Geometrinė progresija

Geometrinė progresija – skaičių seka, kurioje kiekvienas narys pradedant antruoju gaunamas padauginus ankstesnįjį iš pastovaus skaičiaus (, dar vadinamo geometrinės progresijos vardikliu), kuris nėra lygus nuliui.

Skirtingai nei aritmetinės progresijos, geometrinės progresijos augimas arba mažėjimas yra eksponentinis, o ne tiesinis.

Apibrėžimas

Skaičių seka ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ vadinama geometrine progresija, jei tam tikram skaičiui ${\displaystyle q\neq 0\,}$ tenkinama ši sąlyga:

${\displaystyle \forall _{n\in \mathbb {N} }a_{n+1}=a_{n}\cdot {q}}$

Skaičius ${\displaystyle q\,}$ vadinamas geometrinės sekos vardikliu ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$.

Jeigu yra žinomas pirmasis progresijos narys a=a₁ ir vardiklis q, tada n-asis narys gali būti apskaičiuojamas pagal formulę:

${\displaystyle a_{n}=a\,q^{n-1}.}$

Priklausomai nuo vardiklio reikšmės, sekos riba skiriasi:

• Jei 0 < q < 1, seka artėja į 0
• Jei q = 1, sekos riba yra a (visi sekos nariai yra lygūs)
• Jei q > 1, seka artėja į begalybę
• Jei 0 > q > −1, seka artėja į 0. Šiuo atveju yra du posekiai (teigiamų ir neigiamų narių), artėjantys į 0
• Jei q = −1, egzistuoja du posekiai, kurių vieno riba a, kito −a
• Jei q < −1, egzistuoja du posekiai, kurių vieno riba yra ${\displaystyle \infty }$ (begalybė), kito −${\displaystyle \infty }$

Geometrinė progresija, kurios vardiklio modulis q yra mažesnis už vienetą vadinama nykstamąja geometrine progresija.

Pavyzdžiai

• Seka ${\displaystyle (1,3,9,27,81,243,\ldots )}$ yra geometrinė seka su vardikliu ${\displaystyle q=3,\,}$
• Seka ${\displaystyle (1,-2,4,-8,16,-32,64,-128,\ldots )}$ yra geometrinė seka su vardikliu ${\displaystyle q=-2,\,}$
• Seka ${\displaystyle (1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{8}},{\frac {1}{16}},{\frac {1}{32}},\ldots )}$ yra geometrinė seka su vardikliu ${\displaystyle q={\frac {1}{2}},\,}$

Savybės

Geometrinės progresijos charakteringoji savybė – seka su teigiamaisiais nariais yra geometrinė progresija tada ir tik tada, kai bet kuris jos narys, išskyrus pirmąjį (ir paskutinįjį, kai progresija yra baigtinė), yra lygus gretimų narių geometriniam vidurkiui.

${\displaystyle \ b_{n}^{2}=b_{n-1}\cdot b_{n+1}}$

Geometrinės progresijos narių suma

Geometrinės progresijos baigtinio n narių skaičiaus suma yra:

${\displaystyle S_{n}=\sum _{k=0}^{n-1}aq^{k}={\frac {a(1-q^{n})}{1-q}}}$.

Begalinės mažėjančios geometrinės progresijos narių suma ( | q | < 1 ! ) yra:

${\displaystyle S=\sum _{k=0}^{\infty }aq^{k}={\frac {a}{1-q}}}$.

Istorija

Vienintelis žinomas geometrinės progresijos įrašas iš Babilono matematikos laikų yra įspaustas molio lentelėje, šios progresijos pagrindas – 3, o vardiklis 1/2.

Euklido Pradmenų (apie 300 m. pr. m. e.) VIII ir IX knygose yra analizuojamos geometrinės progresijos ir pateikiamos jų savybės.

Šaltiniai

1. Geometrinė progresija. Visuotinė lietuvių enciklopedija (tikrinta 2023-02-07).
2. Autorių kolektyvas. Matematika. Vadovėlis XI klasei ir gimnazijų III klasei II dalis. – Kaunas: Šviesa, 2004. – 104 p. ISBN 5-430-03784-2
3. Vidmantas Pekarskas. Matematika: kurso kartojimo medžiaga. – Kaunas: Šviesa, 2004. – 99 p. ISBN 5-430-03932-2
4. Friberg, Jöran (2007). „MS 3047: An Old Sumerian Metro-Mathematical Table Text“. In Friberg, Jöran (red.). A remarkable collection of Babylonian mathematical texts. Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences. New York: Springer. pp. 150–153. doi:10.1007/978-0-387-48977-3. ISBN 978-0-387-34543-7.  2333050.
5. Heath, Thomas L. (1956). The Thirteen Books of Euclid's Elements (2nd ed. [Facsimile. Original publication: Cambridge University Press, 1925] leid.). New York: Dover Publications.