu, taip pat ir eksperimentais.
• Sudėtiniu teiginiu vadinsime teiginį, kuris yra sudarytas keleto paprastų teiginių, kurie yra sujungti loginėmis jungtimis. Šio teiginio teisingumas priešingai, nei paprastojo, nustatomas loginėmis priemonėmis. Jo teisingumo reikšmė priklauso nuo:
  1. Jį sudarančių paprastų teiginių teisingumo reikšmių;
  2. Jį sudarančių loginių jungčių pobūdžio.

Pavyzdžiui, turint porą paprastųjų teiginių kaip „kambaryje yra kilimas“, „prie durų stovi lentyna“, juos galima jungti į sudėtinius:

• Kambaryje yra kilimas ir prie durų stovi lentyna.
• Kambaryje yra kilimas arba prie durų stovi lentyna.
• Jei kambaryje yra kilimas, tai prie durų stovi lentyna.
• Jei ir tik jei kambaryje yra kilimas, tai prie durų stovi lentyna.

Konjunkcinis teiginys „kambaryje yra kilimas ir prie durų stovi lentyna“ teisingas tik tuomet, kai kambaryje tikrai yra kilimas ir prie durų stovi lentyna. O jei kambaryje kilimas yra, tačiau prie durų nestovi lentyna, teiginys tampa klaidingu.

Kojunkcinio teiginio teisingumas priklauso nuo jį sudarančių paprastų teiginių teisingumo reikšmių. Konjukcijos žymėjimas – ${\displaystyle \land }$ arba kaip siūlo logikas Romanas Pečkaitis, žymėti tašku (${\displaystyle \cdot }$) tarp teiginių.

Kambaryje yra kilimas žymime ${\displaystyle p}$. Prie durų stovi lentyna žymime ${\displaystyle q}$.

p	q	p ⋀ q
t	t	t
t	k	k
k	t	k
k	k	k

Dar vienas konjunkcijos pavyzdys, su neigiama reikšme: „šiandien šilta ir nelyja“. Žymėjimas bus: ${\displaystyle p\land \neg q}$, šiandien šilta – ${\displaystyle p}$ ir nešalta – ${\displaystyle \neg q}$.

Taip pat konjunkcijoje loginiai kintamieji gali būti sukeisti vietomis: ${\displaystyle (p\land \neg q)\leftrightarrow (\neg q\land p)}$. Tačiau konjunkcijos narių perstatymas (sukeitimas vietomis) ne visuomet yra įmanomas. „Persirengė ir atrodė gražiai“ narius sukeitus vietomis pakis ir pati teiginio prasmė: „atrodė gražiai ir persirengė“. Jungčiai „ir“, daugeliu atveju galime pritaikyti kalboje naudojamus gramatinius jungtukus kaip: „o“, „bet“, „tačiau“, „nors“. Jie yra lygiaverčiai jungčiai „ir“.

• Monika dar mokykloje ir ilsėsis namuose.
• Monika dar mokykloje, o ilsėsis namuose.
• Monika dar mokykloje, tačiau ilsėsis namuose.

Visi šie teiginiai teisingi tik tuomet, kai teisingi juos sudarantys paprasti teiginiai, todėl šie trys teiginiai yra logiškai lygiavertūs.

Pasitaiko atvejų, kai konjunkciją gali išreikšti žodelis „kuris“. Šiuo atveju teiginys „paėmiau stiklinę, kuri stovėjo lentynoje“ – konjunkcinis.

Kad lengviau atskirti konjunkcinį sakinį, verta atkreipti dėmesį į naudojamus kablelius, kurie ir nurodo, jog sakinys yra konjunkcinis.

Dažnai konjunkciją išreiškia ir žodelis „tik“. Pavyzdžiui: tik vyras ${\displaystyle X}$ nusižengė įstatymams.

Sakinys bus suprantamas kaip: niekas kitas nenusižengė įstatymams (${\displaystyle \neg q}$), apart vyro ${\displaystyle X}$ (${\displaystyle p}$). Šio teiginio struktūra: ${\displaystyle \neg q\land p}$.

Konjunkciją taip pat išreiškia gramatiniai jungtukai „nei…, nei“, „kaip.., taip“, „tai…, tai“. Pavyzdžiui, „nei saulė švietė, nei lietus lijo“ (${\displaystyle q\land p}$).

Kad ir kokiomis kalbinėmis priemonėmis būtų išreikšta konjunkcija, visais atvejais ji teisinga tik tuomet, kai teisingi visi jos nariai.

Prieštaravimo dėsnis

Vienas svarbiausių logikos dėsnių – neigimo dėsnis, kuriuo yra pravartu vadovautis nuolatiniuose savo samprotavimuose. Nusakomas taip: teiginys negali kartu būti kartu ir teisingas ir klaidingas. Užrašomas formule: ${\displaystyle \neg (p\land \neg p)}$.

Išraišką ${\displaystyle \neg (p\land \neg p)}$ sudaro teiginys ${\displaystyle p}$, jo neigimas ${\displaystyle \neg p}$, teiginių ${\displaystyle p}$ ir ${\displaystyle ne-p}$ konjunkcija bei šios konjunkcijos neigimas. Kadangi pastaroji išraiška yra logikos dėsnis, tai kintamąjį ${\displaystyle p}$ pakeitus kokiu nors konkrečiu teiginiu, visuomet gausime tiesą. Pakeitę ${\displaystyle p}$ teiginiu „moteris ${\displaystyle M}$ turi porą vaikų“ ir jo neigimas „moteris ${\displaystyle M}$ neturi poros vaikų“ yra kartu teisingi. Neabejotina, jog negali būti taip, kad tuo pat metu moteris ${\displaystyle M}$ ir turėtų pora vaikų, ir tuo pat metu neturėtų. Patikrinti, ar išraiška ${\displaystyle \neg (p\land \neg p)}$ visgi yra logikos dėsnis, pastarajai sudaroma matricos lentelė:

p	¬p	p ∧¬p	¬(p ∧¬p)
t	k	k	t
k	t	k	t

Teiginiai ${\displaystyle p}$ ir ${\displaystyle \neg p}$ vadinami prieštaraujančiais. Du teiginiai vienas kitam prieštarauja, jei nėra teiginio, kuris patvirtintų juos abu, atsižvelgiant į tai, jog logikoje nėra teiginio, kuris patvirtintų ir ${\displaystyle p}$ ir ${\displaystyle \neg p}$.

