Kronekerio delta

Kronekerio delta – matematinė funkcija, pavadinta Leopoldo Kronekerio (Leopold Kronecker) garbei. Tai yra funkcija dviejų kintamųjų, kurie paprastai yra sveiki skaičiai. Kuomet kintamųjų vertės yra lygios, funkcijos vertė yra 1, kuomet jos yra nelygios, funkcijos vertė yra 0:

${\displaystyle \delta _{ij}=\left\{{\begin{matrix}1,&{\mbox{if }}i=j\\0,&{\mbox{if }}i\neq j\end{matrix}}\right.}$

kur Kronekerio delta δ_ij yra kintamųjų ${\displaystyle i}$ ir ${\displaystyle j}$ funkcija. Pavyzdžiui, ${\displaystyle \delta _{12}=0}$, bet ${\displaystyle \delta _{33}=1}$.

Tiesinėje algebroje, vienetinė matrica gali būti užrašyta taip: ${\displaystyle (\delta _{ij})_{i,j=1}^{n}\,}$. skaliarinė vektorių sandauga gali būti užrašyta kaip ${\displaystyle \textstyle {\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {b}}=\sum _{ij}a_{i}\delta _{ij}b_{j}.}$

Kronekerio delta yra naudojama įvairiose matematikos srityse.

Savybės

Kadangi ${\displaystyle (\delta _{ij})_{i,j=1}}$ gali būti laikoma vienetine matrica, tai išvedamos šios savybės:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{j}\delta _{ij}a_{j}&=a_{i},\\\sum _{i}a_{i}\delta _{ij}&=a_{j},\\\sum _{k}\delta _{ik}\delta _{kj}&=\delta _{ij}.\end{aligned}}}$

Skaitmeninis signalų apdorojimas

Taip pat skaitmeniniame signalų apdorojime] ta pati sąvoka yra užrašoma, kaip funkcija sveikųjų skaičių aibėje ${\displaystyle \mathbb {Z} }$:

${\displaystyle \delta [n]={\begin{cases}0,&n\neq 0\\1,&n=0.\end{cases}}}$

Funkcija vadinama impulsu arba vienetiniu šuoliuku.