Auksinis trikampis (matematika)

Auksinis trikampis – lygiašonis trikampis, kurio vienos iš lygių kraštinių ilgio santykis su pagrindo kraštinės ilgiu lygus skaičiui $\varphi$ (aukso pjūviui).

{a \over b}=\varphi ={1+{\sqrt {5}} \over 2}\approx 1.618~034~.

Kampai

redaguoti

Viršūnės kampas yra lygus:

\theta =2\arcsin {b \over 2a}=2\arcsin {1 \over 2\varphi }=2\arcsin {{{\sqrt {5}}-1} \over 4}={\pi \over 5}~{\text{rad}}=36^{\circ }.

Taigi auksinis trikampis taip pat yra ir smailusis trikampis.

Kadangi trikampio kampų suma lygi $\pi$ rad, kiekvienas kampas prie pagrindo yra lygus:

\beta ={{\pi -{\pi \over 5}} \over 2}~{\text{rad}}={2\pi \over 5}~{\text{rad}}=72^{\circ }.

Pastaba:

\beta =\arccos \left({\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}\right)\,{\text{rad}}={2\pi \over 5}~{\text{rad}}=72^{\circ }.

Auksinis trikampis yra vienintelis trikampis, kurio trijų kampų santykis yra 1 : 2 : 2 (36°, 72°, 72°).

Išklotinės

redaguoti

Auksinis trikampis ir du auksiniai gnomonai (plokštumos figūra, sukurta pašalinus iš didesnio lygiagretainio kampo lygiagretainį, panašų į pirmąjį) iškloja taisyklingąjį penkiakampį.^[1]

„Golden Gnomon -- from Wolfram MathWorld“. mathworld.wolfram.com. Nuoroda tikrinta 2024-02-04.

Eric W. Weisstein, Golden Triangle, MathWorld. (angl.)

[1] „Golden Gnomon -- from Wolfram MathWorld“. mathworld.wolfram.com. Nuoroda tikrinta 2024-02-04.

[1]