Prieštaravimo dėsnį galima taikyti tik vartojant teiginius ${\displaystyle p}$ ir ${\displaystyle ne-p}$ vienu ir tuo pačiu požiūriu, viena ir ta pačia – vienoda prasme. Jei teiginį ${\displaystyle p}$ vartosime vienu požiūriu, o jo neigimą ${\displaystyle ne-p}$ – kitu požiūriu, tai prieštaravimo dėsnis tokių teiginių atžvilgiu neįgaus prasmės, negalios.

Šis dėsnis draudžia apie objektą mąstyti prieštaringai ir nurodo, kad negalima suderinti teiginio ir to paties teiginio neiginio.

Prieštaravimo dėsnis taip pat yra tam tikrų realios tikrovės atsispindėjimas mintyse. Atspindimas toks faktas, jog nagrinėjamas objektas kartu ir gali ir negali egzistuoti, turėti kokių nors savybių ir tuo pat metu jų neturėti. Vasaros ir žiemos buvimas tuo pat metu nėra įmanomas.

Disjunkcija

Disjunkciniu teiginiu vadinamas toks sudėtinis sakinys, kuris yra sudarytas iš kelių paprastų teiginių, sujungtų logine jungtimi „arba“.

Išsikiraimos dvi disjunkcijos rūšys. Kitaip tariant, jungtis „arba“ turi dvi reikšmes:

• Silpnoji. Silpnosios disjunkcijos sąlyga klaidinga tik tuomet, kai visi jos nariai klaidingi. Silpnojoje disjunkcijoje iš kelių galimų atvejų įvykdomu laikomas bent vienas, tačiau numatoma, kad gali būti įvykdomi ir kiti atvejai. Silpnosios disjunkcijos žymėjimas – ${\displaystyle p\lor q}$. Pavyzdžiui: „avariją padarė arba Paulius arba Matas“.
• Griežtoji. Griežtojoje disjunkcijoje iš kelių galimų atvejų įvykdomu laikomas tik vienas. Griežtosios disjunkcijos sąlyga teisinga tik tuomet, kai teisingas vienas jos narys. Griežtosios disjunkcijos žymėjimas – ${\displaystyle p\veebar q}$. Pavyzdžiui, „užduotis atlikta arba septynetui arba devynetui“. Užduotis negali būti atlikta ir septynetui, ir devynetui tuo pat metu.

Pavyzdžiui: „šiandien bus apsiniaukę arba debesuota, arba giedra“ (${\displaystyle p\lor q\lor r}$). Disjunkcijos narius, kaip ir konjunkcijos, galima sukeisti vietomis: ${\displaystyle (p\lor q)\leftrightarrow (q\lor p)}$.

Griežtosios disjunkcijos matrica:

p	q	p ⊻ q
t	t	k
t	k	t
k	t	t
k	k	k

Silpnosios disjunkcijos matrica:

p	q	p ⋁ q
t	t	t
t	k	t
k	t	t
k	k	k

Labai svarbus silpnosios disjunkcijos skyrimas nuo griežtosios. Silpnoji disjunkcija yra bendresnio pobūdžio, negu griežtoji. Ji gali būti reiškiama dalelytėmis „gal.., gal“. Pavyzdžiui: „Gal susitiksiu šiandien su Lina, gal su Jokūbu, o gal su Tomu“.

Negalimo trečiojo dėsnis

Tertium non datur – lot. negalimo trečiojo dėsnis (arba trečiojo išskiriamojo principas – lot. principium tertii exclusi) yra kiek panašus į prieštaravimo dėsnį, o kartu tai yra vienas iš pagrindinių dėsnių, nuolat vartojamų samprotavimuose. Kur prieštaravimo dėsnis dėsnis teigia, jog yra netiesa, jog teiginio teigimas ir teiginio neigimas kartu yra teisingi (konjunkcija), negalimo trečiojo dėsnis kalba apie teiginio teisingumą arba neteisingumą, trečios galimybės nėra (disjunkcija). Plečkaitis pabrėžia, jog negalimo trečiojo dėsnis atspindi mąstyme tą paprastą faktą, kad koks nors objektas egzistuoja arba neegzistuoja, kad jis turi kokius nors požymius arba jų neturi. Pavyzdžiui, teisiamasis kaltas arba nekaltas, trečios galimybės nėra.

Bene seniausia žinoma negalimo trečiojo dėsnio formuluotė randama Aristotelio tekste Apie interpretaciją, kur jis teigia, jog iš dviejų priešingų teiginių (pavyzdžiui, kur vienas teiginys yra kito neigimas) vienas privalo būti teisingas, o kitas – klaidingas. Tai jis pabrėžia ir kaip principą 3-ojoje Metafizikos knygoje, teigdamas, kad kiekvienu atveju yra būtina patvirtinti arba paneigti, ir kad yra neįmanoma, jog tarpe šių dviejų priešingybių būtų kažkas kita.

Trečiojo išskiriamojo principas, kartu su prieštaravimo dėsniu, yra tapatybės dėsnio koreliatai, nes tapatybės principas intelekto srityje perskelia pasaulį į dvi dalis: save ir kitą. Taip sukuriama , kurioje abi jos dalys yra kartu nesuderinamos ir abipusiai išsamios. Prieštaravimo dėsnis išreiškia nesuderinamumo, o negalimo trečiojo dėsnis – abipusio išsamumo aspektus.

