Paviršinis integralas

Buvo pasiūlyta šį straipsnį ar skyrių, kaip parašytą vadovėlio stiliumi, perkelti į Vikiknygas. Taip pat galite šį straipsnį pritaikyti Vikipedijai - perrašyti enciklopediniu stiliumi.

Paviršinis integralas – funkcijos, apibrėžtos paviršiuje, integralas. Paviršiniai integralai būna pirmojo ir antrojo tipo.

Pirmojo tipo paviršinis integralas

Paviršinis integralas pirmojo tipo apskaičiuoja erdvinio kūno paviršiaus plotą, jei ${\displaystyle f[x,y,z(x,y)]=1.}$ Paviršinis integralas pirmojo tipo kartu su dvilypiu integralu apskaičiuojamas pagal formulę: ${\displaystyle \iint _{S}f(x,y,z)dS=\iint _{D}f[x,y,z(x,y)]{\sqrt {1+({\partial z(x,y) \over \partial x})^{2}+({\partial z(x,y) \over \partial y})^{2}}}dxdy.}$

• Apskaičiuosime integralą ${\displaystyle \iint _{S}{\sqrt {1+4x^{2}+4y^{2}}}dS,}$ kur S dalis paraboloido ${\displaystyle z=1-x^{2}-y^{2},}$ atpjauto plokštuma ${\displaystyle z=0.}$

Paviršius S, aprašomas lygtimi ${\displaystyle z=1-x^{2}-y^{2},}$ projektuojasi ant plokštumos xOy į sritį D, apribota apskritimu ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$ (apskritimo lygtis gaunasi iš paraboloido lygties kai ${\displaystyle z=0}$). Todėl sritis D yra skritulys ${\displaystyle x^{2}+y^{2}\leq 1.}$ Šiame skritulyje funkcijos ${\displaystyle z=1-x^{2}-y^{2},}$ ${\displaystyle z_{x}'(x,y)=-2x,}$ ${\displaystyle z_{y}'(x,y)=-2y}$ netrūkios. Pagal pirmojo tipo paviršinio integralo formule ${\displaystyle {\sqrt {1+z_{x}'^{2}(x;y)+z_{y}'^{2}(x;y)}},}$ gauname

${\displaystyle \iint _{S}f(x,y,z)dS=\iint _{D}{\sqrt {1+4x^{2}+4y^{2}}}dS=\iint _{D}{\sqrt {1+4x^{2}+4y^{2}}}{\sqrt {1+4x^{2}+4y^{2}}}dxdy=}$ ${\displaystyle =\iint _{D}(1+4x^{2}+4y^{2})dxdy.}$

Pereidami gautame dvilypiame integrale į poliarines koordinates ${\displaystyle x=\rho \cos \phi ,}$ ${\displaystyle y=\rho \sin \phi ,}$ randame

${\displaystyle \iint _{D}(1+4x^{2}+4y^{2})dxdy=\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{1}(1+4\rho ^{2})\rho d\rho =\int _{0}^{2\pi }({\rho ^{2} \over 2}+\rho ^{4})|_{0}^{1}={3 \over 2}\int _{0}^{2\pi }d\phi ={3 \over 2}\phi |_{0}^{2\pi }=3\pi .}$

Antrojo tipo paviršinis integralas

${\displaystyle \iint _{S}P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy=}$ ${\displaystyle =\iint _{S}P(x,y,z)dydz+\iint _{S}Q(x,y,z)dzdx+\iint _{S}R(x,y,z)dxdy.}$

Paviršius S projektuojamas į sritį D plokštumoje xOy:

${\displaystyle \iint _{S}R(x,y,z)dxdy=\iint _{D}R(x,y,f(x,y))dxdy.}$

Paviršius S projektuojamas į sritį D plokštumoje yOz:

${\displaystyle \iint _{S}R(x,y,z)dxdy=\iint _{D}R(f(y,z),y,z)dydz.}$

Paviršius S projektuojamas į sritį D plokštumoje xOz:

${\displaystyle \iint _{S}R(x,y,z)dxdy=\iint _{D}R(x,f(x,z),z))dzdx.}$

Pavyzdžiai

• Apskaičiuosime integralą ${\displaystyle \iint _{S}(y^{2}+z^{2})dxdy,}$ kur S – viršutinė dalis paviršiaus ${\displaystyle z={\sqrt {1-x^{2}}},}$ atkirsta plokštumomis ${\displaystyle y=0,}$ ${\displaystyle y=1.}$

Projekcija D duotojo paviršiaus į plokštumą xOy yra stačiakampis, nusakomas neligybėmis ${\displaystyle -1\leq x\leq 1,\;0\leq y\leq 1.}$ Pagal formulę ${\displaystyle \iint _{S}R(x,y,z)dxdy=\iint _{D}R(x,y,f(x,y))dxdy}$ randame

${\displaystyle \iint _{S}(y^{2}+z^{2})dxdy=\iint _{D}[y^{2}+({\sqrt {1-x^{2}}})^{2}]dxdy=\int _{-1}^{1}dx\int _{0}^{1}(y^{2}+1-x^{2})dy=}$ ${\displaystyle =\int _{-1}^{1}({y^{3} \over 3}+y-x^{2}y)|_{0}^{1}dx=\int _{-1}^{1}({4 \over 3}-x^{2})dx=({4 \over 3}x-{x^{3} \over 3})_{-1}^{1}={4 \over 3}-{1 \over 3}-(-{4 \over 3}+{1 \over 3})=1+1=2.}$

• Apskaičiuosime integralą ${\displaystyle \iint _{S}xdydz+ydzdx+zdxdy,}$ kur S viršutinė dalis plokštumos ${\displaystyle x+z-1=0,}$ atkirsta plokštumomis ${\displaystyle y=0,}$ ${\displaystyle y=4}$ ir gulinti pirmajame oktante.

