Lotkos–Volteros lygtys

Lotkos–Volteros lygtys (dar žinomos kaip plėšrūno–aukos lygtys) – pirmos eilės netiesinių diferencialinių lygčių sistema, sudaryta iš dviejų lygčių, vaizduojanti biologines sistemas, kuriose sąveikauja dvi rūšys: plėšrūnas ir auka. Lygtys įtraukia ir laiką:

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=x(\alpha -\beta y)}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=-y(\gamma -\delta x)}$

kur

• x yra aukos (pvz., kiškių) populiacijos dydis;
• y yra plėšrūno (pvz., lapių) populiacijos dydis;
• ${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}}$ ir ${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}}$ nusako dviejų populiacijų dydžių kitimą laikui bėgant;
• t – laikas;
• α, β, γ ir δ yra parametrai, atspindintys sąveiką tarp dviejų rūšių.

Prielaidos

Lotkos–Volteros modelis padaro keletą prielaidų apie plėšrūno ir aukos aplinką ir evoliuciją:

1. Auka randa aplinkoje gausiai maisto.
2. Plėšrūno maisto kiekis priklauso tik nuo aukos populiacijos dydžio.
3. Populiacijos kitimo greitis yra proporcingas jos dydžiui.
4. Per sąveiką aplinka nesikeičia ir genetinė rūšių adaptacija yra lėta.

Auka

Aukos lygtis:

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=\alpha x-\beta xy.}$

Auka turi neribotus maisto išteklius ir nesant plėšrūno dauginasi eksponentiškai; šis eksponentinis augimas yra lygtyje aprašomas α x. „Plėšrūnavimo greitis“ yra laikomas proporcingu plėšrūno ir aukos susitikimo santykiui; tai aprašo β xy. Jeigu x arba y lygūs nuliui, tada negali būti plėšrūnavimo.

Su šiais teiginiais viršuje galima interpretuoti, kad aukos kitimas priklauso nuo savo dauginimosi minus nužudytų aukų skaičius.

Plėšrūnas

Plėšrūno lygtis:

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=\delta xy-\gamma y.}$

Šioje lygtyje δ xy vaizduoja plėšrūno populiacijos augimą. (Panašu į plėšrūnavimo greitį; tačiau kita konstanta yra naudojama kai greitis, kuriuo plėšrūno populiacija auga, yra nebūtinai lygus greičiui, kai žudoma auka). γ y reiškia plėšrūno mažėjimą dėl natūralios mirties arba emigracijos; tai veda iki eksponentinio sunykimo nesant aukai.

Taigi lygtis vaizduoja plėšrūno populiacijos kitimą, kai yra maisto ir minus natūrali mirtis.

Lygties sprendiniai

Lygtys turi periodinius sprendinius ir neturi paprasto išreiškimo naudojant įprastas trigonometrines funkcijas.

Sistemos dinamika

Populiacijos pusiausvyra

Populiacija yra pusiausvyroje, kai nei viena iš populiacijų nesikeičia, t. y. abi išvestinės yra lygios nuliui:

${\displaystyle x(\alpha -\beta y)=0\,}$

${\displaystyle -y(\gamma -\delta x)=0\,}$

Išsprendus x ir y viršutinei sistemai, gauname

${\displaystyle \left\{y=0,x=0\right\}\,}$

ir

${\displaystyle \left\{y={\frac {\alpha }{\beta }},x={\frac {\gamma }{\delta }}\right\},\,}$

Vadinasi yra pusiausvyra.

Pirmas sprendinys vaizduoja abiejų rūšių išnykimą. Antras sprendinys vaizduoja stacionarų tašką, kur abi populiacijos palaiko savo dabartinę būseną. Kada bus pasiekta pusiausvyra priklauso nuo parametrų α, β, γ ir δ.

Stabilumas ir stacionarūs taškai

Plėšrūno-aukos modelio Jakobiano matrica:

${\displaystyle J(x,y)={\begin{bmatrix}\alpha -\beta y&-\beta x\\\delta y&\delta x-\gamma \\\end{bmatrix}}.}$