Bertranas Raselas patvirtina trečiojo išskiriamojo principo ir prieštaravimo dėsnio perskyrą savo : jis teigia esant tris mąstymo dėsnius, esančius , ir save įsirodančiais logikos principais Aristotelio kontekste:

• Tapatybės dėsnis: „Viskas, kas yra, yra.“
• Prieštaravimo dėsnis: „Niekas negali kartu būti ir nebūti.“
• Trečiojo išskiriamojo dėsnis: „Viskas privalo arba būti, arba nebūti.“

Tad, remiantis jau aptartomis disjunkcijos ir neigimo taisyklėmis, galime užrašyti negalimo trečiojo dėsnį formule: ${\displaystyle (p\lor \neg p)}$, kuri skaitoma taip: teiginys ${\displaystyle p}$ teisingas arba jo neigimas ${\displaystyle ne-p}$ teisingas – trečios galimybės nėra. Kitaip sakant, kiekvienas teiginys yra teisingas arba klaidingas – trečios galimybės nėra. Matricos lentelė rodo gaunamą teiginio tautologiškumą, todėl tai leidžia šią išraišką laikyti dėsniu.

p	¬p	p⋁¬p
t	k	t
k	t	t

Pirmame stulpelyje nurodyta, kad teiginys p gali turėti teisingą arba klaidingą reikšmę; antrame stulpelyje, remiantis loginio neigimo taisykle, nustatoma ${\displaystyle \neg p}$ reikšmė; o trečiame stulpelyje turime disjunkciją ${\displaystyle (p\lor \neg p)}$. Pirmame ir antrame loginiuose pasauliuose nustatome, jog disjunkcijos nariai turi skirtingas reikšmes, todėl disjunkcija ${\displaystyle (p\lor \neg p)}$ teisinga. Taigi paskutiniame stulpelyje gauname tik reikšmę „teisinga“.

Anot Plečkaičio, logika negali nustatyti, kuris būtent teiginys teisingas – (${\displaystyle p}$ ar ${\displaystyle \neg p}$), nes logika tam neturi priemonių. Kuris iš šių dviejų prieštaraujančių teiginių teisingas, nustato paskiri mokslai, stebėjimai, praktika. Logika, savo ruožtu, nustato tik bendro pobūdžio taisyklę, būtent: jei turime kokį nors teiginį, tai arba jis teisingas, arba jo neigimas teisingas, trečios galimybės nėra.

Negalimo trečiojo dėsnis neturėtų būti maišomas su bivalentiškumo principu. Logikoje semantinis bivalentiškumo dėsnis teigia, jog kiekvienas teigiamas sakinys, išreiškiantis propoziciją, t. y. tikrinamą tiesą, turi tik vieną teisingumo reikšmę: arba teisingą, arba klaidingą, bet ne abi kartu. Logika, tenkinanti šį principą, vadinama dvireikšme arba bivalentiška logika, teigiančia, jog kiekviena propozicija yra arba teisinga, arba klaidinga ir turi tik vieną semantinę išraišką.

Negalimo trečiojo dėsnis kartu su prieštaravimo dėsniu turi papildomus loginių klaidų pavyzdžius: , , , , ir kitos panašios loginio samprotavimo klaidos.

Implikacija

Implikacija yra sudėtinis teiginys, sujungtas loginė operacija „jei…, tai…“, rodantis teiginio išvedimą iš kito teiginio, pavyzdžiui, jei šviečia saulė, tai dangus yra giedras, kur „šviečia saulė“ ir „dangus yra giedras“ yra du paprastieji teiginiai, į sudėtinį teiginį sujungti implikacija, rodančia vieno (konsekvento) išvedamumą iš kito (antecedento) – teiginys ${\displaystyle A}$ implikuoja ${\displaystyle B}$. Implikacija yra žymima ženklu ${\displaystyle \to }$, o formulė užrašoma ${\displaystyle (p\to q)}$. Implikacijos išraiška gali būti skaitoma dvejopai: a) jei ${\displaystyle p}$, tai ${\displaystyle q}$, arba b) iš ${\displaystyle p}$ seka ${\displaystyle q}$. Anot Plečkaičio, implikacija yra sudėtingiausia iš visų loginių jungčių, nes teiginio išvedimas iš kito teiginio yra sudėtingiausias dėl pasaulio objektų ir požymių įvairovės, neįgalinančios samprotavimų apie pasaulį apimti vienintele logine seka. Loginė išvada yra logikos mokslo koncepcija, kuri dažnai vartojama sinonimiškai su žodžiu implikuoja, todėl kartais žodžiu implikacija yra būtina atskirti:

• Kauzalinę implikaciją, išreiškiančią priežastinį ryšį tarp jos narių, nustatomą ir tikrinamą empiriškai, pavyzdžiui, teiginyje „jei trintis didėja, tai kūno judėjimo greitis mažėja“ jungtis „jei…, tai…“ rodo iš ${\displaystyle p}$ priežastingai sekantį ${\displaystyle q}$.

• Griežtąją implikaciją, išreiškiančią tarp reiškinių; ir nors priežastiniai ryšiai taip pat būtini, tačiau ne visi būtini ryšiai yra priežastiniai: teiginyje „Jei skaičius dalinasi iš 4, tai jis dalijasi ir iš 2“, jungtis „jei…, tai…“ turi griežtosios implikacijos (iš ${\displaystyle p}$ būtinai seka ${\displaystyle q}$), o ne kauzalinės implikacijos (iš ${\displaystyle p}$ priežastingai seka ${\displaystyle q}$) reikšmę.

• Formaliąją implikaciją (definicinę implikaciją), išreiškiančią ryšį tarp objekto ir jo požymio: teiginyje “jei ${\displaystyle x}$ yra žmogus, tai ${\displaystyle x}$ – mąstanti būtybė” pasakoma, kad jei kas nors turi požymį „būti žmogumi“, tai jis turi požymį „būti mąstančia būtybe“.

• Sprendiminę implikaciją, išreiškiančią nei , nei definicinio ryšio nebuvimą tarp antecedento ir konsekvento: tai yra kalbėtojo sprendimas pasielgti tam tikru būdu tam tikromis aplinkybėmis („jei pralaimėsiu, pražygiuosiu Gedimino prospektu, apsirengęs moterišką sunknelę“).