Pagal apibrėžimą,

${\displaystyle \iint _{S}xdydz+ydzdx+zdxdy=}$ ${\displaystyle =\iint _{D_{1}}x(y,z)dydz+\iint _{S}ydzdx+\iint _{D_{2}}z(x,y)dxdy.}$ Čia ${\displaystyle D_{1}}$ ir ${\displaystyle D_{2}}$ – projekcijos paviršiaus S į plokštumas yOz ir xOy, o ${\displaystyle \iint _{S}ydzdx=0,}$ nes plokštuma S lygiagreti ašiai Oy (ploštumos lygtyje ${\displaystyle y=0}$). Pagal formules ${\displaystyle \iint _{S}R(x,y,z)dxdy=\iint _{D}R(x,y,f(x,y))dxdy}$ ir ${\displaystyle \iint _{S}R(x,y,z)dxdy=\iint _{D}R(f(y,z),y,z)dydz}$ atitinkamai randame ${\displaystyle \iint _{S}zdxdy=\iint _{D_{2}}(1-x)dxdy=\int _{0}^{4}dy\int _{0}^{1}(1-x)dx=\int _{0}^{4}(x-{x^{2} \over 2})|_{0}^{1}dy={1 \over 2}\int _{0}^{4}dy=2,}$ ${\displaystyle \iint _{S}xdydz=\iint _{D_{1}}(1-z)dydz=\int _{0}^{4}dy\int _{0}^{1}(1-z)dz={1 \over 2}\int _{0}^{4}dy=2.}$

Todėl ${\displaystyle \iint _{S}xdydz+ydzdx+zdxdy=2+0+2=4.}$

• Apskaičiuosime integralą ${\displaystyle \iint _{S}(z-R)^{2}dxdy}$ pagal viršutinę pusę pusiasferės ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=2Rz,}$ ${\displaystyle R\leq z\leq 2R.}$

Duotajį paviršių S galima aprašyti lygtimi

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=2Rz,}$

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+(z-R)^{2}=R^{2},}$

${\displaystyle (z-R)^{2}=R^{2}-x^{2}-y^{2},}$

${\displaystyle z-R={\sqrt {R^{2}-x^{2}-y^{2}}},}$

${\displaystyle z=R+{\sqrt {R^{2}-x^{2}-y^{2}}}.}$

Todėl pagal formulę ${\displaystyle \iint _{S}R(x,y,z)dxdy=\iint _{D}R(x,y,f(x,y))dxdy}$ turime: ${\displaystyle \iint _{S}(z-R)^{2}dxdy=\iint _{D}(R+{\sqrt {R^{2}-x^{2}-y^{2}}}-R)^{2}dxdy=\iint _{D}(R^{2}-x^{2}-y^{2})dxdy,}$

kur D – skritulys ${\displaystyle x^{2}+y^{2}\leq R}$ plokštumos xOy, į kurį projektuojasi paviršius S. Skaičiuodami dvilipį integralą, gausime: ${\displaystyle \iint _{S}(z-R)^{2}dxdy=\iint _{D}(R^{2}-x^{2}-y^{2})dxdy=\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{R}(R^{2}-\rho ^{2})\rho d\rho =\int _{0}^{2\pi }({R^{2}\rho ^{2} \over 2}-{\rho ^{4} \over 4})|_{0}^{R}d\phi =}$ ${\displaystyle ={R^{4} \over 4}\phi |_{0}^{2\pi }={\pi R^{4} \over 2}.}$

• Apskaičiuosime integralą ${\displaystyle \iint _{S}xdydz+ydzdx+zdxdy}$ pagal viršutine pusę dalies plokštumos${\displaystyle x+2z=2,}$ gulinčios pirmajame oktante, ir atpjautos plokštuma ${\displaystyle y=4.}$

Pagal nustatymą ${\displaystyle \iint _{S}xdydz+ydzdx+zdxdy=\iint _{S}xdydz+\iint _{S}ydzdx+\iint _{S}zdxdy.}$ ${\displaystyle \iint _{S}xdydz=\iint _{D_{1}}(2-2z)dydz=2\int _{0}^{4}dy\int _{0}^{1}(1-z)dz=4.}$

${\displaystyle \iint _{S}ydzdx=0,}$ nes plokštuma S lygiagreti ašiai Oy.

${\displaystyle \iint _{S}zdxdy=\iint _{D_{2}}(1-{x \over 2})dxdy=\int _{0}^{4}dy\int _{0}^{2}(1-{x \over 2})dx=\int _{0}^{4}(x-{x^{2} \over 4})|_{0}^{2}dy=}$

${\displaystyle =\int _{0}^{4}(2-{2^{2} \over 4})dy=\int _{0}^{4}dy=y|_{0}^{4}=4.}$

Todėl,

${\displaystyle \iint _{S}xdydz+ydzdx+zdxdy=4+0+4=8.}$