Bio Savaro dėsnis

Šiam straipsniui ar jo daliai trūksta išnašų į patikimus šaltinius. Jūs galite padėti Vikipedijai pridėdami tinkamas išnašas su šaltiniais.

Bio-Savaro dėsnis – vienas svarbiausių elektromagnetizmo dėsnių, naudojamas bet kokios formos laidininko kuriamo magnetinio lauko indukcijai apskaičiuoti:

${\displaystyle {\mbox{d}}{\vec {B}}={\frac {\mu _{0}I\left({\mbox{d}}{\vec {l}}\times {\vec {r}}\right)}{4\pi {r^{3}}}}}$

Bio-Savaro dėsnio taikymas

Dažniausiai reikia rasti indukcijos modulį

${\displaystyle {\mbox{d}}{B}={\frac {\mu _{0}I\sin {\alpha }{\mbox{d}}l}{4\pi {r^{2}}}}}$

Tiesaus plono laidininko magnetinė indukcija

Pagal pateiktą brėžinį galima užrašyti:

${\displaystyle {\begin{aligned}l&=R\operatorname {ctg{\alpha }} \\{\mbox{d}}l&=-{\frac {R{\mbox{d}}\alpha }{\sin ^{2}{\alpha }}}\\r&={\frac {R}{\sin {\alpha }}}\\\end{aligned}}}$

Integruojama nuo ${\displaystyle \alpha _{1}\;}$ iki ${\displaystyle \alpha _{2}\;}$. Kadangi laidininkas be galo ilgas, tai ${\displaystyle \alpha _{1}\to 0}$, o ${\displaystyle \alpha _{2}\to \pi }$; gaunama, kad

${\displaystyle B=\left|-{\frac {\mu _{0}I}{4\pi {R}}}\int _{0}^{\pi }\sin {\alpha }{\mbox{d}}\alpha \right|={\frac {\mu _{0}I}{2\pi {R}}}}$

Plono žiedo (apvijos) magnetinė indukcija

Pagal pateiktą brėžinį galima užrašyti:

${\displaystyle {\begin{aligned}r&={\sqrt {h^{2}+R^{2}}}\\\sin {\alpha }&={\frac {R}{\sqrt {h^{2}+R^{2}}}}\\\end{aligned}}}$

Suintegravus gaunama, kad

${\displaystyle {\begin{aligned}B&=\left|{\frac {\mu _{0}IR}{4\pi }}\cdot 2\int _{0}^{\pi {R}}{\frac {{\mbox{d}}l}{\left(h^{2}+R^{2}\right)^{3/2}}}\right|={\frac {\mu _{0}IR^{2}}{2\left({h^{2}+R^{2}}\right)^{3/2}}}=\\&={\frac {\mu _{0}I\sin ^{3}{\alpha }}{2R}}\end{aligned}}}$

Pastaba: kadangi apeinant visą ploną ilgio ${\displaystyle l=2\pi {R}\;}$ žiedą atstumas ${\displaystyle r\;}$ nekinta, tai integravimas yra tik formalumas, nes pakanka gautąją Bio-Savaro dėsnio išraišką padauginti iš ${\displaystyle 2\pi {R}\;}$.

Solenoido magnetinė indukcija

Laikoma, kad solenoidą sudaro apvijos, priglaustos viena prie kitos, bet ne ištisinis spirale susuktas laidas. Pažymėta ${\displaystyle \angle {NCA}=\alpha }$, ${\displaystyle \angle {DCA}=\alpha _{1}}$, ${\displaystyle \angle {BCA}=\alpha _{2}}$.

Viena apvija kuria indukciją

${\displaystyle {\mbox{d}}B_{0}={\frac {\mu _{0}I\sin ^{3}{\alpha }}{2R}}}$

${\displaystyle l\;}$ ilgio fragmento dalis ${\displaystyle {\mbox{d}}h\;}$ taške C kuria indukciją. Ji priklauso nuo toje dalyje esančių apvijų skaičiaus

${\displaystyle {\mbox{d}}N={\frac {N}{l}}\cdot {\mbox{d}}h}$

Todėl dalis ${\displaystyle {\mbox{d}}h\;}$ kuria indukciją

${\displaystyle {\mbox{d}}B={\frac {\mu _{0}IN\sin ^{3}{\alpha }}{2lR}}{\mbox{d}}h}$

Pagal pateiktą brėžinį galima užrašyti:

${\displaystyle {\begin{aligned}h&=R\operatorname {ctg{\alpha }} \\{\mbox{d}}h&=-{\frac {R{\mbox{d}}\alpha }{\sin ^{2}{\alpha }}}\end{aligned}}}$

Integruojama nuo ${\displaystyle \alpha _{1}\;}$ iki ${\displaystyle \alpha _{2}\;}$. Kadangi solenoidas be galo ilgas, tai ${\displaystyle \alpha _{1}\to 0}$, o ${\displaystyle \alpha _{2}\to \pi }$; gaunama, kad

${\displaystyle B=\left|-{\frac {\mu _{0}IN}{2l}}\int _{0}^{\pi }\sin {\alpha }{\mbox{d}}\alpha \right|={\frac {\mu _{0}IN}{l}}=\mu _{0}In}$

kur ${\displaystyle n\;}$ – solenoido apvijų skaičius ilgio vienete

Pastaba: šioje formulėje nėra dydžio ${\displaystyle h\;}$, o tai reiškia, kad ilgos ritės dalyse, esančiose toli nuo jos galų, magnetinė indukcija nekinta einant tiese CA. Sudėtingesni skaičiavimai rodo, kad indukcija tose dalyse nekinta ir einant skersai ritės. Vadinasi, šiose dalyse sukuriamas vienalytis magnetinis laukas.

Šias formules taip pat galima gauti ir naudojantis Ampero dėsniu, kuris taip pat naudojamas bet kokios formos laidininko kuriamo magnetinio lauko indukcijai nustatyti.