• Materialioji implikacija yra pati bendriausia ir pagrindinė implikacijos rūšis: joje neatsižvelgiama nei į būtinus, nei į kokius nors kitokius ryšius tarp jos narių. Materialiojoje implikacijoje abstrahuojamasi nuo visų prasminių ir atsižvelgiama tik į vieną veiksnį – teiginių teisingumą ir klaidingumą. materialioji implikacija “iš ${\displaystyle p}$ seka ${\displaystyle q}$” yra logiškai ekvivalentiška “arba ${\displaystyle ne-p}$, arba ${\displaystyle q}$, arba abu kartu”. Auksčiau pateikta formulė ${\displaystyle (p\to q)}$ ir yra materialiosios implikacijos simbolinis užrašymas, o jos matrica atrodo taip:

p	q	p → q
t	t	t
t	k	k
k	t	t
k	k	t

Implikacijos matricą galime nusakyti taip: pirmojoje eilutėje iš teisingo antecedento seka teisingas konsekventas – implikacija yra teisinga; antrojoje eilutėje iš teisingo antecedento seka klaidingas konsekventas – implikacija yra klaidinga; trečiojoje eilutėje iš klaidingo antecedento seka teisingas konsekventas – implikacija yra teisinga; o ketvirtojoje eilutėje iš klaidingo antecedento seka klaidingas konsekventas – implikacija yra teisinga. Tad implikacija yra klaidinga vienu vieninteliu atveju, kai iš teisingo antecedento seka klaidingas konsekventas. Paskutinės dvi eilutės nurodo svarbų dėsnį, jog iš klaidingo antecedento seka bet kokia reikšmė, o jį galime užrašyti taip: ${\displaystyle [p\to (\neg p\to q)]}$, kurį skaitome jei ${\displaystyle p}$, tai iš ${\displaystyle ne-p}$ seka ${\displaystyle q}$. Tuo tarpu, pirmosios dvi eilutės nurodo kitą dėsnį, jog teisingas teiginys seka iš bet kurio kito teiginio, o jį galime užrašyti taip: ${\displaystyle [p\to (q\to p)]}$, kurį skaitome jei ${\displaystyle p}$, tai iš ${\displaystyle q}$ seka ${\displaystyle p}$.

Plečkaitis atkreipia dėmesį, jog jungtis „jei…, tai…“ gali išreikšti ne tik seką, bet ir kitas jungtis, pavyzdžiui, teiginys „jei pirmoji rašytojo knyga buvo patraukti, tai antroji jo knyga yra sunkiai skaitoma“ yra konjunkcinis: „pirmoji rašytojo knyga buvo patraukli ir antroji jo knyga yra sunkiai skaitoma“.

Ekvivalencija

Ekvivalencija yra sudėtinis teiginys, sujungtas loginė operacija „jei ir tik jei…, tai…“, rodantis abiejų jos teiginių lygiavertiškumą, pavyzdžiui, jei ir tik jei ${\displaystyle p}$, tai ${\displaystyle q}$, arba „Jei ir tik jei visi konjunkcijos nariai teisingi, tai konjunkcija teisinga“ kur „visi konjunkcijos nariai teisingi“ ir „Konjunkcija teisinga“ yra du paprastieji teiginiai, į sudėtinį teiginį sujungti ekvivalencija, rodančia vieno nario lygiavertiškumą kitam – teiginys ${\displaystyle A}$ ekvivalentiškas ${\displaystyle B}$. Ekvivalencija yra žymima ženklu ${\displaystyle \leftrightarrow }$, o formulė užrašoma ${\displaystyle (p\leftrightarrow q)}$. Ekvivalencijos taisyklė rodo, jog jei du teiginiai yra logiškai ekvivalentūs, tai jų teisingumo reikšmės vienodos (abu teisingi arba abu klaidingi).

p	q	p ~ q
t	t	t
t	k	k
k	t	k
k	k	t

Ekvivalencija (teiginių lygiavertiškumas) yra implikacija abiem kryptimis: ${\displaystyle {(p\leftrightarrow q)\leftrightarrow [(p\to q)\land (q\to p)]}}$, skaitome: “Jei ir tik jei ${\displaystyle p}$, tai ${\displaystyle q}$” lygiavertus teiginiui “Iš ${\displaystyle p}$ seka ${\displaystyle q}$ ir iš ${\displaystyle q}$ seka ${\displaystyle p}$”.

Apibendrinant, yra vertinga sudaryti visų aukščiau minėtų loginių jungčių teisingumo sąlygų bendrą lentelę (matricą):

p	q	p ⋀ q	p ⊻ q	p ⋁ q	p → q	p ~ q
t	t	t	k	t	t	t
t	k	k	t	t	k	k
k	t	k	t	t	t	k
k	k	k	k	k	t	t

Loginių jungčių pakeitimas

Nepaisant to, jog teiginiai gali būti sujungti daugybe gramatinių priemonių, bet žvelgiant iš loginės pusės jie gali būti sujungti tik keturiomis loginėmis jungtimis (konjunkcija, disjunkcija, implikacija ir ekvivalencija). Tačiau galime tam tikras logines jungtis pakeisti kitomis. Įmanomi trys atvejai:

• keičiama konjunkcija ir neigimu;
• keičiama disjunkcija ir neigimu;
• keičiama implikacija ir neigimu;

Disjunkcijos keitimas konjunkcija ir neigimu. ${\displaystyle (p\lor q)\leftrightarrow \neg (\neg p\land \neg q)}$. Taigi, pakeitę disjunkciją konjunkcija ir neigimu, gauname, jog ${\displaystyle p}$ arba ${\displaystyle q}$ yra ekvivalentiška: netiesa, kad ${\displaystyle ne-p}$ ir ${\displaystyle ne-q}$.

Implikacijos keitimas konjukcija ir neigimu. ${\displaystyle (p\to q)\leftrightarrow \neg (p\land \neg q)}$. Taigi, pakeičiame implikaciją, jei ${\displaystyle p</path>tai<math>q}$ ekvivalentu: netiesa, kad ${\displaystyle p}$ ir ${\displaystyle ne-q}$.

Ekvivalencijos keitimas konjunkcija ir neigimu. ${\displaystyle (p\leftrightarrow q)\leftrightarrow [\neg (p\land \neg q)\land \neg (q\land \neg p))}$. Taigi, pakeičiame ekvivalenciją: ${\displaystyle p}$ ekvivalentu ${\displaystyle q}$; ekvivalenčiai išraiškai; netiesa, kad ${\displaystyle p}$ ir ${\displaystyle ne-q}$, ir netiesa, kad ${\displaystyle q}$ ir ${\displaystyle ne-p}$.

