Algebrinė atmaina

Algebrinėje geometrijoje algebrinė atmaina – aibė taškų, kurios koordinatės tenkina tam tikrą polinomų lygčių sistemą.

Apibrėžimai

Afiniosios atmainos

Tegu ${\displaystyle K\,}$ būna algebriškai uždaras kūnas ir ${\displaystyle \mathbf {A} ^{n}}$ – n-dimensinė afinioji erdvė virš ${\displaystyle K\,}$. Polinomus ${\displaystyle F\in K[x_{1},...,x_{n}]}$ galime laikyti funkcijomis iš ${\displaystyle \mathbf {A} ^{n}}$ su vertėmis iš ${\displaystyle K\,}$. Kiekvienam ${\displaystyle S\subset K[x_{1},...,x_{n}]}$ galime apibrėžti ${\displaystyle \mathbf {A} ^{n}}$ poaibį, kur visų polinomų vertės aibėje ${\displaystyle S\,}$ yra nulis:

${\displaystyle Z(S)=\{x\in \mathbf {A} ^{n}\mid f(x)=0\quad \forall f\in S\}}$

Toks aibės ${\displaystyle \mathbf {A} ^{n}}$ poaibis ${\displaystyle V\,}$ yra vadinamas afiniąja algebrine aibe, jei ${\displaystyle V=Z(S)\,}$ kuriam nors ${\displaystyle S\,}$. Netuščia afinioji algebrinė aibė vadinama neredukuojama, jei ji negali būti išreikšta dviejų algebrinių poaibių sąjunga. Neredukuojamos algebrinės aibės yra vadinamos afiniosiomis algebrinėmis atmainomis arba tiesiog algebrinėmis atmainomis.

Afiniąjai atmainai galime apibrėžti naturalią topologiją, kurioje visos uždaros aibės yra algebrinės. Ši topologija vadinama Zariskio topologija.

Tegu ${\displaystyle V\subset \mathbf {A} ^{n}}$ ir ${\displaystyle I(V)\,}$ būna polinomų nulių aibėje ${\displaystyle V\,}$ idealas:

${\displaystyle I(V)=\{f\in K[x_{1},...,x_{n}]\mid f(x)=0\quad \forall x\in V\}}$

Kiekvienai algebrinei aibei ${\displaystyle V\,}$ šio idealo polinomų faktoržiedas vadinamas koordinačių žiedu arba struktūriniu žiedu.

Projekcinės atmainos

Tegu ${\displaystyle \mathbf {P} ^{n}}$ būna n-dimensinė projekcinė erdvė virš kūno ${\displaystyle K\,}$. Homogeninis polinomas ${\displaystyle K[x_{0},...,x_{n}]\,}$ gali būti laikomas funkcija ${\displaystyle \mathbf {P} ^{n}}$ su vertėmis iš ${\displaystyle K\,}$. Kiekvienam ${\displaystyle S\subset \mathbf {P} ^{n}}$ analogiškai apibrėžiame:

${\displaystyle Z(S)=\{x\in \mathbf {P} ^{n}\mid f(x)=0\quad \forall f\in S\}}$

Aibės ${\displaystyle \mathbf {P} ^{n}}$ poaibis ${\displaystyle V}$ vadinamas projekcine algebrine aibe, jei ${\displaystyle V=Z(S)\,}$ kuriam nors ${\displaystyle S\,}$.

Literatūra

• David Dummit; Richard Foote (2003). Abstract Algebra, third edition, Wiley. ISBN 0-471-43334-9.