Konjunkcijos keitimas disjunkcija ir negimu. ${\displaystyle (p\land q)\leftrightarrow \neg (\neg p\lor \neg q)}$. Taigi, konjunkciją: ${\displaystyle p}$ ir ${\displaystyle q}$; pakeičiame ekvivalenčiu teiginiu: netiesa, kad ${\displaystyle ne-p}$ arba ${\displaystyle ne-q}$.

Implikacijos pakeitimas disjunkcija ir neigimu. ${\displaystyle (p\to q)\leftrightarrow (\neg p\lor q)}$. Taigi, implikaciją: jei ${\displaystyle p}$ tai ${\displaystyle q}$; keičiame lygiaverčiu: ${\displaystyle ne-p}$ arba ${\displaystyle q}$.

Ekvivalencijos pakeitimas disjunkcija ir neigimu. ${\displaystyle (p\leftrightarrow q)\leftrightarrow \neg (\neg (\neg p\lor q)\lor \neg (\neg q\lor p))}$. Taigi, ekvivalenciją: ${\displaystyle p}$ ekvivalentu ${\displaystyle q}$; yra lygiavertu išraiškai: netiesa, jog netiesa, kad ${\displaystyle ne-p}$ arba ${\displaystyle q}$, arba netiesa, kad ${\displaystyle ne-q}$ arba ${\displaystyle p}$.

Konjunkcijos pakeitimas implikacija ir neigimu. ${\displaystyle (p\land q)\leftrightarrow \neg (p\to \neg q)}$. Taigi, konjunkciją ${\displaystyle p}$ ir ${\displaystyle q}$; ekvivalenčia išraiška: netiesa, kad jei ${\displaystyle p}$ tai ${\displaystyle ne-q}$.

Disjunkcijos keitimas implikacija ir neigimu. ${\displaystyle (p\lor q)\leftrightarrow (\neg p\to q)}$. Taigi, disjunkciją: ${\displaystyle p}$ arba ${\displaystyle q}$; pakeičiame lygiaverčia išraiška: netiesa, kad, jei ${\displaystyle ne-p}$ tai ${\displaystyle q}$.

Ekvivalencijos keitimas implikacija ir neigimu. ${\displaystyle (p\leftrightarrow q)\leftrightarrow \neg [(p\to q)\to \neg (q\to p)]}$. Taigi, ekvivalenciją: ${\displaystyle p}$ ekvivanlentu ${\displaystyle q}$; lygiaverčia išraiška: netiesa, kad jei iš ${\displaystyle p}$ seka ${\displaystyle q}$, tai iš ${\displaystyle q}$ neseka ${\displaystyle p}$.

Taigi, šitaip mes galime keisti vienas logines jungtis kitomis, bet jeigu gilintumemės toliau į teoriją, tai mes galėtume pajudėti dar toliau. Pasirodo, jog užtenka vieno loginio ženklo, kad juo galima būtų pakeisti visas jungtis. Šis ženklas vadinamas – , o jis žymimas simboliu ${\displaystyle \uparrow }$. Išraiška formule būtų: ${\displaystyle p\uparrow q}$, o skaitytume jį mes: ${\displaystyle p}$ nesuderinamas su ${\displaystyle q}$. Nesuderinamumas reiškia, jog ${\displaystyle p}$ ir ${\displaystyle q}$ negali būti kartu teisingi, t. y. ${\displaystyle \neg (p\land q)}$. O pasak De Morgano taisyklės, ${\displaystyle \neg (p\land q)\leftrightarrow (\neg p\lor \neg q)}$, disjunkciją pakeitus implikacija gauname: ${\displaystyle (\neg p\lor \neg q)\leftrightarrow (p\to \neg q)}$. Taigi, kaip matome iš to galime gauti ${\displaystyle p\uparrow q\leftrightarrow \neg (p\land q)\leftrightarrow (\neg p\lor \neg q)\leftrightarrow (p\to \neg q)}$. Shefferio štrichas naudojamas , jos jo pagalba atlieka .

Dvejybiškumas

Galimybė keisti logines jungtis mums rodo, jog kiekvieną teiginių logikoje sutiktą išraišką, mes galime pakeisti ir pertvarkyti taip, kad ją sudarytų tik trys operacijos, kurios būtų konjunkcija, disjunkcija ir neigimas. Konjunkcijos ir disjunkcijos operacijos yra vadinamos dvejybiškomis, t.y konjunkcija dvejybiška disjunkcijai ir disjunkcija dvejybiška konjunkcijai.

Dvejybiškos išraiškos vadinamos tokiomis tik tada, kai vieną galime gauti iš kitos, kiekvieną veiksmą pakeitus dvejybišku veiksmu. Pavyzdžiui, ${\displaystyle (p\land q)\lor r}$ ir ${\displaystyle (p\lor q)\land r}$; šios išraiškos yra dvejybiškos. Taip pat dvejybiškų išraiškų teisingumas ir klaidingumas yra dvejybiškas. Nesikeičia tik neigimas, kuris savaime yra vadinamas dvejybišku.

Dvejybiškumo principas – jei dvi išraiškos yra lygiavertės, tai joms dvejybiškos išraiškos, taip pat lygiavertės.

Įrodymai

Loginiuose samprotavimuose iš prielaidų konjunkcijos daroma išvada, o įrodymuose iš argumentų konjunkcijos išvedamas tezės teisingumo pagrindimas. Skirtumas tas, jog samprotavimuose yra žinomos prielaidos ir reikia nustatyti, ar siūloma išvada logiškai išplaukia iš tų prielaidų, kai įrodymuose atramos taškas yra tezė ir reikia parinkti tokius argumentus iš kurių tezė išplauktų taip, kaip išvada iš prielaidų samprotavimuose.

Įrodymai būna formalūs, kai argumentais parinktos tam tikros aksiomos, o reikia parodyti, jog tezės formulė, kaip teorema išplaukia iš argumentų, tad tokiu atveju įrodymas priklauso tik nuo struktūros; arba prasminėse sistemose, kuriuose ir tezėje, ir argumentuose naudojamos prasmę turinčios sąvokos, o juose argumentai parenkami remiantis praktiniu objektinės srities pažinimu.

Tiesioginiai įrodymai paremti implikacijos pereinamumo taikymu, t. y. ieškoma prielaidų forma: ${\displaystyle [P\to P1,P1\to P2,P2\to P3,P3\to P4,\ldots ,Pn\to q]}$. Kai turima begalinę implikacijų grandinę ir fiziškai negalima jos realizuoti, naudojama matematinė indukcija: kai yra žinoma, kad kažkokiam tai skaičiui ${\displaystyle ^{n}}$ yra teisinga savybė ${\displaystyle P(n)}$ ir norima įrodyti, jog ta savybė yra teisinga bet kuriam skaičiui ${\displaystyle z}$, t. y. teisinga ${\displaystyle P(z)}$. Įrodymo schema yra tokia:

${\displaystyle P(1),P(m)\to P(m+1),P(z)}$

Netiesioginiuose įrodymuose užuot įrodžius, kad logiškai teisingas sakinys ${\displaystyle p\to q}$, įrodomas kitas, ekvivalentus teiginys. Įrodymas per , kaip vienas tokio įrodymo būdų, užuot įrodęs, kad sakinys ${\displaystyle p\to q}$ yra logiškai teisingas, įrodomas jam ekvivalentus teiginys ${\displaystyle \neg q\to \neg p}$. Panašus netiesioginis įrodymas yra privedimas iki absurdo, arba . Jeigu reikia įrodyti tezę ${\displaystyle q}$, tai priimama priešinga prielaida ${\displaystyle \neg q}$ ir gaunamas prieštaravimas ${\displaystyle (r\land \neg r)}$, tada daroma išvada, kad turėjo būti teisinga ${\displaystyle q}$, t. y. ${\displaystyle [\neg q\to (r\land \neg r)]\to q}$. Dar vienas netiesioginis įrodymas – atskiriamasis įrodymas, kuriame tezės teisingumas nustatomas nustatant kitų disjunkcijos alternatyvų klaidingumą.

Išsprendžiamumas

Plečkaitis teigia, jog išsprendžiamumas yra pagrindinė kiekvienos loginės teorijos problema. Kiekvienoje teorijoje nustatoma, kokios išraiškos joje laikomos bendrareikšmėmis, t. y. dėsniais. Išskirtinos loginių išraiškų grupės:

• 1. Visuomet teisingos išraiškos. Tai yra logikos dėsniai;
• 2. Visuomet klaidingos išraiškos. Tai yra logikos dėsnių neigimas;
• 3. Kartais teisingos, kartais klaidingos atsitiktinės išraiškos, kai gaunama teisinga arba klaidinga išvada.

Išsprendžiamumo problemos sprendimo būdai:

• 1. Gaunamos matricų metodu;
• 2. Išraiškai suteikiama normalioji forma.

Išsprendžiamumas matricų metodu

Norint išsprendžiamumo problemą spręsti matricų metodo pagalba, visų pirma reikia imtis pateikto samprotavimo formalizacijos. Toliau, imamasi po formalizacijos gautos išraiškos tikrinimo. Nustatykime, ar išraiška ${\displaystyle [(\neg p\land \neg q\land p)\to \neg q]}$ yra teisinga ir potenciali, o iš premisų gaunama išvada, yra teisinga. Norėdami išspręsti šį pavyzdį, turėtume visus kintamuosius ir jų sąryšius vienų su kitais loginėje funkcijoje, apibrėžti atskirai, t. y. nustatyti jų teisingumo reikšmes:

p	q	¬q	p ⋀ q	¬p ⋀ ¬q	¬p ⋀ ¬q ⋀ p	(¬p ⋀ ¬q ⋀ p) → ¬q
t	t	k	t	k	k	t
t	k	t	k	k	k	t
k	t	k	k	k	k	t
k	k	t	k	t	k	t

Kadangi paskutinis išraiškos stulpelis nurodo, jog visi galimi nagrinėjamos išraiškos variantai teisingi, vadinasi išvada yra teisinga. Pasaulių (eilučių) skaičius apskaičiuojamas remiantis formule: ${\displaystyle 2^{n}}$, kur ${\displaystyle ^{n}}$ – skirtingų kintamųjų skaičius išraiškoje. Matricų metodu patogu naudotis, kai išraišką sudaro mažai paprastų teiginių, priešingu atveju reikėtų išraiškai suteikti normaliąją formą.

Išsprendžiamumas normaliųjų formų metodu ir pagrindinės teiginių logikos tautologijos

Anot Plečkaičio, normaliąją formą išraiška turės tada, kai joje bus tik neigimas, konjunkcija ir disjunkcija. Tuo tarpu, neigimas turi būti suteikiamas tik paprastiems teiginiams. Nagrinėjant tautologijas, mes aptinkame du pagrindinius tipus: ekvivalentiškumo ir implikacijos tautologijos, kurioms paklūsta teiginiai, siekiant išraiškai suteikti normaliąją formą. Mąstymo procesuose juos atlieka skirtingas funkcijas, todėl kai žmogus suvokia kažkokios minties prasmę, bet tuo pat metu protas atlieka ir kitas operacijas, taigi jam gali, ir dažnausiai kyla, nauja mintis, kuri tiesiog yra perfrazuota, arba kitaip tariant turi tą pačia prasmę. Taigi, kai mintys kyla viena po kitos, kai pirma suvokia ir išanalizuojama pirmoji, tada atsiradusi antroji, kuri turi tą pačią prasmę, kaip ir pirmoji, tai siejantis jas ryšys priklausys ekvivalentiškumo tipo tautologijoms. O jeigu, išanalizavus abi mintis mes suvokiame dėsningumą, kai antroji mintis bus teisinga tik dėl to, jog teisinga pirmoji, tai šios mintys bus siejamos su implikacijos tautologijomis.

Tautologijos, kurios sudarytos iš dviejų dalių, sujungtų ekvivalentiškumo jungtimi ${\displaystyle \leftrightarrow }$. Teisingumo lentelių reikšmės bus tos pačios. Ekvivalentiškumo tautologijų ir tapatumo santykio ryšį galime pamatyti dėsniuose, ryškiausiai taikomuose :

1. Dvigubas neigimas (DN): ${\displaystyle \neg (\neg p)\leftrightarrow p}$;
2. De Morgano taisyklė (DeM): ${\displaystyle \neg (p\land q)\leftrightarrow (\neg p\lor \neg q)}$, ${\displaystyle \neg (p\lor q)\leftrightarrow (\neg p\land \neg q)}$;
3. Materiali implikacija (MI): ${\displaystyle (p\to q)\leftrightarrow (\neg p\lor q)}$;
4. Duplikacija (Dup): ${\displaystyle (p\land p)\leftrightarrow p}$, ${\displaystyle (p\lor p)\leftrightarrow p}$;
5. Komutacija (Com): ${\displaystyle (p\land q)\leftrightarrow (q\land p)}$, ${\displaystyle (p\lor q)\leftrightarrow (q\lor p)}$;
6. Asociacija (Asoc): ${\displaystyle [(p\land q)\land r]\leftrightarrow [p\land (q\land r)]}$, ${\displaystyle [(p\lor q)\lor r]\leftrightarrow [p\lor (q\lor r)]}$;
7. Distribucija (Dist): ${\displaystyle [p\land (q\lor r)]\leftrightarrow [(p\land q)\lor (p\land r)]}$, ${\displaystyle [p\lor (q\land r)]\leftrightarrow [(p\lor q)\land (p\lor r)]}$;
8. Kontrapozicija (Contr): ${\displaystyle (p\to q)\leftrightarrow (\neg q\to \neg p)}$;
9. Materiali ekvivalencija (ME):${\displaystyle (p\leftrightarrow q)\leftrightarrow [(p\to q)\land (q\to p)]}$;
10. Eksportacija (Exp): ${\displaystyle [(p\land q)\to r]\leftrightarrow [p\to (q\to r)]}$;

apibrėžia ekvivalenčių formų sudarymo taisyklę taip: dvi formulės ${\displaystyle A(p1...,pn,q1,...,qs)}$ ir ${\displaystyle B(p1,...,pn,r1,...,ru)}$ vadinamos ekvivalenčiosiomis, jei su bet kuria aibės ${\displaystyle {p1,...,pn,q1,...,qs,r1,...,ru}}$ interpretacija ${\displaystyle v}$ galioja lygiavertiškumas ${\displaystyle [v(A)\leftrightarrow v(B)]}$.

Savo ruožtu, yra tokių tautologijų, kurios sudarytos iš dviejų dalių ir yra sujungtos implikacijos jungtimi (→). Kadangi, tautologijos sujungtos implikacijos jungiamuoju simboliu, jos ir vadovaujasi implikacijos teisingumo taisyklėmis. Taigi, kai konsekventas yra klaidingas, mūsų antecedentas niekad nebus klaidingas, kadangi impklikacijos teisingumo sąlygos sako, jog jei konsekventas yra klaidingas, mes vistiek turime gauti teisingą antecedentą, jei norime, jog implikacija būtų teisinga. Keletas pavyzdžių dėsniuose:

1. Iš klaidingo teiginio visada seka bet koks teisingas teiginys – jei teiginys ${\displaystyle p}$ teisingas, tai iš jo neiginio išplaukia, jog teisingas bet koks kitas teiginys ${\displaystyle q}$: ${\displaystyle p\to (\neg p\to q)}$
2. Prieštaravimo išvedimas – jei iš teiginio ${\displaystyle p}$ išplaukia jo neiginys, tai teisingas yra jo neiginys. Čia iškyla paradoksas, vadinamas : Kretietis Epimenidas teigia – "visi kretiečiai melagiai! " Pasižymime: ${\displaystyle p}$ – visi kretiečiai melagiai. Suprasti reikėtų šitaip: jei visi kretiečiai yra melagiai, tai Epimenidas, kuris pats yra kretietis, taip pat meluoja, jog visi kritiečiai yra melagiai, o kaip suprantame, tada pirmasis teiginys yra netiesa. Pasak prieštaravimo dėsnio, šiuo atveju yra teisingas ${\displaystyle \neg p}$ (kretiečiai nėra melagiai): ${\displaystyle (p\to \neg p)\to \neg p}$.
3. Simplifikacijos dėsnis – jei teisinga kelių teiginių konjunkcija, tai teisingi ir patys teiginiai: ${\displaystyle (p\land q)\to q}$ ir ${\displaystyle (p\land q\to p)}$.
4. Adicijos dėsnis – jei teisingas kažkoks teiginys, tai teisinga ir jo disjunkcija su bet kokiu kitu teiginiu: ${\displaystyle p\to (p\lor q)}$.

Pagrindinės išvedimo taisyklės:

1. Modus ponens (MP): ${\displaystyle (p\to q)\land p\therefore q}$;
2. Modus tollens (MT): ${\displaystyle (p\to q)\land \neg q\therefore \neg p}$;
3. Hipotetinis silogizmas (HS): ${\displaystyle (p\to q)\land q\to r\therefore p\to r}$;
4. Konstruktyvioji (CD): ${\displaystyle [(p\to r)\land (q\to s)]\land (p\lor q)\therefore r\lor s}$;
5. Absorbcija (Abs): ${\displaystyle p\to q\therefore p\to (p\land q)}$;
6. Disjunktyvus silogizmas (DS): ${\displaystyle (p\lor q)\land \neg p\therefore q}$;
7. Simplifikacija (Simp): ${\displaystyle p\land q\therefore p}$, ${\displaystyle p\land q\therefore q}$;
8. Konjunkcija (Conj): ${\displaystyle p,q\therefore p\land q}$;
9. Adicija (Add): ${\displaystyle p\therefore p\lor q}$;

Normaliosios loginių išraiškų formos gali būti dviejų rūšių: konjunkcinė normalioji forma (knf) ir disjunkcinė normalioji forma (dnf).

Konjunkcinė normalioji forma

Konjunkcinė normalioji forma ekvivalentiška paprastų disjunktyviai sujungtų teiginių konjunkcijai. Tokia forma gali būti suteikta bet kokiai išraiškai. Tokia forma sutrumpintai žymima knf. Knf galimi du standartiniai variantai: tai visuomet teisingas teiginys. Kai kiekvienoje disjunkcijoje yra teiginys ir jo neigimas, tai tada tokia išraiška yra visuomet teisinga. Plečkaitis teigia, jog konjunkcinė normalioji forma, kuri yra visuomet teisinga, įgalina nustatyti, ar formulė ${\displaystyle B}$ yra formulių ${\displaystyle [A1,A2,A3,...,An]}$ loginis sekmuo. Jei, prielaidas sujungus konjunkcija, išraiškai negalime suteikti knf, tuomet reiškia, jog duotasis teiginys nėra turimųjų prielaidų logiškas sekmuo.

Išraiškos tobula konjunkcinė normalioji forma. Sąlygos:

1. joje nėra dviejų vienodų konjunkcijos narių;
2. nė viename konjunkcijos naryje nėra dviejų vienodų disjunkcijos narių;
3. nė viename konjunkcijos naryje nėra teiginio ir kartu to teiginio neigimo;
4. kiekviename konjunkcijos naryje yra visi išraiškoje esantys teiginiai, ir kiekvienas teiginys yra su neigimo ženklu arba be jo.

Plečkaitis teigia, jog tobula knf įgalina nustatyti visus turimųjų prielaidų sekmenis. Tuo tikslu prielaidos sujungiamos konjunkcija ir gautai išraiškai suteikiama tobula knf: kiekvienas tobulos knf konjunkcijos narys ir kiekviena konjunkcija su bet kuriuo narių skaičiumi yra turimųjų prielaidų sekmuo. Norgėla papildo, jog kad ir kokia būtų formulė, galima rasti jai ekvivalenčią normaliąją konjunkcinę formą.

Disjunkcinė normalioji forma

Disjunkcinė normalioji forma ekvivalentiška, paprastų konjunktyviai sujungtų teiginių disjunkcijai. Tokia forma sutrumpintai žymima dnf. Dnf gali būti suteikta bet kokiai išraiškai. Dnf galimi du standartiniai variantai: tai visuomet klaidingas teiginys. Kai kiekvienoje konjunkcijoje yra teiginys ir jo neigimas, tai tada tokia išraiška yra visuomet klaidinga. Jei kokiai nors išraiškai negalima suteikti nei knf, nei dnf, tuomet tokia išraiška yra kartais teisinga, kartais klaidinga.

Išraiškos tobula disjunkcinė normalioji forma. Sąlygos:

1. joje nėra dviejų vienodų disjunkcijos narių;
2. nė viename disjunkcijos naryje nėra dviejų vienodų konjunkcijos narių;
3. nė viename disjunkcijos naryje nėra teiginio ir kartu to teiginio neigimo;
4. kiekviename disjunkcijos naryje yra visi išraiškoje esantys teiginiai, ir kiekvienas teiginys yra su neigimo ženklu arba be jo.

disjunkcinė normalioji forma gali būti suteikta bet kuriai išraiškai, išskyrus visuomet klaidingas. Plečkaitis teigia, jog tobula dnf parodo įvairias galimybes, kurioms esant, turimoji išraiška yra teisinga. Norgėla papildo, jog kad ir kokia būtų formulė, galima rasti jai ekvivalenčią normaliąją disjunkcinę formą.

Teiginių logikos taikymas technikoje

Teiginių logika yra plačiai taikoma konstruojant kibernetines, kompiuterines ar tinklų sistemas. Vienas tokių pavyzdžių galėtų būti dviejų įvedimo šaltinių A ir B (tarkime, dvi signalus skleidžiančios pastotės) bei dviejų valdymo stotelių S₁ ir S₂ (tarkime, du kontrolės moduliai) tarpusavyje sujungti A–S₁, B–S₂ ryšiais, išreiškiamais konjunkcijos principu (AND), o jų išvedimas P, t. y. kontrolės modulių valdomų signalų šaltinių siunčiamas signalas į išvedimo įrenginį (tarkime, monitorių), yra atsitiktinis, t. y. arba praleidžiamas vienas arba kitas signalas, ką galėtume išreikšti disjunkcijos principu (OR). Panašų modelį galėtume užrašyti tokiomis loginėmis išraiškomis:

• ${\displaystyle P=(A\land S_{1})\lor (B\land S_{2})}$;
• ${\displaystyle P=\neg (A\land S_{1})\to (B\land S_{2})}$;
• ${\displaystyle P=\neg (B\land S_{2})\ to(A\land S_{1})}$.

Šaltiniai tolimesniam skaitymui

• Plečkaitis, R. Logikos pagrindai. Vilnius : Tyto alba, 2009.
• Lassaigne, R., de Rougemont, M. Logika ir informatikos pagrindai. Vadovėlis. Vilnius : Žodynas, 1996.
• Detlovs, V., Podnieks, K. Introduction to Mathematical Logic. Riga : University of Latvia, 1964. Archyvuota kopija 2013-08-25 iš Wayback Machine projekto.
• Герасимов, А. С. Курс математической логики и теории вычислимости. СПб.: Издательство ЛЕМА, 2011.
• Игошин В. И. Математическая логика и теория алгоритмов. М: Издательский центр Академия, 2008.
• Valevičius, V. Praktinio mąstymo logika. Klaipėda : Klaipėdos universiteto leidykla, 2001.
• Norgėla, S. Logika ir dirbtinis intelektas. Vilnius : TEV, 2007.
• Petrauskaitė, A. Logika. Trumpas logikos kursas. Vilnius : Gimtinė, 2001.
• Radavičienė, N. Logika. Deduktyvaus samprotavimo analizės pagrindai. Uždavinynas. Vilnius : Justitia, 2011.

Išnašos

1. teiginių logika(parengė Jonas Dagys). Visuotinė lietuvių enciklopedija (tikrinta 2024-09-17).
2. Aristotle. Metaphysics – Book VII Archyvuota kopija 2013-07-31 iš Wayback Machine projekto.
3. Aristotle. Metaphysics – Book III Archyvuota kopija 2013-10-05 iš Wayback Machine projekto.